【创新方案】高考数学一轮复习_第九篇_解析几何_第1讲_直线的方程教案新部编本_理_新人教版

答案 D
考向二 求直线的方程
【例 2】 ?求适合下列条件的直线方程： (1) 经过点 P(3,2) ，且在两坐标轴上的截距相等；
1 (2) 过点 A( － 1，－ 3) ，斜率是直线 y＝3x 的斜率的－ 4；
(3) 过点 A(1 ，－ 1) 与已知直线 l 1： 2x＋ y－ 6＝ 0 相交于 B 点且 | AB| ＝5.
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教师学科教案
[ 20 –20 学年度 第__学期 ]
任教学科： _____________ 任教年级： _____________ 任教老师： _____________
xx 市实验学校
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
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△ABO的面积最小，最小值为 12.
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xy 此时直线 l 的方程为： 6＋ 4＝ 1. 即 2x＋ 3y－ 12＝ 0.
求直线方程最常用的方法是待定系数法． 若题中直线过定点， 一般设直线方程的
点斜式，也可以设截距式．注意在利用基本不等式求最值时，斜率
第 1 讲 直线的方程
【2013 年高考会这样考】 1．考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式． 2．求不同条件下的直线方程 ( 点斜式、两点式及一般式等 ) ． 3．直线常与圆锥曲线结合，属中高档题． 【复习指导】 1．本讲是解析几何的基础，复习时要掌握直线方程的几种形式及相互转化的关系，会根据 已知条件求直线方程． 2．在本讲的复习中，注意熟练地画出图形，抓住图形的特征量，利用该特征量解决问题往 往能达到事半功倍的效果．
程；
(2) 待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程
( 组 ) 求系数，最后代入求出直线方程．
两个注意
(1) 求直线方程时， 若不能断定直线是否具有斜率时， 应对斜率存在与不存在加以讨论． (2)
在用截距式时，应先判断截距是否为 0，若不确定，则需分类讨论．
双基自测
x1＋ x2 x＝ 2 ，
y1＋ y2
y＝
，
2
此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式．
一条规律
直线的倾斜角与斜率的关系：
斜率 k 是一个实数，当倾斜角 α≠90°时， k＝ tan α. 直线都有倾斜角，但并不是每条直
线都存在斜率，倾斜角为 90°的直线无斜率．
两种方法
求直线方程的方法：
(1) 直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方
2．直线 3x－ y＋ a＝ 0( a 为常数 ) 的倾斜角为 ( ) ． A．30° B ．60° C ． 150° D ．120°
解析 直线的斜率为： k＝ tan α＝ 3，又∵ α∈ [0 ，π ) ∴ α ＝60°．
答案 B
3
3．(2011 ·龙岩月考
) 已知直线
l 经过点
P( － 2,5) ，且斜率为－
判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
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1 【训练 2】 (1) 求过点 A(1,3) ，斜率是直线 y＝－ 4x 的斜率的 3的直线方程．
(2) 求经过点 A( － 5,2) ，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程． 解 (1) 设所求直线的斜率为 k，依题意
2 当直线过原点时，斜率 k＝－ 5，
2 直线方程为 y＝－ 5x，即 2x＋5y＝ 0，
综上可知，所求直线方程为 x＋2y＋ 1＝ 0 或 2x＋ 5y＝ 0.
【例 3】 ?已知直线
考向三 直线方程的应用
l 过点 P(3,2) ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、B两点，如右图所示，求△ ABO的面积 的最小值及此时直线 l 的方程． [ 审题视点 ] 设直线 l 的方程为截距式，利用基本不等式可求．
因此所求直线方程为 y＋ 3＝－ 4( x＋ 1) ，
即 3x＋ 4y＋ 15＝ 0. (3) 过点 A(1 ，－ 1) 与 y 轴平行的直线为 x＝ 1.
