布尔代数与逻辑函数化简

三 布尔代数与逻辑函数化简
3.1 基本公式和法则 3.2 逻辑函数的代数法化简 3.3 卡诺图化简
3.1 基本公式和规则
3.1.1 基本公式
表 3 – 1 基本公式
续表
表 3 – 2 证明分配律的真值表
由表中可知 A+BC=(A+B)(A+C) 在吸收律1的证明中， 只证第二式：
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原式 = AB + A CD
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例 15 解
F = AB C + ( A+ C ) D + BD
原式 = AB C + A C D + BD = AB C + A C D
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例 16 化简 F = AC + A D + B D + B C 。 解
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原式 = AC + B C + ( A+ B ) D = AC + B C + AB D + AB = AC + B C + D + AB = AC + B C + D
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A1 + A2 + ⋅ ⋅ ⋅ + An = A1⋅ A2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ An
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A1 A2 ⋅ ⋅ ⋅ An
= A1 + A2 + ⋅ ⋅ ⋅ An
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2. 对偶法则 对偶法则 对于任何一个逻辑表达式F， 如果将其中的“+”换 如果将其中的“ 换 换成“ ， 换成“ ， 成“·”， “·”换成“+”， “１”换成“0”， “0”换成 ， 换成 换成 “1”，并保持原先的逻辑优先级， 变量不变， 两变量以 ，并保持原先的逻辑优先级， 变量不变， 上的非号不动， 上的非号不动， 则可得原函数F的对偶式G， 且F和G互 为对偶式。 根据对偶法则知原式F成立，则其对偶式也一 定成立。 这样，我们只需记忆表3-1基本公式的一半即可， 另一半按对偶法则可求出。注意，在求对偶式时，为保 持原式的逻辑优先关系， 应正确使用括号， 否则就要发 生错误。 如
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令 A B + A B = G, 则
F = G + G CD = G + CD = A B + A B + CD
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3. 应用多余项定律 ( AB + A C + BC = AB + A C ) 例 14 解
F = AB + A CD + BCDE
2. 逻辑函数不同形式的转换 逻辑函数不同形式的转换 逻辑函数的形式是多种多样的，一个逻辑问题可以 用多种形式的逻辑函数来表示， 每一种函数对应一种逻 辑电路。 逻辑函数的表达形式通常可分为五种： 与-或 表达式、 与非-与非表达式、与-或非表达式、或-与表达 式、或非-或非表达式。
例5
将函数与-或表达式 F = AB + A C 转换为其它形式。
解: 用摩根定律求 F = A + B + C + E
= A⋅ B + C + D + E = A⋅ B ⋅C ⋅ D + E = A⋅ B ⋅C ⋅ D ⋅ E
由上面可以看出反复用摩根定律即可，当函数较复杂时， 求反过程就相当麻烦。为此，人们从实践中归纳出求反的法 则。其法则指出， 将原函数 中的“·”换成“+”, “+”换成“·”； 将原函数F中的 中的“ 换成 换成“ 换成“ ； 换成 换成“ ， 换成“ ； 原变量换成反变量， “0”换成“1”， “1”换成“0”； 原变量换成反变量， 反变 换成 换成 量换成原变量，长非号即两个或两个以上变量的非号不变， 量换成原变量，长非号即两个或两个以上变量的非号不变， 即可得反函数。如上例
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（证毕）
表 3 – 3 求反律的真值表
多余项定律证明如下：
AB + A C + BC = AB + A C + BC ( A + A) = AB + A C + ABC + A BC = AB (1 + C ) + A C (1 + B ) = AB + A C
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多余项定律可推广为
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F = B C D + AC D + A B D + A B C
2. 应用吸收定律 、 3 ( A + AB = A A + A B = A + B ) 应用吸收定律2、 利用它们，可以消去逻辑函数式中某些多余项和多 余因子。 若式中存在某单因子项，则包含该因子的其它 项为多余项，可消去。如其它项包含该因子的“反”形 式， 则该项中的“反”因子为多余变量，可消去。 例 11 F = B + AB + A B CD 解
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解 (1) 与非-与非式。 将与或式两次取反，利用摩根定律可得
F = AB + A C = AB⋅ A C
(2) 与-或非式。 首先求出反函数
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F = AB + A C = A B + A C
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然后再取反一次即得与或非表达式
F = A B+ AC
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（３） 或-与式。 将与或非式用摩根定律展开， 即得或与表达式如下：
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AB + A C + BCEFG = AB + A C AB + A C + BCEFG = AB + A C + BC + BCEFG (加多余项BC ) = AB + A C + BC (1 + EFG ) = AB + A C
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3.1.2 基本法则
1、代入法则 、 逻辑等式中的任何变量A， 都可用另一函数Z代替 代替， 逻辑等式中的任何变量 ， 都可用另一函数 代替 等式仍然成立。 等式仍然成立。 代入法则可以扩大基本公式的应用范围。
AB + A B = A( B + B ) = A(Байду номын сангаас为B + B = 1)
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（证毕）
在吸收律2的证明中， 也只证第二式： A+AB=A(1+B) =A(因为1+B=1) 吸收律3也只证第二式： _ − A + A B = ( A + A)( A + B ) （证毕）
= A + B (因为A + A = 1)
& & &
(b) A B ≥1 ≥1 ≥1 F
&
(a)
A B A C
&
≥1 F
(c)
A B A C
≥1
&
≥1
F A C
(d)
(e)
图 3 –1 同一逻辑的五种逻辑图
( a ) F = AB + A C与或表达式; (b) F = AB⋅ A C与非表达式;
(c ) F = A B + A C 与或非表达式 ( d ) F = ( A+ B )( A + C )或与表达式;
AB + A C
其对偶式为
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( A + B ) ⋅ ( A+ C )
如不加括号，就变成
_
