全等三角形的性质和判定定理的复习上课讲义

全等三角形的性质和判定定理

全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法， 如何利用全等三角形进行证明.学习

利用三角形全等推导出角平分线的性质及判定.

是本章学习的重点。全等三角形是研究图形

的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习四边形、圆等内容打下基础•下面我 们主要讨论一下全等三角形的性质和判定定理的复习。

首先，我们要明白这两节课的重点是全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法， 难点是根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“ SSA ”不能判定三角

形全等的认识。这里我们列出重要知识点和基本的解题思路。

1. 全等三角形性质：全等三角形的对应边相等；对应角相等。

2. 全等三角形的判定方法：

三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“

SSS'）.

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“ SAS ）. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ ASA ）.

两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等 （可以简写成“角角边”或“AAS ）. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

（可以简写成“斜边、直角边”或“ HL'）.

3•证明三角形全等的基本思路：

找第三边（SSS

（1）已知两边： 找夹角（SAS ）

若有直角（HL 或SAS

找这边的另一邻角（ASA ）

已知一边与邻角找这个角的另一边（SAS

找这个边的对角（AAS ）

找一角（AAS ）

已知一边与对角 亠” 、

已知是直角，找一边（HL ）

找夹边（ASA ）

⑶已知两角找夹边外任一边（AA S ）

三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用 SAS , ASA , AAS, SSS , HL 中的

哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题. 下面我们举几个具体的例子来 说明

全等三角形的性质和判定定理的应用。

例1如图11-113所示，BD ,CE 分别是△ ABC 的边AC 和AB 上的高， 点P 在BD 的延线上，

BP = AC ,点Q 在CE 上, CQ = AB .

（1） 求证 AP = AQ ; （2） 求证 AP I AQ .

分析 （1）欲证AP = AQ ,只需证对应的两个三角形全等，

即证△ ABP

◎ △ QCA 即可.（2）在（1）的基础上证明/ PAQ = 90°.

证明：（1）v BD , CE 分别是△ ABC 的边AC , AB 上的高，

（2）已知一边一角 料1】1

•••/ ADB = Z AEC = 90°.

在Rt △ AEC 和Rt△ ADB 中，

/ ABP = 90 °- Z BAD，/ ACE = 90°—/ DAB , •••/ ABP = Z ACE .

在厶ABP和厶QCA中，

广BP = CA （已知），

< Z ABP =Z ACE （已证），

< AB = QC （已知），

•△ ABP ◎△ QCA （SAS）.

•AP = AQ （全等三角形的对应边相等）.

（2）：公ABP◎△ QCA,

•Z P=Z CAQ （全等三角形的对应角相等）.

又•••/ P+Z PAD = 90°,

• Z CAQ + Z PAD = 90°, 即Z QAP = 90°,「. AP丄AQ.

例2若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等. 试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由.

分析运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，题中没给图形，需自己根

据题意画出符合题意的图形，结合图形写出已知、结论.

已知：如图11-114 所示，在△ ABC 和厶A' B' C'中，AB= A' B BC = B' C', AD , A' D'分别是BC, B ' C '上的高，且AD = A ' D '.

判断Z B和Z B '的关系.

解：Z B=Z B'.理由如下：

••• AD , A ' D '分别是BC, B ' C '边上的高，

•Z ADB = Z A ' D ' B ' = 90°.

AB AB,

在Rt △ ADB 和Rt△ A ' D ' B '中，

AD AD,

•Rt △ ADB 也Rt △ A ' D ' B' （HL）.

•Z B=Z B'（全等三角形的对应角相等）.

规律•方法边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取

三个条件组合，可以得到关于三角形全等判定的若干命题.

例3 如图11-115所示，已知四边形纸片ABCD中，AD // BC,将Z ABC, Z DAB分别

对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E,点C, D都落在AB边上的F处，你能获得哪些

结论？

分析对折前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等

不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试题.

解：①AD = AF , ED = EF = EC , BC = BF .

② AD 十 BC = AB , DE + EC = 2EF .

③ / 1 =Z 2，/ 3 = Z 4，/ D = Z AFE ，/ C = Z EFB ，/ DEA =Z FEA , / CEB =Z FEB . ④

Z AEB = 90 ° 或 EA 丄 EB .

⑤ S ^DAE = S ^ EAF , S ^ ECB = S ^ EFB .

【解题策略】 本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要具有一定的综合能力•推

理论证既是说明道理，也是探索、发现的途径•善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本 的全等三角形是解题的关键.需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三 角形：(1)给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形.

(2)从题设条件

中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形.

全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题， 抽象成几何问题来解决，一般难度不大.

例4 如图11-116所示，太阳光线 AC 与A ' C '是平行的， 木杆在太阳光照射下的影子一样长吗

？说说你的理由.

分析 本题欲确定影子一样长，实际就是证明

BC 与B ' C '

而要证明两条线段相等，常常证明它们所在的两个三角形全等.

解：影子一样长.理由如下：

因为 AB 丄 BC , A ' B 丄 B ' C ', 所以Z ABC =Z A ' B ' C ' = 90 ° .

因为 AC // A ' C ',所以Z ACB = Z A ' C ' B '. 在厶ABC 和厶A ' B ' C '中，

Z ABC = Z A ' B ' C ',

Z ACB =Z A ' C ' B ',

AB = A B ',

所以△ ABCA ' B ' C ' ( AAS ),

所以BC = B ' C '(全等三角形的对应边相等).

{

解题的是键是将实际问题

同一时刻两根高度相同的