x＝ 1， 解方程组
2x＋ y－6＝ 0，
求得 B 点坐标为 (1,4) ，此时 | AB| ＝ 5， 即 x＝ 1 为所求． 设过 A(1 ，－ 1) 且与 y 轴不平行的直线为 y＋ 1＝ k( x－ 1) ，
则其斜率的取值范围是 ( ) ．
1 A．－ 1＜ k＜ 5
1 B． k＞ 1 或 k＜ 2
1 C． k＞ 5或 k＜ 1
1 D． k＞ 2或 k＜－ 1
2 解析 设直线的斜率为 k，则直线方程为 y－ 2＝ k( x－ 1) ，直线在 x 轴上的截距为 1－k，令
2 －3＜ 1－ k＜ 3，解不等式可得．也可以利用数形结合．
方程 y－ y1＝ k( x－ x1)
y＝ kx＋ b
y－ y1 x－ x1
y 2－
＝ y1
x 2－
( x1
x1≠
x2，
y1≠
y 2)
xy a＋ b＝ 1( ab≠0)
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适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于坐标轴的直
线
不含垂直于坐标轴和过
[ 审题视点 ] 选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可． 解 (1) 法一 设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a＝ 0，即 l 过点 (0,0) 和 (3,2) ，
2 ∴l 的方程为 y＝ 3x，即 2x－3y＝ 0.
xy 若 a≠0，则设 l 的方程为 a＋ a＝ 1，
32 ∵l 过点 (3,2) ，∴ a＋ a＝ 1，
用小写字母 k 表示，即 k＝ tan_ α，倾斜角是 90°的直线，其斜率不存在．
(2) 经过两点的直线的斜率公式：
y2－ y1
经过两点 P1( x1 ，y1) ， P2( x2， y2 )( x1≠ x2) 的直线的斜率公式为
k＝
x2－
. x1
3．直线方程的五种形式 名称
点斜式 斜截式
两点式
截距式
2x＋ y－6＝ 0， 解方程组
y＋ 1＝ k x－ 1 ，
得两直线交点为
x
＝
k＋ k＋
7 2，
4k－ 2 y＝ k＋2 .
( k≠－ 2，否则与已知直线平行 ) ．
则 B 点坐标为
k＋ k＋
7 2，
4k－ 2 k＋2
.
由已知
k＋ k＋
7 2－
1
2＋
4kk＋－22＋ 1
2＝ 5 2 ，
3
3
解得
k＝－
A． x－ y－ 3＝ 0 C． x＋ y＋ 3＝ 0
B． x＋ y－ 3＝ 0 D． x－ y＋ 3＝ 0
y－ 3 x－ 0 解析 由两点式得： 1－ 3＝ 2－ 0，即 x＋y－ 3＝ 0.
答案 B
5．(2012 ·长春模拟 ) 若点 A(4,3) ， B(5 ， a) ， C(6,5) 三点共线，则 a 的值为 ________．
xy 解 设 A( a, 0) ， B(0 ， b) ， ( a＞0， b＞ 0) ，则直线 l 的方程为 a＋ b＝ 1，
32 ∵l 过点 P(3,2) ，∴ a＋ b＝ 1.
32 ∴1＝ a＋ b≥2
6 ab，即 ab≥24.
1
32
∴S△ ＝ ABO 2ab≥12. 当且仅当 a＝ b，即 a＝6， b＝ 4.
A.
π，π 63
B.
π，π 62
C.
π，π 32
D.
π，π 32
l 的倾
[ 审题视点 ] 确定直线 l 过定点 (0 ，－ 3) ，结合图象求得． 解析 由题意， 可作两直线的图象， 如图所示，从图中可以看出， 直线 l 的倾斜角的取值范
ππ 围为 6 ， 2 .
答案 B
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∴a＝ 5，∴ l 的方程为 x＋ y－5＝ 0， 综上可知，直线 l 的方程为 2x－ 3y＝ 0 或 x＋ y－ 5＝ 0. 法二 由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k≠0，
设直线方程为 y－ 2＝ k( x－ 3) ， 2
令 y＝ 0，得 x＝ 3－k，令 x＝0，得 y＝2－ 3k，
2
2
由已知 3－ k＝ 2－ 3k，解得 k＝－ 1 或 k＝ 3，
14 k＝－ 4× 3＝－ 3.