A + B A+ C
显然是错误的。
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3. 反演法则 反演法则 由原函数求反函数，称为反演或求反。摩根定律是进 行反演的重要工具。 多次应用摩根定律，可以求出一个函 数的反函数。 例2 求 F = A + B + C + D + E 的反函数 F
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例6 解
F = AB + CD + A B + C D
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原式 = A + D
有时两个相邻项并非典型形式， 应用代入法则可
以扩大吸收定律1的应用范围。
例7
F = ABC + ABC
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解 令 AB = G ， 则
F = GC + G C = G = A B
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例8
F = AB C + AB C
例 1 证明 解
A + B + C = A⋅ B⋅ C
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A + B = A⋅ B 这是两变量的求反公式， 若将等
式两边的B用B+C代入便得到
A + B + C = A⋅ B + C = A⋅ B⋅ C
这样就得到三变量的摩根定律。 同理可将摩根定律推广到n变量
F = A B + A C = A B A C = ( A+ B )( A + C )
(4) 或非-或非式。 将或与表达式两次取反， 用摩根定律展开一次得或非或非表达式
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F = ( A+ B )( A + C ) = A+ B + A+ C
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A B A C
&
≥1
A B F A C
1. 应用吸收定律 ( AB + A B = A) 应用吸收定律1 任何两个相同变量的逻辑项， 只有一个变量取值不 同(一项以原变量形式出现， 另一项以反变量形式出现)， 我们称为逻辑相邻项(简称相邻项)。 如AB与 A B ，ABC与
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A BC 都是相邻关系。如果函数存在相邻项，可利用吸收
定律1， 将它们合并为一项，同时消去一个变量。
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( e) F = A+ B + A + C 或非表达式
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3.2 逻辑函数的代数法化简
3.2.1 逻辑函数与逻辑图
A B 1 1
&
≥1 F
&
图 3 – 2 AB + A B 函数的逻辑图
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从逻辑问题概括出来的逻辑函数式， 不一定是最简式。 化简电路， 就是为了降低系统的成本，提高电路的可靠性， 以便用最少的门实现它们。例如函数
F = AB C + A B C + A B + B + BC
如直接由该函数式得到电路图，则如图3 - 3 3 3所示。
F ≥1
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图 3 3 原 函 数 的 逻 辑 图 F
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&
&
&
A B
A B C
A B C
A B C
&
B C
B
但如果将函数化简后其函数式为 F=AC+B 只要两个门就够了， 如图3 - 4所示。
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原式 = B + AB = B+ A
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例 12
F = A C + AB C D ( E + F )
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解 令 AC = G , 则
F = G + GBD ( E + F ) = G = AC
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例 13 解
F = A B + A B + ABCD + A B CD
原式 = A B + A B + ( AB + A B )CD = A B + A B + ( A B + A B )CD
A C B
&
≥1 F
图 3 – 4 函数化简后的逻辑图
3.2.2 逻辑函数化简的原则
逻辑函数化简， 并没有一个严格的原则，通常遵循 以下几条原则： (1) 逻辑电路所用的门最少； (2) 各个门的输入端要少； (3) 逻辑电路所用的级数要少； (4) 逻辑电路能可靠地工作。
3.2.3 与或逻辑函数的化简
AB + AB 是 AB + AB 的反函数
AB + AB = ( A + B )( A + B ) = AB + AB
例4
求 F = AB + AC 的反函数。
解:
F = AB + AC = ( A + B )( A + C ) = AB + AC + BC = AB + AC + BC ( A + A) = AB + AC + ABC + ABC = AB(1 + C ) + AC (1 + B ) = AB + AC
令 B C = G, 则
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解
F = A G + AG = A
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例9 解
F = A B C + A B C + A B C + AB C
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原式 = A C + A C = C
利用等幂律，一项可以重复用几次。
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例 10 F = A B C D + A B C D + A B CD + A B C D + A B C D,
F = A + B + C+ D + E F = A⋅ B⋅ C ⋅ D⋅ E
与上面用摩根定律求出结果一样。注意，与求对偶式一样， 为了保持原函数逻辑优先顺序，应合理加括号，否则出错。
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3.1.3 基本公式应用
1. 证明等式 例 3 用公式证明 AB + AB = AB + AB 解:
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4. 综合例子 例 17 化简 F = AD + A D + AB + A C + BD + ACEG + B EG + DEGH 解
原式 = A + AB + A C + BD + ACEG + B EG + DEGH ( AB + A B = A) = A + A C + BD + B EG + DEGH = A + C + BD + B EG + DEGH = A + C + BD + B EG
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其中 A B C D与其余四项均是相邻关系，可以重复使用。 解
ABC D + ABC D = BC D ABC D + ABC D = AB D
所以
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A B C D + A B C D = AC D A B C D+ A B C D = A B C