数学物理方法复习
数学物理方法复习
数学物理方法复习
数学物理方法是指在数学和物理学领域中常用的方法和技巧。
复习这些方法可以帮助我们更好地理解和应用数学和物理学的知识。
数学方法的复习包括但不限于以下内容：
1. 微积分：复习微分和积分的基本概念和性质，掌握常用的微积分技巧，如导数的计算、函数的积分等。
2. 线性代数：复习矩阵的运算和性质，如矩阵乘法、逆矩阵、特征值等；掌握线性方程组的解法，如高斯消元法、矩阵求逆法等。
3. 微分方程：复习一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，如分离变量法、变换法、欧拉方程等。
4. 概率与统计：复习概率的基本概念和性质，如事件的概率、条件概率等；掌握常用的概率分布，如正态分布、泊松分布等。
5. 复变函数：复习复数的基本概念和运算，如复数的加减乘除、复函数的导数和积分等；掌握常用的复变函数，如指数函数、三角函数、对数函数等。
物理方法的复习包括但不限于以下内容：
1. 牛顿力学：复习牛顿的三大定律和它们的应用，如力的合成、力的分解、摩擦力等。
2. 电磁学：复习电荷、电场、电势等基本概念和性质，掌握库仑定律、电场强度和电势的计算方法。
3. 光学：复习光的折射、反射、干涉、衍射等基本原理和现象，掌握光的像的
成像公式和光的传播速度。
4. 热学：复习热力学和热传导的基本概念和定律，如热容、热力学第一定律、热传导方程等。
5. 量子力学：复习波粒二象性、不确定性原理等基本概念和性质，了解薛定谔方程和波函数的基本解法。
除了复习这些数学和物理方法外，还可以通过做习题、阅读教材、参加学习小组等方式来加深理解和应用。
数学物理方法期末复习
f
(x)
k 0
bk
sin
(k
1 )
2 l
x
bk
2 l
(k 1) x
l
f (x)sin
2 dx
0
l
12
(4)、边界条件为 f (0) 0, f (l) 0
根据边界条件 f (0) 0应将函数f(x)对区间(0,l)的端点 x=0作偶延拓。又根据边界条件f (l)=0 ，应将函数f(x) 对区间(0,l)的端点x=l作奇延拓，然后以4l为周期向整
ak
k 1
cos k x l
a0 ak
1 l
2 l
l
f (x)dx
0 l
f (x) cos
0
k x
l
dx
g(x) g(x)
4l f (0) f (l) 0
g(2l x) g(x)
f
(
x)
k 0
ak
cos
(2k
1)x 2l
ak
2 l
l 0
f (x)cos(2k 1)x dx 2l
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2)、乘法和除法
z1z2 (x1 iy1 )( x2 iy2 )
(x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 )
z1
z1
z
* 2
z2
z2
z
* 2
(x1 iy1)(x2 iy2 )
x22
y
XXX《数学物理方法》复习思考题及答案
XXX《数学物理方法》复习思考题及答案数学物理方法》复思考题一、单项选择题1、函数f(z)以b为中心的罗朗（Laurent）展开的系数公式为C．k=0的情况为f(b)，k>0的情况为f(k)(b)/k。
k<0的情况为f(k)(b)(z-b)^k2、本征值问题X''(x)+λX(x)=0,X(0)=0,X(l)=0的本征函数是B．sin(nπx/l)3、点z=∞是函数cot z的B．孤立奇点4、可以用分离变量法求解定解问题的必要条件是A．泛定方程和初始条件为齐次5、设函数f(z)在单连通区域D内解析，C为D内的分段光滑曲线，端点为A和B，则积分∫Cf(z)dzC．与积分路径及端点坐标无关6、条件z<1所确定的是一个A．单连通开区域7、条件|z-1|<2所确定的是一个B．复连通开区域8、积分∫|z|=1 zcosz^2 dz=B．-19、函数f(z)=1/(1-z)在z+1>2内展成z+1的级数为D．∑(n+1)z^n10、点z=-1是函数f(z)=sinz的B．孤立奇点二、填空1、复数(1-i√3)/2的三角形式为1，其指数形式为e^(-iπ/3)。
2、复数sin(π/5)+icos(π/5)的三角形式为cos(2π/5)+isin(2π/5)，其指数形式为e^(i2π/5)。
3、复数(1+i√3)/2的实部u=1/2，幅角θ=π/3，虚部v=√3/2，模r=1.4、复数-2+i2的实部u=-2，虚部v=2，模r=2√2，幅角θ=3π/4.5、z^4+1=0的解为±1±i。
6、z^4+a^4=0的解为±a±ai。
1.z4-1-i的解为，ez=1+i的解为，ii=（删除明显有问题的段落）2.对于积分∫cosz dz，z=1，积分∫z3cosz dz，对于积分∫zcosz2 dz，z=1，积分∫zsinz dz=1，需要进行小幅度的改写。
