数理统计课后答案-第三章汇编

X
。
3.4 设总体 ξ 服从几何分布，概率分布为
P{ξ = k} = (1 − p)k−1 p ， k = 1, 2,L ，
其中，0 < p < 1 是未知参数， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本，求 p 的极大似然估计。
解 似然函数
n
∏ ∏ L =
n
P{ξ = xi } =
n
3
X 2)
=
X
2
(1) (2)
,
(2) − (1)2 ：
∑ (aˆ − bˆ)2 12
= aˆ 2 + aˆbˆ + bˆ2 3
− ( aˆ
+ bˆ )2 2
=
X
2
−
X
2
=
1 n
n i =1
X
2 i
−
X
2
=
S2
，
两边开方：
aˆ − bˆ = ± S 2 = ±S ，即 aˆ − bˆ = ± 3 S (3) ，
23
2
(1) + (3) 得：
aˆ = aˆ + bˆ + aˆ − bˆ = X ± 3 S ， 22
(1) − (3) 得：
bˆ
=
aˆ
+ 2
bˆ
−
aˆ
− 2
bˆ
=
X
m
3S
，
可得到两组解：
⎧aˆ = X − ⎩⎨bˆ = X +
3S 3S
和
⎧aˆ = X + ⎩⎨bˆ = X −
3S 3S
。
因为 a < b ，第二组解应该舍去，所以矩法估计为
⎧aˆ = X − ⎩⎨bˆ = X +
3S 3S
。
(2) 似然函数
3
∏ ∏ L =
n
ϕ(xi )
=
⎪⎧ ⎨
n i =1
b
1 −
a
i =1
⎪⎩ 0
a ≤ xi ≤ b ，i = 1,2,L, n 其他
=
⎪⎧ ⎨
(b
1 − a)n
⎪⎩ 0
a
≤
min i
xi
≤
max i
xi
≤
b
。
其他
L
=
1 (b − a)n
d ln L = dθ
n θ
+
n
ln xi
i =1
=0
，得到极大似然估计
θˆ = − n = −1 = −1 。
n
∑ ln X i
i =1
∑ 1 n
n i=1 ln X i
ln X
1
3.3 设总体 ξ 服从 Poisson 分布，概率分布为
P{ξ = k} = λk e−λ , k = 0, 1, 2,L ， k!
(1 −
p) xi −1
p
=
(1 −
∑ xi −n p) i=1
pn
。
i =1
i =1
n
∑ ln L = ( xi − n) ln(1 − p) + n ln p 。 i =1
n
∑ 解方程 d ln L = − i=1 xi − n + n = 0 ，得到极大似然估计
dp
1− p p
pˆ = n = 1
解 （1）
∫ ∫ Eξ =
+∞
xϕ ( x)dx
=
b
x
1
dx = a + b ，
−∞
a b−a
2
∫ ∫ E(ξ 2 ) = +∞x2ϕ(x)dx = b x 2 1 dx = a 2 + ab + b2 。
−∞
a b−a
3
解方程
⎧
⎪⎪
⎨ ⎪
aˆ
2
⎪⎩
+
aˆ
+
bˆ
=
∧
Eξ
=
2
aˆbˆ + bˆ2
=
∧
E(ξ
习题三
3.1
设ξ
的概率密度为
ϕ
(x)
=
⎧θ ⎨
(θ + 1)xθ −1 (1 − x)
⎩
0
0 < x < 1 ，其中，θ > 0 是 其他
未知参数， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本，求θ 的矩法估计。
解
∫ ∫ ∫ Eξ = +∞xϕ(x)dx = 1 xθ (θ + 1) xθ −1 (1 − x)dx = θ (θ + 1) 1(xθ − xθ +1 )dx
i =1
n λxi e −λ = i=1 xi !
∑ xi
λ i=1
e −nλ
n
xi !
，
i =1
n
n
ln L = ∑ xi ln λ − ln ∏ xi!− nλ 。
i =1
i =1
n
∑ ∑ 解方程 d ln L =
dλ
xi i=1 − n = 0
λ
，得到极大似然估计
λˆ
=
1 n
n i =1
Xi
=
解 似然函数
∏ ∏ L =
n
ϕ(xi )
i =1
=
n i =1
1 2σ
−
e
xi σ
=
1
−1 n
e ∑ σ i=1
xi
2nσ n
。
∑ ln L = −n ln 2 − n lnσ − 1
要达到最大，
a
要尽可能大，但它不能大于
min i
xi
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，
b
要尽可能小，但它不
能小于
max i
xi
，所以极大似然估计为
⎪⎧aˆ ⎪⎩⎨bˆ
= =
min i
max i
X X
i i
。
3.6
已知总体 ξ
服从 Laplace 分布，概率密度为 ϕ(x) =
1
x −
eσ
,其中，σ > 0 是未
2σ
知参数， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本，求 σ 的极大似然估计。
( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本，求：
（1）θ 的矩法估计； （2）θ 的极大似然估计。
解 (1)
∫ ∫ Eξ = +∞xϕ(x)dx = 1 xθ xθ −1dx = θ 。
−∞
0
θ +1
解方程
θˆ θˆ + 1
=
Λ
Eξ
=
X
, 得到矩法估计
θˆ = X 1− X
。
(2) 先求似然函数：
∏ ∏ ∏ L =
n
ϕ(xi )
=
⎪⎧ ⎨
n i =1
θ
xiθ −1 = θ n
n i =1
xiθ −1
i =1
⎪⎩
0
0 < xi < 1 ( i = 1,2,L, n) 其他
n
∑ 当 L ≠ 0 时，对 L 取对数，得到 ln L = n lnθ + (θ −1) ln xi 。 i =1
∑ 解方程
∑n Xi
X
。
i =1
2
3.5 设总体 ξ 服从 [a, b] 上的均匀分布，概率密度为
ϕ
(x)
=
⎧1 ⎨ ⎩
(b − 0
a)
a≤ x≤b 其他
其中， a < b 是未知参数， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本，求：
（1） a, b 的矩法估计； （2） a, b 的极大似然估计。
−∞
0
0
= θ (θ
+
1)⎜⎜⎝⎛
xθ +1 θ +1
−
xθ + θ+
2
2
⎟⎟⎠⎞
1 0
= θ (θ
+ 1)
(θ
1 + 1)(θ
+
2)
=
θ
θ +
2
。
解方程
θˆ θˆ +
2
=
Λ
Eξ
=
X
, 得到矩法估计
θˆ = 2X 1− X
。
3.2
设ξ
的概率密度为
ϕ (x)
=
⎧θ ⎨
xθ −1
⎩0
0 < x < 1 ，其中，θ > 0 是未知参数， 其他
其中， λ > 0 是未知参数， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本，求：
（1） λ 的矩法估计； （2） λ 的极大似然估计。
解
(1)
因为
ξ ～ P(λ) （Poisson 分布）， Eξ = λ ,
所以矩法估计为
λˆ
=
∧
Eξ
=X
。
（2）似然函数
n
∏ ∏ ∏ L =
n
P{ξ = xi } =