高考数学《直线和圆》专题 直线与圆、圆与圆的位置关系学案

第6课时 直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系

将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆心C 到直线l 的距离为d ，则直线与圆的位置关系满足以下关系： 相切⇔d ＝r ⇔△＝0 相交⇔ ⇔ 相离⇔ ⇔ 2．圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为R 和r(R≥r)，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足以下条件： 外离⇔d > R ＋r 外切⇔ 相交⇔ 内切⇔ 内含⇔ 3. 圆的切线方程

① 圆x 2

＋y 2

＝r 2

上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为l: . ② 圆(x －a)2

＋(y －b)2

＝r 2

上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为l : . ③ 圆x 2

＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为 .

例1. 过⊙：x 2

＋y 2

＝2外一点P(4，2)向圆引切线． ⑴ 求过点P 的圆的切线方程．

⑵ 若切点为P 1、P 2求过切点P 1、P 2的直线方程． 解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y －2＝k(x －4) 即kx －y+2－4k ＝0 ① 则d ＝

2

142k k +-

∴2

142k k +-＝2 解得k ＝1或k ＝7

1

∴切线方程为：x －y －2＝0或x －7y ＋10＝0

(2) 设切点Ｐ1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则两切线的方程可写成l 1: x 1x ＋y 1y ＝2，l 2：x 2x ＋y 2y ＝

典型例题 基础过关

P 2

P 1 ，2)

x y O

２

因为点(4，2)在l 1和l 2上． 则有4 x 1＋2y 1＝2 4x 2＋2y 2＝2

这表明两点都在直线4x ＋2y ＝2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2 x ＋y －1＝0即为所求

变式训练1：（1）已知点P(1，2)和圆C ：022

22=++++k y kx y x ，过P 作C 的切线有两条，则k 的取值范围是( ) A.k ∈R Ｂ.k ＜

3

3

2 Ｃ.23

03

k -

<< D.2323

33

k -

<<

（2）设集合A={（x,y)|x 2

＋y 2

≤4},B={(x,y)|(x－1)2

＋(y －1)2

≤r 2

(r ＞0)},当A∩B=B 时，r 的取值范围是 （ ）

A ．（0， 2 －1）

B ．（0，1]

C ．（0，2－ 2 ]

D ．（0， 2 ] （3）若实数x 、y 满足等式(x-2)２

＋ｙ２

＝３，那么

x

y

的最大值为( ) A.

2

1 Ｂ.

33 Ｃ.2

3 Ｄ.3 （4）过点M )2

3,3(--且被圆252

2

=+y x 截得弦长为8的直线的方程为 ． （5）圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆0342

2

=--+x y x 和0342

2

=--+y y x 的交点的圆的方程是 . 解：（1）D ．提示：P 在圆外． （2）C ．提示：两圆内切或内含． （3）D ．提示：从纯代数角度看，设t=x

y

,则y=tx ，代入已知的二元二次方程，用△≥0，可解得t 的范围。从数形结合角度看，

x

y

是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界． （4）0301543=+=++x y x 或．提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率．

（5）03262

2=-+-+y x y x .提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中的一个待定系数，可依据圆心在已知直线上求得．

例2. 求经过点A(4，－1)，且与圆：x 2

＋y 2

＋2x －6y ＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程． 解：圆C 的方程可化为(x ＋1) 2

＋(y －3)2＝5 ∴圆心C(－1，3)，直线BC 的方程为： x ＋2y －5＝0

①

又线段AB 的中点D(25

，2

1)，k AB ＝－1 ∴线段AB 的垂直平分线方程为： y －21＝x －2

5即x －y －2＝0 ② 联立①②解得x ＝3，y ＝1

∴所求圆的圆心为E(3，1)，半径|BE|＝5 ∴所求圆的方程为(x －3)2

＋(y －1)2

＝5

变式训练2：求圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程． 解：设所求圆的方程为(x-a)2

+(y-b)2

=r 2

, ∵圆与坐标轴相切， ∴a =±b,r=｜a ｜

又∵圆心(a,b)在直线5x-3y=8上. ∴5a-3b=8,

由⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧==-±=a

r b a b a 835 得⎪⎩

⎪

⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧===111444r b a r b a 或 ∴所求圆的方程为： （x-4)2

+(y-4)2

=16 或(x-1)2

+(y+1)2

＝1．

例3. 已知直线l ：y ＝k(x ＋22)(k≠0)与圆O ：x 2

＋y 2

＝4相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．△AOB 的面积为S ．

⑴ 试将S 表示为k 的函数S(k)，并求出它的定义域． ⑵ 求S(k)的最大值，并求出此时的k 值． 解：(1)圆心O 到AB 的距离d ＝

2

122k

k +

由d<2⇒－1< k <1 |AB|＝4

2

211k

k +- S(k)＝42

2

222)

1()1(k k k +-

(2) 解法一：据(1)令1＋k 2

＝t k 2

＝t －1(1< t <2)