机械振动4两自由度系统的动力学方程

实际振动为：
x(t ) x ( 2) (t ) x ( 2) (t )
1 1 C1 sin(1t 1 ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 17) r1 r2
其中C1、C2和1、2由初始条件确定。
《振动力学》 12
例4.1-1： m1 m, m2 2m，
2 2 k11k22 (k1 k2 )(k2 k3 ) k2 k12
i2 0 (i 1,2) i (i 1,2)为正实根，即两个固有 频率。 每个i 代入方程 (4.1 10)，得到： 2 k u k12 2 11 i m1 2 (k11 i m1 )u1 k12u2 0 u1 k12 k22 i2 m2
(4.1 15a) (4.1 15b)
u(1)、u( 2)称 为 振 型 向 量 或 模 态 向
量 ， 分 别 对 应 于 1、2。
x1(i ) Ci u1(i ) sin( i t i )， 对每个 i： (i ) (i 1,2) (i ) x2 Ci u2 sin( i t i )，
以O点为参考点，O点与质心C的距离为a，距离A、B点分 别为l1、l2，相对静平衡位置O0的位移为x，刚性杆相对平 衡位置的偏角为θ 。 试建立系统的动力学方程。
《振动力学》 19
解：以x、θ 为广义坐标
xc x a sin
θ 为小量
θ
xc x a
k1
x O0
k2
系统的动能：
T 1 2 1 2 C I c C mx 2 2 1 ) 2 1 J 2 a m( x 2 2
m人
k1 c1
m车
建模方法2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 弹性和阻尼 k2
c2
需两个独立坐标
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合 缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
《振动力学》 3
m人
k1 c1
m车
k2 建模方法3： 车、人、车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼 k3 c2 k2
《振动力学》 17
2 I1 2( 2) k 2 I1 2(1) k 12 I1 r1 (1) 1, r2 ( 2) 1 k I2 1 k
以2振动时，固有振型如图 ：
节面处始终保持不动。
1
l1
节面
l
l2

I1 I2
I 2l I1l 节面的位置 : l1 , l2 I1 I 2 I1 I 2 l1 I 2 l2 I1
( 2 ) 2m2 4 7mk 2 5k 2 0
k k/m 12 7 1 7 2 2 ( ) 10 2 4 2 2 m 5k / 2m
《振动力学》
1
k 5k , 2 m 2m
15
例4.1-2：求扭转振动系统的固有频率和固有振型
《振动力学》
5
§4.1
自由振动
两自由度系统的动力学方程一般由两个联立的微分方 程组成。 解两个联立的微分方程会得到两个特征根，即两个固 有频率。 两自由度系统以固有频率进行的振动，
有两个相对固定的位移形态。
这种相对固定的位移形态称为固有振型，或模态。
《振动力学》 6
实例：
k1 m1
x1
k2 m2
u( 2)
u ( 2)
u1( 2) ( 2) 1 ( 2) u1 0 . 5 u 2
1
u (1)
1
k 1 m
节点
-0.5
2
5k 2m
14
1
《振动力学》
例4.1-2： m1 m, m2 2m，
k1 k2 k，k3 2k
x1
x2
k1
m1
k2
m2
k3
(1) u2 k11 12 m1 2k k 得：r1 (1) 1 u1 k12 k ( 2) 2 u2 k11 2 m1 2k 5k / 2 r2 ( 2) 0.5 u1 k12 k
(1) u (1) (1) 1 1 得固有振型： u (1) u1 1 u2
1
k
2
I1
I2
在节面处进行固定，不 改变该扭振系统的振动 特性。 即该扭振系统可看成两 个以同一频率按相反方 向扭振的单自
由度系统。
《振动力学》 18
例4.1-3 讨论汽车简化模型， 设刚性杆AB的 质量为m，相 对质心C的转 动惯量为J， 弹簧刚度系数 为k1、k2，
θ x k1 k2
O0
( 2 ) 2m2 4 7mk 2 5k 2 0
k k/m 12 7 1 7 2 2 ( ) 10 2 4 2 2 m 5k / 2m
《振动力学》
1
k 5k , 2 m 2m
13
k 5k k 1 , 2 1.5811 m 2m m
代入方程得：
m1u1 f(t ) (k11u1 k12u2 ) f (t ) 0 m2u2 f(t ) (k21u1 k22u2 ) f (t ) 0
要使上式有解，必须：
f(t ) k11u1 k12u2 k21u1 k22u2 f (t ) m1u1 m2u2
代入方程得：
(k11 2 m1 )u1 k12u2 0 k21u1 (k22 m2 )u2 0
2
（4.1-10）
代数方程，有非零解的条件：
2 k m1 k12 2 11 ( ) 0 2 k21 k22 m2
《振动力学》
特征行列式，
9