数学物理方法复习提纲
数学物理方法(2)复习提纲第三章第四节概念：若在空间某一区域上定义了一个物理量，这个空间区域就称为场。
所定义的物理量则称为场函数。
如果场函数是标量，相应的场称为标量场；如果场函数是矢量，相应的场称为矢量场。
如果场函数只与空间变量有关，而与 时间 变量无关时，相应的场称为定常场（或稳定场）。
一个矢量场，如果场矢量始终平行于某一固定平面，且在垂直于该平面的任一直线上场矢量的大小和方向均不改变，这样的场称为平面场。
平面场中的一点实际上是指过该点而与固定平面相垂直的一条直线。
平面场中的一条曲线实际上是指以该曲线为母线的一个相应的柱面。
平面场中的一个区域实际上是指以该区域为横截面的一个相应的柱体。
平面场中的一个重要概念是复位势：),(),()(y x iv y x u z w +=。
其中实部),(y x u 称为力（流）函数；虚部),(y x v 称为势函数。
),()(),(00),(),(00y x u dy E dx E y x u y x y x x y ++-=⎰),()(),(00),(),(00y x v dy E dx E y x u y x y x y x +--=⎰这两个函数的等值线分别称为力线和等势线；力线的方程为1),(C y x u =；等势线的方程为2),(C y x v =。
要求：熟悉以上概念；给了场函数E ，会求复位势)(z w ；给了复位势)(z w ，会求力函数和势函数并会写力线和等势线方程。
典型习题：写出下列复位势所代表的平面静电场的电力线方程和等势线方程： (1) z z z w /1)(+=；(2) 2)(-+=z z z w ；(3) z z z w /1)(2+=；(4) 1/(1)w z =+第六章 保角变换概念：如果一个解析函数及其反函数在某一区域上均为单值函数，则称该函数为这个区域上的单叶函数。
函数单叶性的充要条件是：(1)函数在相应区域上解析；(2)函数的导数不为零。
数学物理方法复习题
第一部分:填空题1复变函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点z x iy =+可导的必要条件是____ 2 柯西黎曼方程在极坐标系中的表达式为_______3 复变函数2()f z z z =在____z =处可导4复变函数()f z xy iy =+在____z =处可导5 ln(1)_____-=6 指数函数()z f z e =的周期为______7 221_____1()z dz z z==-⎰ 8 31_____3z z e dz z -==-⎰ 9 221_____4z dz z -==-⎰ 10 51cos _________(1)z z dz z π>=-⎰ 11 在01z =的邻域上将函数11()z f z e -=展开成洛朗级数为__________12 将1/z e 在00z =的邻域上展开成洛朗级数为_____________13 将1sin 1z -在01z =的邻域上展开成洛朗级数为________________ 14 00z =为函数sin 2z z的________________ 15 00z =为函数1sin z 的________________ 16 01z =为函数11z e-的____________________ 17 00z =为函数4cos z z 的______阶极点 18 00z =为函数4sin z z的______阶极点19 函数231()ze f z z -=在00z =的留数Re (0)________sf = 20 函数11()z f z e -=在01z =的留数Re (1)________sf =,在无限远点的留数Re ()________sf ∞=21 函数21/()z f z e =在00z =的留数Re (0)________sf =22 函数3cos ()z f z z=在00z =的留数Re (0)________sf = 23 函数3sin ()z f z z=在00z =的留数Re (0)________sf = 24 积分0()()______ba f t d τδττ-=⎰ ((,))t ab ∈ 25 两端固定的弦在线密度为(,)()sin f x t x t ρρω=Φ的横向力作用下振动,泛定方程为_______________.26 两端固定的弦在点0x 受变力0(,)sin f x t f t ρρω=的横向力的作用,其泛定方程为_________________.27 弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受的阻力t F Ru =-（R 为阻力系数），弦在阻尼介质中的振动方程为_______________。