又直线经过点 A(1,3) ，
4 因此所求直线方程为 y－ 3＝－ 3( x－ 1) ，
即 4x＋ 3y－ 13＝ 0. (2) 当直线不过原点时，设所求直线方程为
xy 2a＋a＝ 1，
1 将( － 5,2) 代入所设方程，解得 a＝－ 2，
此时，直线方程为 x＋ 2y＋ 1＝ 0.
(2) 若 x1≠ x2，且 y1＝ y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为 y＝y1.
y－ y1 x－ x1
(3) 若 x1≠ x2，且 y1≠ y2 时，方程为
＝
.
y2－ y1 x2－ x1
5．线段的中点坐标公式
若点 P1、 P2 的坐标分别为 ( x1， y1) 、 ( x2 ， y2) ，线段 P1P2 的中点 M 的坐标为 ( x ， y) ，则
. 4
则直线
l 的方程为
( )．
A． 3x＋ 4y－ 14＝ 0
B． 3x－ 4y＋14＝ 0
C． 4x＋ 3y－ 14＝ 0 3
解析 由 y－ 5＝－ 4( x＋ 2) ，得 3x＋ 4y－ 14＝ 0.
D． 4x－ 3y＋14＝ 0
答案 A
4．(2012 ·烟台调研 ) 过两点 (0,3) ， (2,1) 的直线方程为 ( ) ．
，∴ 4
y＋
1＝－
( 4
x－
1)
，
即 3x＋ 4y＋ 1＝ 0. 综上可知，所求直线的方程为
x＝ 1 或 3x＋ 4y＋ 1＝ 0.
在求直线方程时， 应先选择适当的直线方程的形式， 并注意各种形式的适用条件， 用斜截式及点斜式时， 直线的斜率必须存在， 而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线， 截距
式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线， 故在解题时， 若采用截距式， 应注意分类讨论，
基础梳理
1．直线的倾斜角
(1) 定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准， x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所
成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0° .
(2) 倾斜角的取值范围： [0 ，π ) ．
2．直线的斜率
(1) 定义：当 α≠90°时，一条直线的倾斜角 α 的正切值叫wk.baidu.com这条直线的斜率，斜率通常
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求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想． 当直线的倾斜角由锐角变到直角及 由直角变到钝角时，需根据正切函数 y＝ tan α 的单调性求 k 的范围，数形结合是解析几何
中的重要方法． 【训练 1】 (2012 ·贵阳模拟 ) 直线 l 经过点 A(1,2) ，在 x 轴上的截距的取值范围是 ( － 3,3) ，
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原点的直线
一般式
Ax＋ By＋ C＝ 0( A， B 不同时为零 )
平面直角坐标系内的直 线都适用
4. 过 P1( x1， y1) ， P2( x2， y2) 的直线方程
(1) 若 x1＝ x2，且 y1≠ y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为 x＝x1.
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2
∴直线
l
的方程为
y－
2＝－
(
x－
3)
或
y－
2＝
( 3
x－
3)
，
即 x＋ y－ 5＝ 0 或 2x－ 3y＝ 0.
(2) 设所求直线的斜率为 k，依题意
1
3
k＝－ 4×3＝－ 4.
又直线经过点 A( － 1，－ 3) ， 3
1． ( 人教 A 版教材习题改编 ) 直线经过点 (0,2) 和点 (3,0) ，则它的斜率为 ( ) ．
2
3
2
3
A.
B.
3
2
C ．－ 3 D ．－ 2
0－2 2 解析 k＝3－ 0＝－ 3.
答案 C
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5－ 3
a－ 3
解析 ∵ kAC＝6－ 4＝ 1， kAB＝5－ 4＝a－ 3.
由于 A、 B、 C三点共线，所以 a－ 3＝ 1，即 a＝ 4.
答案 4
考向一 直线的倾斜角与斜率
【例 1】?若直线 l ： y＝ kx－ 3与直线 2x＋ 3y－ 6＝ 0 的交点位于第一象限，则直线
斜角的取值范围是 ( ) ．