第七章 模拟滤波器的设计(数字信号处理)

s ( t ) IFT [ S ( j )] IFT [Y ( j )] y ( t )
这样n(t)被滤去，仅存下有用信号s(t) 为了获取有用信号，通常采用以下理想滤波器
H a (j Ω )
H a (j Ω )
低通 0 Ω 0
高通 Ω
H a (j Ω )
H a (j Ω )
带通 c Ω 0
图7.2.2 低通滤波器的幅度特性
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs， 一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此
H a ( j )
2
H a ( s )G ( s )

s j
H a ( j ) H a ( j )
(7.2.5)
7.5
巴特沃斯低通滤波器的设计方法
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下
式表示：
H a ( j )
2
1 (
1 c
(7.2.6)
)
2N
图7.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系
将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：
H a (s)H a ( s) 1 ( 1 s j c )
h ( t ) 2 A0 f c sin 2p f c ( t t 0 ) 2p f c ( t t 0 ) sin 2p f c ( t t 0 ) 2p f c ( t t 0 ) 2 A 0 f c sinc 2p f c ( t t 0 )
亦即：h ( t ) 2 A 0 f c
M
k
) )
A0 s k
k
(s d
k 1
k 1 N
k
ck为H(s)的零点， dk为H(s)的极点，若考虑 处的零极点，则零极点数相等
s
零极点配置规律： （1）零极点必须是实数或共轭成对出现 （2）对于因果系统，极点应分布在S左半平面
5.4 .模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,αs和Ωs。其中 Ωp 和Ωs 分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp 是 通带Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数，αs 是阻带Ω≥Ωs 的最
H a (s) c
N

N 1
( s sk )
k 0
设N=3，极点有6个，它们分别为
s0 c e s1 c s2 ce s3 c e s4 c
2 j p 3
2 j p 3 1 j p 3
s5 c e 取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当 成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择， 如 巴 特 沃 斯 (Butterworth) 滤 波 器 、 切 比 雪 夫
(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞
尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设 计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。
H a (s) a
3
1 j p 3
( s c )( s
2 j p 3 c
)( s
2 j p 3 c
)
由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，
将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一 化，归一化后的Ha(s)表示为
H a (s) 1

N 1
(
s c
伸至 f 。即滤波器只能对通带以外的频率成分极大 地衰减而不能完全阻止其通过。
A 1(f) A 2(f) A 3(f) A 4(f)
1
1
1
1
0
fC a ) 低通
f
0
fC b ) 高通
f
0
fC1 c) 带通
fC2
f
0
fC1 d ) 带阻
fC2 f
理想滤波器的阶跃响应 单位阶跃输入
1 u(t ) 0 t 0 t 0
1
1
1
1
0
fC a ) 低通
f
0
fC b ) 高通
f
0
fC1 c) 带通
fC2
f
0
fC1 d ) 带阻
fC2 f
7.1 理想滤波器
无过渡带且在通频带内满 足不失真测试条件的滤波 器称为理想滤波器。理想 滤波器的频率响应函数为：
|H(f)| A0
-fc
A e j 2 p ft 0 0 H(f) 0 f fc 其它
带阻 Ω
图7.2.1 各种理想滤波器的幅频特性
滤波器的种类
根据滤波器的选频特性 低通滤波器(LP)：通频带0~fc 高通滤波器(HP)：通频带fC~ 带通滤波器(BP)：通频带fC1~fC2 带阻滤波器(BS)：通频带0~fC1与fC2~（阻带: fC1 ~fC2）
A 1(f) A 2(f) A 3(f) A 4(f)

A 0 c
p
sinc c ( t t 0 )
|H(f)| A0
h(t)
2A0 fc
1 2 fc
1 2 fc
-fc
0
|H(f)|
fc
f
1 fc
0
h(t)
1 fc
t
2A0 fc
-fc
0
2 pt0
fc f
0 t0
a) 理想低通滤波器频率特性 b ) 理想低通滤波器脉冲响应函数
t
(t)
要分离有用信号s(t)与干扰信号n(t), 若上述二信号的频率上是分离的，若存在一个
1 H ( j ) 0 S ( j ) 0 S ( j ) 0
Y ( j ) X ( j ) H ( j ) [ S ( j ) N ( j )] H ( j ) H ( j ) S ( j ) N ( j ) H ( j ) S ( j )
, k 0,1, , N 1
(7.2.12)
将极点表示式(7.2.12)代入(7.2.11)式，得到的Ha(p) 的分母是p的N阶多项式，用下式表示：
1 (
p
c
)
2N
10
a p / 10
(7.2.14)
将Ω=Ωs代入(7.2.6)式中，再将|Ha(jΩs)|2代入
(7.2.4)式中，得到：

B 60 dB B 3 dB
A(f ) A0
0.7A 0
B-3dB 0 f C1 f0 B-60dB
d
实际
d
fC 2
f
除了用上述的截止频率、带宽B、矩形系数做为描述滤波器 的性能的参数外，还有以下几个参数：
纹波幅度d
fn B
品质因素Q
倍频程选择性W 中心频率fn的概念： 算术平均： f n
小衰减系数，αp 和αs 一般用dB数表示。对于单调下降
的幅度特性，可表示成：
H a ( j )
2 2
p 1 0 lg
(7.2.1)
H a ( j p ) H a ( j ) H a ( j s )
2 2
s 1 0 lg
(7.2.2)
如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs
lg k sp lg sp
(7.2.16)
用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N
的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没 有 给 出 ， 可 以 按 照 (7.2.14) 式 或 (7.2.15) 式 求 出 ， 由
1 (
s
c
)
2N
10
a s / 10
(7.2.15)
由(7.2.14)和(7.2.15)式得到：
(
p
s
)
N