中考数学物理方法归纳总结
中考数学物理方法归纳总结在中考中，数学和物理是两门重要的科目。
为了帮助同学们更好地备考中考，下面将对数学和物理的相关方法进行归纳总结，以希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这两门科目。
一、数学方法1. 整数运算法则整数运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
加法和减法是数学中最基本的运算，掌握好整数的加减法则是非常重要的。
乘法和除法则是对加减法的推广和拓展，需要灵活运用。
2. 分数运算法则分数是数学中的一个重要概念，分数的加减乘除都需要掌握。
加减法的关键在于找到分母的最小公倍数，乘除法的关键在于分数的乘法和除法法则。
3. 代数方程与函数代数方程和函数是数学中的重点内容，理解代数方程和函数的意义以及解法是至关重要的。
需要掌握一元一次方程、平方根、平方差、二次函数等相关概念和求解方法。
4. 图形的性质和几何变换图形的性质和几何变换是中考中的重点内容，需要掌握平行线的性质、相似三角形、正多边形等几何概念，同时也需要了解几何变换中的平移、旋转、翻转等基本操作。
5. 概率与统计概率和统计是数学中的应用内容，需要掌握概率的计算方法、抽样调查和数据分析等统计概念和方法。
在中考中，概率题和统计题所占比例较小，但也需要重视。
二、物理方法1. 物理量和单位物理中的物理量有长度、质量、时间、速度、加速度等，每个物理量都需要有相应的单位。
掌握各种物理量和单位，可以更好地理解物理概念和解题方法。
2. 运动学运动学是物理中最基础的部分，包括直线运动、曲线运动和平抛运动等。
理解物体的位移、速度、加速度等运动学量，以及利用运动学公式解题的方法，是掌握物理的基本要求。
3. 力和牛顿定律力是物理中的基本概念，掌握力的性质、计算和合成方法是解决力学问题的关键。
牛顿定律是物理中的基本定律，包括惯性定律、运动定律和作用-反作用定律，需要理解和应用。
4. 能量与功率能量和功率是物理中的重要概念，能量守恒定律和功率的计算方法是物理问题中常见的考点。
数学物理方法复习资料及参考答案(二)
数学物理方法复习资料及参考答案(二)一、选择题:1. 函数()f x 以0z 为中心的Taylor 展开的系数公式为：（ )A ξξξπd z f i k C c k ⎰-=)()(20 B !)(0)(k z f C k k =C ξξξπd z f i C c k k ⎰+-=10)()(21 D ξξξπd z f i k C c k k ⎰+-=10)()(2 2。
⎰=-l dz a z )(（ ） （其中l 表示以为a 中心ρ为半径的周围)。
A i ⋅πB iC i ⋅-πD 0 3. 非齐次边界条件)(),(0t u t u l x x νμ====，转化为齐次边界条件的方法：（ )A )()(tB x t A + B x t A )(C )(t BD x t B x t A )()(2+ 4。
)(t f 是定义在半无界区间),0(∞上的函数，⎩⎨⎧<<<=)(0)0()(t T T t ht f在边界条件0)0(='f 下，把)(t f 展为实数形式傅立叶积分：（ ） Aw h 12π B w wT h cos 2π C w wT h sin 2π D wwTh cos 12-π 5. 齐次边界条件0,00====l x x xu u 的本征值和本征函数：（ ） A ),3,2,1,0(cos )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλB ),3,2,1(sin )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλC ),3,2,1,0()21(cos )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X ln n n n ππλD ),3,2,1,0()21(sin )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X l n nn n ππλ6. 若集合是（ ）,则该集合是区域。
A 开集B 连通开集C 连通闭集D 连通集 7. 设a 是)(z f 的可去奇点，则有：（ ）Alim ()Z af Z →存在且有限 Blim ()Z af Z →不存在C )(z f 在a 点的主要部分只有有限项D )(z f 在a 点的主要部分有无限多项8。
