直线和椭圆的弦长问题PPT课件
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---------弦长问题
问题：椭圆与直线的位置关系？
相离
相切
相交
问题：怎么判断它们之间的位置关系？
判断方法 （1）联立方程组：
（2）消去一个未知数
ìïïïíïïïî
Ax2 + Bx + C = x2 + y2 = 1 a2 b2
0
得： mx2 + nx + p = 0(m ? 0)
（3）判定D 的大小
求弦长的操作程序
找
到 平行于坐标轴的直线
或
求
出 直 线
不平行于坐标轴，但 过焦点的直线
与
椭
圆 不平行于坐标轴，也
方 不过焦点的直线
程
两点间距离公式
焦半径公 式
弦 长公 式
思考练习：
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线 y = x + 1 与该椭圆相交于P和Q两点，且线段 OP ^ OQ PQ = 10 ,求椭圆的方程.
Û Û Û ∆<0
方程无解
直线与椭圆没有交点
相离
Û Û Û ∆=0
方程有一解
直线与椭圆有一个交点
相切
Û Û Û ∆>0
方程有两解
直线与椭圆有两个交点
相交
弦长问题：
已知直线 y = x- 1 与椭圆 x2 + 2 y2 = 1，判断他们的位置关系
2
2
解：联立方程组：ìïïïíïïïî
x
y= 2+ 4
数得一元二次方程
由椭圆方程知：a2 = 4, b2 = 1, c2 =③3韦达定理
\ F ( 3 , 0) 直线L方程为： y④=弦x长- 公式3
Þ 联立方程组： ìïïíïïî
x2 + y=
4 y2 x-
=4 3
5x2 - 8 3x+ 8 = 0
\
x1 +
x2 =
8
3 5
,
x1
x2
=
8 5
\
AB =
2
再 见谢 谢
b
c
x1 + x2 = - a , x1 x2 = a
AB = 1+ k2 ( x1 + x2 )2 - 4x1 x2
= 1+ k 2 (- b )2 - 4 c
a
a
= 1+ k2 b2 - 4ac a2
= 1+ k2 D a
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/24
直线与圆的相交弦的弦长：
弦长公式：
l = 2 r2 - d2 （d为圆心到直线的距离）
设直线与椭圆相交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 两点，
直线AB的斜率为K.
AB = 1+ k2 ( x1 + x2 )2 - 4x1x2
=
1+ 1 k2
( y1 + y2 )2 - 4 y1 y2
xy2
1 2 =
2
消去y得： 5x2 -
4x-
1= 0
①
D > 0 \ 方程①有两个根 \ 直线与椭圆的位置关系：相交
思：相交所得弦的弦长是多少？
AB = ( x1 - x2 )2 + ( y1 - y2 )2
= 2( x1 - x2 )2 = 2 ( x1 + x2 )2 - 4 x1 x2
=6 2 5
\ D = b2 - 4ab = 64 > 0
4
4
x1 + x2 = - 3 , x1 x2 = - 3
\
弦长 l =
1+ k2
( x1 + x2 )2 -
4x1 x2 =
4 3
5
例2：已知斜率为1的直线L过椭圆
x2 + y2 = 1 4
的右焦点交椭圆于A，B两点，求总AB结的：长.
①联立方程组
解： 令A,B坐标分别为 A( x1 , y1 ), B②(消x2去, y其2 )中一个未知
1+ k2
( x1 + x2 )2 -
4x1 x2 =
8 5
总结：
求弦长的方法：
[1]两点间距离公式：
l x1 x2 2 y1 y2 2
注：对于平行于坐标轴的直线与椭圆相交产
生的弦长，由于交点坐标非常好解，故用两点间 距离公式就可以求弦长。
注：应用焦半径公式求弦长，是把弦长看
的弦长：
= 2a + e( x1 + x2 )
过右焦点 AB = FA + FB = (a-ex1 ) + (a-ex2 )
的弦长：
= 2a-e( x1 + x2 )
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/24
[3] 弦长公式：
l x1 x2 1 k 2
1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
[2]焦半径公式：作径同公一式焦时点，的注两意个左焦、半右径焦之点和的。公使式用不焦同半。
对于椭圆 x2 a2
wenku.baidu.com
y2 b2
1来说，有
左焦点焦半径公式为：F1P a ex
右焦点焦半径公式为：F2P a ex
过左焦点 AB = FA + FB = (a + ex1 )+ (a + ex2 )
其中 x1 + x2 , x1x2 可由韦达定理得
适合求任 何二次曲 线与直线 的弦长
思考：直线k不存在应怎样求解呢？
例1：
求椭圆
x2 +
y2 =1
与直线x -
2y+ 2= 0
相交弦长
42
解：联立方程组：
ìïïïíïïïî
x2 y
+ =
2y2 = 4 1 x+ 1 2
Þ 3x2 + 4x- 4= 0
注：此公式是由：直线斜率 k、弦的端点横坐标 x1 、x2 来求出弦长的。故，在给出直线方程时 （既：已知 k），基本都使用这个公式。
例3：已知点 F1 , F2
分别是椭圆
x2 + 2
y2 = 1
的左、右
焦点，过 F2
y
作倾斜角为 π
4
的直线，求 D ABF1的面积
A
·
·
F1
F2
B
用三种方式 x 求解AB
问题：椭圆与直线的位置关系？
相离
相切
相交
问题：怎么判断它们之间的位置关系？
判断方法 （1）联立方程组：
（2）消去一个未知数
ìïïïíïïïî
Ax2 + Bx + C = x2 + y2 = 1 a2 b2
0
得： mx2 + nx + p = 0(m ? 0)
（3）判定D 的大小
求弦长的操作程序
找
到 平行于坐标轴的直线
或
求
出 直 线
不平行于坐标轴，但 过焦点的直线
与
椭
圆 不平行于坐标轴，也
方 不过焦点的直线
程
两点间距离公式
焦半径公 式
弦 长公 式
思考练习：
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线 y = x + 1 与该椭圆相交于P和Q两点，且线段 OP ^ OQ PQ = 10 ,求椭圆的方程.
