经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案)

《极坐标与参数方程》综合测试题
1．在极坐标系中，已知曲线C ：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线l 过点
P （1,0），倾斜角为3
，且直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点． （1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）求+
．
2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极
点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+
）=3
，射线OM ：θ=
与圆C 的交
点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
4．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l的参数方程为（t为参数），
3
P,0
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，当直线l与曲线C
相交于A，B两点，求
2 AB
PA PB
⋅
.
5．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立
极坐标系，曲线C1的参数方程为
3cos
(
2sin
x
y
θ
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
为参数），曲线C2的极坐标方
程为．
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极坐标．
6．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．
（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值．
7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．
8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）．
（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；
（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．
9．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；
（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．
10．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．
11．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；
（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．
12．设点A为曲线C：ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤θ≤，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，
（1）求曲线C的参数方程；
（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求B点轨迹的极坐标方程．
13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．
14．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换
后，曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．
15．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]．（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．
16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
《极坐标与参数方程》综合测试题答案
一．解答题（共16小题）
1．在极坐标系中，已知曲线C ：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线l 过点P
（1,0），倾斜角为3
π
，且直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点． （1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）求
+．
【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2x=0即（x ﹣1）2+y 2=1． ∴曲线C 1的直角坐标方程为=1， ∴曲线C 表示焦点坐标为（﹣
，0），（
，0），长轴长为4的椭圆
（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程=1中，得2134120t t +-=．
设A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， ∴+
=
2
103
．
2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极
点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+
）=3
，射线OM ：θ=与圆C 的交
点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【解答】解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程为参数）
化为（x ﹣1）2+y 2=1，
∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
（II ）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标，由，解得．
设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．
∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．
∴|PQ|=2．
3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，
所以x2+y2=4x+4y﹣6，
所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，
即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…（4分）
所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（7分）
当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…（9分）x+y取到最大值为6．…（10分）
4．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l的参数方程为（t为参数），
3
P,0
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，当直线l与曲线C
相交于A，B两点，求
2 AB
PA PB
⋅
.
【解答】解：（1）∵ρ=，∴ρ2sin2θ=6ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=6x．曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线．
（2）直线l的参数方程可化为，代入y2=6x得t2﹣4t﹣12=0．
解得t1=﹣2，t2=6．
∴||=|t1﹣t2|=8．
2
AB2 PA PB3
=
⋅
5．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立
极坐标系，曲线C1的参数方程为
3cos
(
2sin
x
y
θ
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
为参数），曲线C2的极坐标方程为
．
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极坐标．
【解答】解：（1）由消去参数α，得曲线C1的普通方程为．
由得，曲线C2的直角坐标方程为．
（2）设P（2cosα，2sinα），则
点P到曲线C2的距离为
．
当时，d有最小值，所以|PQ|的最小值为．
6．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．
（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，
则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．
点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．
（Ⅱ）设P（）
根据题意，得到Q（2，sinθ），
则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，
所以：|PQ|+|QR|=．
当时，（|PQ|+|QR|）min=2，
矩形的最小周长为4．
7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．
【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：+（y+1）2=9，展开为：x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．
曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，
整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，
∴ρ1+ρ2=2，ρ1•ρ2=﹣5，
∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2．
8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）．
（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；
（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．
【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，化为直角坐标方程：x ﹣y﹣2=0．
∵x=﹣2+t，∴y=x﹣2=﹣4+t，∴直线l的参数方程为：（t为
参数）．
（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐标方程：y2=2px．
把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．
∴t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32．
不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．
|PQ|=|t1﹣t2|===．
∵|PQ|2=|MP|•|MQ|，
∴8p2+32p=8p+32，
化为：p2+3p﹣4=0，
解得p=1．
9．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy
（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；
（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；
椭圆Γ的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；
（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），
∵E（0，﹣1），
∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），
∴•=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，
∴•的取值范围是[5﹣，5+]．
10．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）曲线的C参数方程为（φ为参数），普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，
直线l的极坐标方程为ρ=，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0；
（2）点P到直线l的距离d==，
∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣（k∈Z），距离的最小值为2﹣2，点P的直角坐标（1+，1﹣）．
11．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（I）求曲线C2的直角坐标系方程；
（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．【解答】解：（I）由可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．
∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．
∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，
∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．
设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，
则d==≥．
∴|M1M2|的最小值为．
12．设点A为曲线C：ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤θ≤，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，
（1）求曲线C的参数方程；
（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求点B轨迹的极坐标方程．
【解答】（1）
1cos
(0
sin2
x
y
θπ
θ
θ
=+
⎧
≤≤
⎨
=
⎩
，θ为参数）
（2）：设A（ρ0，θ0），且满足ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ），
依题意，即
代入ρ0=2cosθ0并整理得，，，
所以点B的轨迹方程为，．
13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），
化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2，展开为：x2+y2﹣2ax=0，
其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=．
曲线C2：（φ为参数，实数b＞0），
化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，
由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．
（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．
∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，
∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，
当2θ+=时，θ=时取到最大值．
14．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换
后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．
【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2=1，
∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；
（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（
﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，
∴圆心到直线的距离d==，
∴|PQ|=2=．
15．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]．
（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]，则圆的普通方程为x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1），
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，
可得半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，]；
（Ⅱ）由题意可得半圆C的直径为2，设半圆的直径为OA，
则sin∠TAO=，
由于∠TAO∈[0，]，则∠TAO=，
由于∠TAO=∠TOX，
所以∠TOX=，
T点的极坐标为（，）．
16．
已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），
得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，
即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．
ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；
（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．
∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．。