理工类专业课复习资料-数学物理方法总结(改)
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y ∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法由上式可知dv=2ydx+2xdy贝易得dv=d(2xy)则显然v=2xy+C不定积分法上面已有—=2y;丝=2xdx dy则第一式对y积分,x视为参数，有v=J2xy+(p(x)=2xy+(p(x)......................dv...上式对x求导有一=2y+^\x),而由C-R条件可知(p\x)=0,dx从而(p(x)=C.故v=2xy+C.f(z)=x2-y2+i(2x y+C)=z2+iC第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任意一分段光滑闭合闭合曲线1(也可以是B的边界)，有血/⑵也=0.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数，则山任)也+£由/(z)也=0.式中1为区域外边界线，诸l为区域内边界线，积分均沿边界线的正方向进行.即血力＞)也=力血/(z)d z.柯西公式f(a)=t^-也""dz2m z-an次求导后的柯西公式f(〃)(z)=£山声舄化2mi中(。
初二数学物理复习资料
初二数学物理复习资料初二数学物理复习资料初二是一个关键的学习阶段，对于数学和物理的复习尤为重要。
这两门学科是培养学生逻辑思维和科学素养的基础，掌握好这两门学科的知识对于学生未来的学习和发展至关重要。
在这篇文章中，我将为大家提供一些初二数学物理复习的资料和方法，希望能够帮助大家更好地复习和理解这两门学科。
一、数学复习资料1. 教材复习：首先，我们要充分利用教材进行复习。
仔细阅读教材，理解每个知识点的定义和性质，掌握解题方法和技巧。
可以划重点、做笔记，将重要的公式和定理整理出来，方便日后的复习和查阅。
2. 习题集：习题是巩固知识、提高解题能力的重要途径。
选择一本适合自己的习题集，按照章节顺序进行练习。
切勿急于求成，要注重基础知识的理解和掌握，逐步提高解题的难度。
遇到难题可以寻求老师或同学的帮助，共同解决问题。
3. 网上资源：互联网是一个宝贵的学习资源。
可以通过搜索引擎查找相关的数学学习网站和视频教程，这些资源通常会提供详细的解题思路和方法，帮助我们更好地理解和应用知识。
但是要注意选择可靠的网站和视频，避免被错误的信息误导。
二、物理复习资料1. 实验复习：物理是一门实验性很强的学科，通过实验可以直观地观察和验证物理现象。
复习时可以回顾课堂上所做的实验，理解实验原理和步骤，弄清楚实验结果的原因和意义。
如果有条件，可以进行一些简单的物理实验，加深对物理现象的理解。
2. 理论知识复习：物理的理论知识非常丰富和复杂，需要掌握一定的基础概念和公式。
可以通过阅读教材、笔记和课堂讲义等途径进行复习。
对于难以理解的概念和原理，可以找老师请教或参考相关的物理教材和参考书。
3. 习题练习：物理的习题练习对于掌握解题方法和提高解题能力非常重要。
可以选择一些习题集进行练习，注意理解每个题目的要求和解题思路。
遇到难题可以先尝试自己解决，然后再寻求老师或同学的帮助。
总结：数学和物理是初中阶段的重要学科，对于学生的学习和发展具有重要的意义。
数学物理方法知识点归纳
数学物理方法知识点归纳一、向量1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
2. 向量的表示方法：可以用坐标表示，也可以用分量表示。
3. 向量的运算：3.1 向量的加法：将两个向量的对应分量相加。
3.2 向量的减法：将两个向量的对应分量相减。
3.3 向量的数量积：将两个向量的对应分量相乘后求和。
3.4 向量的向量积：根据相关公式求得向量的模长和方向。
4. 坐标系与向量：向量的坐标表示与坐标系的选择有关。
5. 向量的模长和方向：可以通过向量的坐标计算得到。
二、微积分1. 极限与导数：1.1 极限的定义：函数在某一点的极限是函数逼近该点时的稳定值。
1.2 导数的定义：函数在某一点的导数是该点的切线斜率。
1.3 导数的计算：使用导数的定义或相关公式计算函数的导数。
2. 微分与积分：2.1 微分的定义：函数微分是函数在某一点附近的线性逼近。
2.2 积分的定义：积分是函数的反导数。
2.3 微分与积分的关系：微分和积分是互为逆运算。
3. 常见函数的导数与积分：3.1 基本函数的导数和积分：如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3.2 三角函数的导数和积分：如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.3特殊函数的导数和积分：如反三角函数、指数函数、四则运算函数等。
