反比例函数中的面积问题专题课程(教(学)案)

教学过程

一、复习预习

由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。这类反比例函数与一次函数的交点问题以及相交后求围成三角形的面积的题型难度很大，并且属于学生在计算中的难点问题，归纳起来有两个方面：1、函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，一次函数与反比例函数

值的大小比较；2、相交时所围成的三角形的面积问题。现以近年中考试题为例加以分析，希望能对同学自主学习有所帮助。

二、知识讲解

1．反比例函数的定义：一般地，形如y（k为常数，k____0）的函数叫做反比例函数．

2．反比例函数的性质：反比例函数y k≠0）的图象是___ ___．当k>0时，两分支分别位于第__ ___象限，且在每个象限，y随x的增大而_______；当k<0时，两分支分别位于第_______象限，且在每个象限，y随x的增大而_______．

3．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为_______；反比例函数还是_______图形，它有两条_______，分别是直线__ _____．

4．在双曲线y P向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于_______．

5．因在反比例函数的关系式y k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的关系式，因而一般只要给出一组x、y的值或图象上任意一点的坐标，

考点/易错点1

反比例函数与一次函数的结合:一次函数图像过不过原点，注意求面积的方法有些区别。 考点/易错点2

反比例函数图像对称性（轴对称与中心对称）的应用，能相应的得到一些点的坐标的结论时要注意坐标符号的变化。

三、例题精析

题型归类：

题型一：已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k ）

【例题1】

【题干】如图，直线OA 与反比例函数(0)k

y k x

=

≠的图象在第一象限交于A 点，AB ⊥x 轴于点B ，△OAB 的面积为2，则k ＝ ． 【答案】k=4

【解析】由图象知,k>0,由结论及已知条件得22

k

=， ∴ k=4

【例题2】

【题干】如图，已知双曲线(0)k

y k x

=

≠（0x f ）经过矩形OABC 的边AB ，

BC 的中点F 、E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k = ． 【答案】k=2

【解析】连结OB ，∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点

∴

而 2OCE OAF k s s ==V V ，由四边形OEBF 的面积为2得222

k k

+=，解得 k=2。

评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k 值。第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k 的方程求k 值。

题型二：已知反比例函数解析式，求图形的面积

【例题3】

【题干】在反比例函数4

y x

=

的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B 、C 、D 的面积易求。对于A ：S=4，对于B ：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S=4

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⨯=；对于C ：S=4，对于D ：S=4 故选（B ）

题型三：利用数形结合思想求点的坐标，注意分类讨论 【例题4】

【题干】已知一次函数y=kx+b(k ≠o)和反比例函数y=2k

x

的图象交于点A(1，1)． (1)求两个函数的解析式；

(2)若点B 是x 轴上一点，且△AOB 是直角三角形，求B 点的坐标． 【答案】解：（1）∵点A （1，1）在反比例函数2k

y x

=

的图象上，∴k=2，∴反比例函数的解析式为： 1

y x

=

。设一次函数的解析式为：y=2x+b ，∵点A （1，1）在一次函数y=2x+b 的图象上，∴b=-1，∴一次函数的解析式为y=2x-1。

（2）如图，∵点A （1，1）， ∴∠AOB=45°，∵△AOB 是直角三角形，∴点B 只能在x 轴正半轴上，①当∠OB 1A=90°时，即B 1A ⊥OB 1，∵∠AOB 1=45°，∴B 1A=OB 1，∴B 1（1，0）；②当∠OAB 2=90°时，∠AOB 2=∠AB 2O=45°， ∴B 1起OB 2的中点，∴B 2（2，0），综上可知，B 点坐标为（1，0）或（2，0）。

例4题图 例5题图 【例题5】

【题干】如图，一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数k

y x

=的图象交于M 、N 两点． (1)求反比例函数和一次函数的函数关系式．

(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值围．

【答案】解：（1）∵k

y x

=

的图象经过N （﹣1，﹣4），∴k=xy=﹣1×（﹣4）=4．∴反

比例函数的解析式为4y x =

。又∵点M 在4

y x

=的图象上，∴m=2．∴M （2，2）．又∵直线y=ax+b 图象经过M ，N ，∴，∴．∴一次函数的解析式为y=2x

﹣2；

（2）由图象可知：反比例函数的值＞一次函数的值的x 的取值围是x ＜﹣1或0＜x ＜2． 题型四：利用点的坐标及面积公式求图形的面积 【例题6】

【题干】如图，已知(4,),(2,4)A n B --是一次函数y kx b =+的图像和反比例函数m

y x

=

的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及三角形AOB 的面积．

【答案】解：（1）

(2,4)B -Q 在m y x =上 8m ∴=-．反比例函数的解析式为：8

y x

=-． 点(4,)A n -在8

y x

=-

上 (4,2)A -。

经过，

， 解之得 一次函数的解析式为：

（2）是直线与轴的交点，当时， 点

评注：对于例4、例5、例6类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。难度属中档题。