2 k m1 k12 2 11 ( ) 0 2 k21 k22 m2
x2
k3
k1x1
k2(x1-x2)
m1
1 m1 x
m1 x 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0
k2(x1-x2)
m2
k3x2
m2 x 2 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 0
写成矩阵形式： 其中：
2 m2 x
M x Kx 0
x1
x2
k1 k2 k，k3 2k
求固有频率和固有振型 。
k1
m1
k2
m2
k3
解：方程
M x Kx 0
2k k m 0 其中： M K 0 2m k 3 k 2 2 k m k 2 k m k 2 11 1 12 ( ) 0 2 2 k21 k22 m2 k 3k 2 m
第四章
两自由度系统的振动
《振动力学》
1
例子：汽车行驶在路面上会产生上下振动 m
k 要求：对汽车的上下振动进行动力学建模 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合 建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单（单自由度） 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之 2 《振动力学》 间的相互影响 c
特征方程：
1
k
2
(k 2 I1 )(k 2 I 2 ) k2 0 I1I 2 4 k (I1 I 2 ) 2 0
特征根：
I1
I2
I1 I 2 0, k , I1 I 2 相应的振幅比 :
2 1 2 2
这里1 0，r1 1 ， 说明以 1振动时，转角是相同的 ，轴段无变形。 这实际上是刚体转动， 不是振动。
1 1 sin(t ) 设 2 2 sin(t )
I 2 2 I1 1
《振动力学》 16
代入微分方程组，得
(k 2 I1 )1 k 2 0 2 k ( k I 2 ) 2 0 1
《振动力学》 8
f(t ) f (t ) 0
与单自由度振动的方程一样，要有振动，λ必须为正实数。
而且解为： f (t ) C sin(t )
（4.1-9）
其中：C为任意常数， 为振动频率， 为初相位角。
xi ui f (t ) Cui sin(t )， (i 1,2)
两圆盘 转动惯量 I1 , I 2， 轴的扭转刚度
k
1
k
2
k ( ) 建立方程： I1 1 2 1 I 2 2 k (1 2 )
I1
k (1 2 ) k (1 2 )
I2
k k 0 I1 1 1 2 k k 0 I 2 2 1 2
2 ( 2 ) m1m2 4 (m1k22 m2k11 ) 2 k11k22 k12 0
2 12 1 m1k 22 m2 k11 1 m1k 22 m2 k11 2 k11k 22 k12 2 ( ) 4 m1m2 2 m1m2 m1m2 2 2
x x1
x2
m1 0 M 0 m 2
k1 k2 K k2
k2 k 2 k3
T
质量矩阵
《振动力学》
刚度矩阵
7
令k1 k2 k11，
k2 k12 k21，
k2 k3 k22。
k1 k2 K k2
《振动力学》 11
(1) x 1 (1) (1) 1 (t ) 得： x (t ) (1) u f1 (t ) C1 sin(1t 1 ) r1 x2 (1 ( 2) ( 2) 1 (t ) x (t ) ( 2) u f 2 (t ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 16b) r2 x2 (t )
m1 x 1 k11 x1 k12 x2 0
k2 k11 k12 k2 k3 k21 k22
m2 x 2 k21 x1 k22 x2 0
（4.1-4）
x1 u1 f (t ), x2 u2 f (t )
找x1与x2同步运动的解：
求固有频率和固有振型 。
解：方程
M x Kx 0
2k k m 0 其中： M K 0 2m k 3 k 2 2 k m k 2 k m k 2 11 1 12 ( ) 0 2 2 k21 k22 m2 k 3k 2 m
《振动力学》 10
(1) u2 k11 12 m1 k12 得：r1 (1) u1 k12 k22 12 m2 ( 2) 2 u2 k11 2 m1 k12 r2 ( 2) 2 u1 k12 k22 2 m2
(1) 1 u (1) (1) 1 得矩阵： u (1) u1 r1 u2 ( 2) 1 u ( 2) ( 2) 1 u ( 2) u1 r2 u2
c2
m m 轮
c3 k3
m轮
c3
优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相 互耦合，模型较为精确 需多个独立坐标 问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
《振动力学》 4
本章教学内容
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 自由振动 静力耦合和动力耦合 任意初始条件的自由振动 简谐激励的强迫振动 动力减振器