三、矩阵1. 矩阵的定义：矩阵是由数个数按照一定次序排列在矩形阵列中的数集合。
2. 矩阵的运算：2.1 矩阵的加法：将两个矩阵的对应元素相加。
2.2 矩阵的减法：将两个矩阵的对应元素相减。
2.3 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素都乘以一个数。
2.4 矩阵的乘法：根据矩阵乘法的规则进行计算。
3. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
4. 矩阵的逆与行列式：根据相关公式进行计算。
5. 矩阵的应用：在线性代数、图像处理、物理等领域有广泛应用。
四、微分方程1. 微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。
2. 常微分方程：只包含一元函数及其导数的方程。
数学物理方法(梁昆淼)总复习
ut a2uxx 0
ux x0 0 ux xl 0 u (x)
t 0
通解
u( x, t )
C0
n1
C e
n2 2
l2
a2
n
t
cos
n
l
x
系数
C0
1 l
l
( x)dx
0
Cn
2 l
l (x) cos n x dx
0
l
3. 边界条件为“ 混齐”
F (x)eimxdx
0
2
i{F (z)eimz在上半平面所有奇点留数之和}
1
G(x)sin mxdx
G(x)eimxdx
0Leabharlann 2i {G( z )eimz 在上半平面所有奇点留数之和}
八 奇函数和偶函数的傅立叶级数
奇函数
f
(x)
k 1
bk
sin
k
u f (t) x xa Ys
例2 细杆导热问题 f (t)
xa
u
k
f (t)
x xa
k u f (t) x xa
流出 流入
达朗贝尔公式适用的问题
1 utt a2uxx 0
u (x) t 0
ut t0 (x)
齐次的泛定方程
( x ,t 0)
n
l f (z)dz 2 i Re sf (bj )
.bn
j 1
全平面的留数定理：
函数 f (z) 在全平面上所有各点
的留数之和为零
.
.b1
.b2
.
数学物理方法复习整理
数学物理方法复习整理数学物理方法是研究物理问题时所需要的数学方法和技巧的总和。
物理学是一门基础学科，数学是一门工具学科，物理学与数学密不可分。
掌握数学物理方法对于深入理解物理学的基本概念和问题的解决具有重要意义。
下面就数学物理方法进行一个复习整理。
1.微积分：微积分是数学物理方法的基础。
微积分包括微分学和积分学。
微分学研究函数的变化率和极限，积分学研究函数的定积分和不定积分。
在物理学中，微积分用于描述物理量的变化和求解物理问题的关键方程。
掌握微积分的基本理论和方法对于解决物理问题非常重要。
2.线性代数：线性代数是描述物理系统和问题的另一个重要数学工具。
线性代数研究矩阵、向量、线性方程组、线性变换等概念和性质。
在物理学中，线性代数用于描述物理量之间的线性关系和线性变换。
矩阵运算、特征值和特征向量、矩阵的对角化等概念和方法在物理学中有广泛应用。
3.调和分析：调和分析是一种研究周期现象的数学方法。
在物理学中，周期性现象非常常见，如波动、振动、周期运动等。
调和分析研究任意周期函数的频谱分解和重构，可以将周期函数表示为不同频率的正弦函数的叠加。
傅里叶级数和傅里叶变换是调和分析的基本工具，在物理学中有重要应用。
4.微分方程：微分方程是描述物理问题的主要数学工具之一、微分方程描述物理量随时间、空间或其他自变量的变化规律。
常见的微分方程包括常微分方程和偏微分方程。
在物理学中，微分方程用于描述自然界现象的规律和物理系统的运动方程。
解微分方程是解决物理问题的关键步骤。
5.变分法：变分法是一种求解极值问题的数学方法。
在物理学中，很多问题都可以转化为极值问题，如最速降线、最小作用量原理等。
变分法研究如何寻找函数使得泛函取极值。
在物理学中，变分法用于求解运动方程和确定物理量的极值，如量子力学的路径积分方法就是基于变分法的。
以上是数学物理方法的复习整理，主要包括微积分、线性代数、调和分析、微分方程和变分法等内容。
掌握这些基本数学方法对于深入理解物理学的理论和解决物理问题非常重要。
数学物理方法复习
x =0
x =0
=
F0 ⇒ ux YS
=
F0 YS
习题
P161 3.长为l的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为q0，写出这个热传导 问题的边界条件。
若杆的某端点x = a有热流q0沿该端点外法线方向流出： −kun −kun