Û Û Û ∆<0
方程无解
直线与椭圆没有交点
相离
Û Û Û ∆=0
方程有一解
直线与椭圆有一个交点
相切
Û Û Û ∆>0
方程有两解
直线与椭圆有两个交点
相交
弦长问题：
已知直线 y = x- 1 与椭圆 x2 + 2 y2 = 1，判断他们的位置关系
2
2
解：联立方程组：ìïïïíïïïî
x
y= 2+ 4
数得一元二次方程
由椭圆方程知：a2 = 4, b2 = 1, c2 =③3韦达定理
\ F ( 3 , 0) 直线L方程为： y④=弦x长- 公式3
Þ 联立方程组： ìïïíïïî
x2 + y=
4 y2 x-
=4 3
5x2 - 8 3x+ 8 = 0
\
x1 +
x2 =
8
3 5
,
x1
x2
=
8 5
\
AB =
2
再 见谢 谢
b
c
x1 + x2 = - a , x1 x2 = a
AB = 1+ k2 ( x1 + x2 )2 - 4x1 x2
= 1+ k 2 (- b )2 - 4 c
a
a
= 1+ k2 b2 - 4ac a2
= 1+ k2 D a
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/24
直线与圆的相交弦的弦长：
弦长公式：
l = 2 r2 - d2 （d为圆心到直线的距离）
设直线与椭圆相交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 两点，
直线AB的斜率为K.
AB = 1+ k2 ( x1 + x2 )2 - 4x1x2
=
1+ 1 k2
( y1 + y2 )2 - 4 y1 y2
xy2
1 2 =
2
消去y得： 5x2 -
4x-
1= 0
①
D > 0 \ 方程①有两个根 \ 直线与椭圆的位置关系：相交
思：相交所得弦的弦长是多少？
AB = ( x1 - x2 )2 + ( y1 - y2 )2
= 2( x1 - x2 )2 = 2 ( x1 + x2 )2 - 4 x1 x2
=6 2 5
\ D = b2 - 4ab = 64 > 0
4
4
x1 + x2 = - 3 , x1 x2 = - 3
\
弦长 l =
1+ k2
( x1 + x2 )2 -
4x1 x2 =
4 3
5
例2：已知斜率为1的直线L过椭圆
x2 + y2 = 1 4
的右焦点交椭圆于A，B两点，求总AB结的：长.
①联立方程组
解： 令A,B坐标分别为 A( x1 , y1 ), B②(消x2去, y其2 )中一个未知
1+ k2
( x1 + x2 )2 -
4x1 x2 =
8 5
总结：
求弦长的方法：
[1]两点间距离公式：
l x1 x2 2 y1 y2 2
注：对于平行于坐标轴的直线与椭圆相交产
生的弦长，由于交点坐标非常好解，故用两点间 距离公式就可以求弦长。
注：应用焦半径公式求弦长，是把弦长看
的弦长：
= 2a + e( x1 + x2 )
过右焦点 AB = FA + FB = (a-ex1 ) + (a-ex2 )
的弦长：
= 2a-e( x1 + x2 )
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/24
[3] 弦长公式：
l x1 x2 1 k 2
1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
[2]焦半径公式：作径同公一式焦时点，的注两意个左焦、半右径焦之点和的。公使式用不焦同半。
对于椭圆 x2 a2
wenku.baidu.com
y2 b2
1来说，有
左焦点焦半径公式为：F1P a ex
右焦点焦半径公式为：F2P a ex
过左焦点 AB = FA + FB = (a + ex1 )+ (a + ex2 )
其中 x1 + x2 , x1x2 可由韦达定理得
适合求任 何二次曲 线与直线 的弦长
思考：直线k不存在应怎样求解呢？
例1：
求椭圆
x2 +
y2 =1
与直线x -
2y+ 2= 0
相交弦长
42
解：联立方程组：
ìïïïíïïïî
x2 y
+ =
2y2 = 4 1 x+ 1 2
Þ 3x2 + 4x- 4= 0
注：此公式是由：直线斜率 k、弦的端点横坐标 x1 、x2 来求出弦长的。故，在给出直线方程时 （既：已知 k），基本都使用这个公式。
例3：已知点 F1 , F2
分别是椭圆
x2 + 2
y2 = 1
的左、右
焦点，过 F2
y
作倾斜角为 π
4
的直线，求 D ABF1的面积
A
·
·
F1
F2
B
用三种方式 x 求解AB