10 10
a p / 10 a s / 10
1 1
令
sp s / p , k sp
10 10
a p 10 as 10
1 1
,则N由下式表示：
N
滤波器的阶跃响应：
y (t ) h (t )u (t ) 1 1 A0 2 p



h ( ) u ( t )d sin x x dx

2pf c ( t t0 )
0
建立时间
若不考虑前、后皱波，输出从0(a点)到应有的稳定值 0 . 61 A0(b点)之间的所需建立时间为： tb ta fc
•低通滤波器对阶跃响应的上升时间tr与带宽B成反比，即：
Btr = 常数 该结论对高通、带通及带阻滤波器均成立。
•滤波器带宽表示其频率分辨力，通带越窄，分辨力越高，
显然，高分辨力(B值小)与响应速度是互相矛盾的。如果要 用滤波的方法从信号中提取某一很窄的频率成分（如作谱分
析），必须有足够的时间。
7.2 实际滤波器参数
在输入(t)到来以前，
即t <0时，滤波器即 有了与输入相对应的
输入
输出，显然，这违背
了因果关系，任何现 实系统都不可能具有 这种预知未来的能力。
0 h (t)
响应
t
0
t
同样，理想高通、带通、带阻滤波器也是不存在的。 实际滤波器的频域图形不可能出现直角锐变，也不会在有
限频率上完全截止。理论上，实际滤波器的频域图形将延
表示为
p 1 0 lg H a ( j p ) s 1 0 lg H a ( j s )
2 2
(7.2.3) (7.2.4)
以上技术指标用图7.2.2表示。图中Ωc称为3dB截止
频率，因
H a ( j c ) 1 / 2 , 2 0 lg H a ( j c ) 3 d B
j 2 p ft 0
f fc 其它

H
f
A e j 2 p ft 0 H(f) 0 0
f fc 其它
对上述的频率响应函数做傅氏逆变换：
y ( t ) h( t )
f
fc
A0 e
c
j 2 p ft 0
e
j 2 p ft
df
Yf
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H
f
理想滤波器的脉冲响应函数为sinc函数，若无相角滞后 （t0=0）：
0
fc
频率特性
f
|H(f)| 理想低通滤波器
-fc
0
2 pt0
fc f
2、理想低通滤波器的冲击响应
δ(t)
D(f)
h(t) H(f)
y(t)
Y(f)
y t t h t Yf
D f H f
= 1
Yf
A e 0 H(f) 0
1、实际滤波器的基本参数 •理想带通滤波器 （红色）与实际带 通滤波器（蓝色）
A(f ) A0
的幅频特性。
•对于实际的滤波器 需要更多的参数对
0.7A 0
d
实际
其进行描述。
0
f C1
f0
d
理想
fC 2
f
① 截止频率fc 幅频特性等 于所对应的频率。 以A0为参考点， 对应于-3dB点， 即相对于A0衰减 3dB。若以信号 幅值的平方表示 信号功率则-3dB 点对应半功率点。

sk c
(7.2.10)
)
k 0
式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。 令λ=Ω/Ωc ，λ称为归一化频率；令p=jλ，p称为归 一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为
H a( p) 1

N 1
( p pk )
(7.2.11)
k 0
式中，pk为归一化极点，用下式表示：
pk e
jp ( 1 2 2 k 1 2N )
A(f ) A0 0.7A 0
d
实际
理想
0
f C1
下截止
f0
d
fC 2
上截止
f
② 带宽B
上下两截止频率之 间的频率范围称为 滤波器带宽或-3dB 带宽。带宽B决定频 率分辨力。
A(f ) A0 0.7A 0 B
d
实际
理想
0
f C1
下截止
f0
d
fC 2
上截止
f
③ 矩形系数（滤波器 因数） 滤波器选择性的 一种表示法是倍频程 选择性，另一种表示 法就是用矩形系数。 用滤波器幅频特性的60dB带宽与-3dB带宽 的比值表示。
第七章 模拟滤波器的设计
滤波就是把一个混合信号的某些分量分离出来或 把它去掉。 自然滤波（地震波） 人工滤波：由仪器或运算来完成。 滤波器是一种选频装置，它只允许一定频带范围 的信号通过，同时极大地衰减其它频率成分。
x (t ) s (t ) n (t )
X ( j ) S ( j ) N ( j )
2N
(7.2.7)
此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：
1
s k ( 1)
2N
( j c ) c e
jp (
1 2

2 k 1 2N
)
(7.2.8)
图7.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半
平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成 Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为
Q
f c1 f c 2 2
几何平均： f n
f c1 f c 2
如倍频程滤波器
5.3模拟滤波器的系统函数
模拟滤波器的设计方法就是寻找一个可以实现的系 统在一定的误差范围内逼近理想的滤波器特性。 设滤波器的系统函数可表示为：
H (s)
a
k 0
M
k
s
k
(s c b
k 0 N