x =a
= q0 = −q0 ⇒ ku x = q0
若杆的端点x = a有热流q0沿该端点外法线方向流入：
0
∂u ∂u = ∂n ∂x
l
q0 x
习题
3.长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l (1 − 2ε )，放手后自由振动，求解 杆的这一振动。
解：首先应正确理解物理量u:表示杆上各点相对于平衡位置的纵向位移 由胡克定律：Y = F/S ∂u ⇒ F = YS = YSun ∂u / ∂n ∂n ∆u l (1 − 2ε ) − l − F0 = YS = YS ⇒ F0 = 2ε YS , ∆x l
F0 0
∂u ∂u = ∂n ∂x
l
F0 x
习题
4.长为l的均匀杆，一端固定，另一端受力F0后而伸长，求解杆在 放手后的振动。
解：杆因受力而伸长，显然杆上各点有初始位移。 F/S ∂u ⇒ F = YS ∂u / ∂x ∂x F F t = 0时刻，du = 0 dx, 积分得：( x, t ) t =0 = 0 x + C u YS YS F0 ∵ x = 0, u = 0 ⇒ C = 0 ∴ u ( x, t ) t =0 = x YS ∴ 定解问题为： 由胡克定律：Y =
∞
u ( x, t ) = ∑
习题
2.研究细杆导热问题，杆的初始温度是均匀的u0 ,保持杆的一端温度为 不变的u0，至于另一端则有强度为恒定的q0热流流入。
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( x ,Байду номын сангаас)
2 xdy c 2 yx c
Y (X,Y)
0
(X,0)
X
例三：已知解析函数f（Z）的虚部 v(x,y)= -x+ x y ,
2 2
求其实部及整个解析函数。
已知解析函数f（Z）的虚部
2 2
v(x,y)= -x+ x y , 求其实部及整个解析函数 解：在极坐标系下表示：v 2 cos( / 2) v 1 v sin( / 2), 2 根据C R条件，可得： u 1 u cos( / 2), sin( / 2) 2 2
ln 2 3 i( / 2 2k ) z i ( / 2 2k ) i ln 2 3
计算下列各式数值 (1)sin(a ib) (2)sin(ix) (3) ln(1)
(1) sin(a ib) e sin(a ib) 2i b b e (cos a i sin a ) e (cos a i sin a ) 2i b b b b e sin a e sin a i e cos a e cos a 2 b b b b e e sin a i e e cos a 2 e
i ( a ib ) i ( a ib )
(2) sin(ix) sin(ix) e
i ( ix )
e 2i
i ( ix )
e e i 2
x
x
(3) ln(1) ln(1) ln 1 i 2k i 2k
k 0, 1, 2
已知某解析函数f ( z )实部u e sin y，
x
求其虚部并完整表示整个函数f ( z )。 u u x x 解： e sin y, e cos y, x y 根据C R条件可得： v v x x e sin y, e cos y, y x v v 即：dv dx dy x y e sin ydx e cos ydy d (e cos y )
2 2
即dv 2 ydx 2 xdy v 2 ydx 2 xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
( x ,0)
(0,0) ( x, y )
( x, y )
2 ydx 2 xdy
( x ,0)
2 ydx 2 xdy c
m e
解 : 函数
z 1 1 函数为 [ln( z 1)]2 2
i
在所设区域内解析,它的一个原
ln( z 1) 1 2 所以 1 dz ln ( z 1) 1i z 1 2 1 2 [ln (i 1) ln 2 2] 2 2 3 2 ln 2 ln 2 i 32 8 8
x x x
所以：v e cos y c
x
最后：f ( z ) e sin y i ( e cos y c)
x x
ie (cos y i sin y ) ic
x
ie e ic ie ic
x iy z
2. 复变函数的积分
1.定义式
2.分解式
① C分段光滑 ② 在线段C上连续
已知方程： z 2，计算Z sin
e 解： z sin
即e e
iZ iZ iZ
iZ
e
iZ
2i 4i
2
解得：e 2 3 i iz ln 2 3 i ln 2 3 ln i ln 2 3 i ( / 2 2k )
2.复积分的基本性质
1.
2.
3.
复积分的基本性质
4.
5.
复通区域的科西定理
复积分的计算方法
1. 定义式 2. 分解式： 3. 极坐标法：积分曲线为圆周时
4.科西定理：
科西积分公式
二. 科西公式的推论
高阶导数公式的说明
1.
2.
3.
围道积分计算总结
1.
科西定理： 科西公式：
ln 2 3 i( / 2 2k ) z i ( / 2 2k ) i ln 2 3
例一 求解析函数u ( x, y ) x y 的虚部v( x, y ) u u 解：因为： 2 x， 2 y x y v v 所以： 2 y， 2 x x y
1. C-R： 2. 判断一个函数是否解析
计算下列各式数值 (1)sin(a ib) (2)sin(ix) (3) ln(1)
(1) sin(a ib) e sin(a ib) 2i b b e (cos a i sin a ) e (cos a i sin a ) 2i b b b b e sin a e sin a i e cos a e cos a 2 b b b b e e sin a i e e cos a 2 e
n 1
i 2 d 0 n1 i ( n1) d n 0 in r e r e
dz 当n 0时, c 2i z z0 dz i 2 当n 0时, c n 0 [cos(n ) i sin( n )]d 0 n 1 ( z z0 ) r
i (1 2 k )
k (0, 1, 2 )
1 i (3) 1 i 代数式：z i 三角式： 3 3 z cos 2k i sin 2k 2 2 指数式：z e
3 i 2 k 2
已知方程： z 2，计算Z sin
e 解： z sin
即e e
iZ iZ iZ
iZ
e
iZ
2i 4i
2
解得：e 2 3 i iz ln 2 3 i ln 2 3 ln i ln 2 3 i ( / 2 2k )
k (0, 1, 2 )
3/ 5计算下列数值。 (1)i (2)sin 5
i
因为：i=e 所以：
i( +2n ) 2
，
n 0, 1, 2
1( +2n ) i( 2 +2n ) i 2 i e e
i
复变函数
3. 复变函数
一个复变函数是一个二元实变函数的有序组合
可导的必要与充要条件
必要条件： 四个偏导数存在： 满足C-R条件： 充分必要条件： 1.四个偏导数连续 2. 满足C-R条件
解析函数的概念
定义：
解析的充要条件： 该区域内可导的充要条件处处成立
函数解析与可导、连续、极限的关系
解析函数的性质
把下列复数用代数式、 三角式和指数式表示出来。 (1) Z (2)e
3 1 i
1 i (3) 1 i
（1）z
3
3
代数式：令z ( x iy ) (cos i sin ) z ( x iy ) ( x 3xy ) i (3 x y y )
3 3 2 2 3
1 2 1 2 1 1 2 2
柯西定理的应用
由
| z | 1
dz z2
的 积分之值，证明:
2
0
1 2 cos d 0 5 4 cos
证明 :因为被积函数的奇点 z 2 在积分围道 | z | 1 外，
1 故在| z | 1 内 z2
解析，因而有:
2
cos( / 2)
即：du 1 cos( / 2)d sin( / 2)d 2 2 d
2 cos( / 2)
所以：u 2 cos( / 2) c f ( z ) 2 cos( / 2) c i 2 cos( / 2) 2z c
2.
3.
科西导数公式 综合式（复连通区域导数公式）如：
4.
dz z 例：计算 c 其中 为以 为 C n 1 ( z z0 ) 中心，为半径的正方向，为整数 r n
0
解：C 的方程为 z z0 re i 所以： dz re i 2
i
0 2
c
( z z0 )
i
（1）复数的三角形式
（2）复数的指数形式 其中叫做复数的模，叫做复数的副角。
复数的运算： z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ) z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ) z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2
三角式： z (cos 3 i sin 3 ),
3 3
x y , arctg ( y / x)
2 2
指数式：z e
3
3 i 3
(2)e
1 i
代数式：z e cos1 ie sin1 三角式： z e cos(1 2k ) i sin(1 2k ) 指数式：z ee