初二-第4讲-二次根式的化简与计算

估算
一、专题精讲
题型一、估算无理数在哪两个整数之间
例1．（1）判断×之值会介于下列哪两个整数之间？（）
A．22、23 B．23、24 C．24、25 D．25、26
考点：估算无理数的大小．
分析：先算出与的积，再根据所得的值估算出在哪两个整数之间，即可得出答案．解答：解：∵×=，
又∵24＜25，
∴×之值会介于24与25之间，
故选C．
点评：本题考查了估算无理数大小，掌握的大约值是解题的关键，是一道基础题．（2）如果m=，那么m的取值范围是（）
A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
考点：估算无理数的大小．
分析：先估算出在2与3之间，再根据m=，即可得出m的取值范围．
解答：解：∵2＜3，m=，
∴m的取值范围是1＜m＜2；
故选B．
点评：此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分，是一到基础题．变式训练
1．估计的值在（）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
解答：解：∵2=＜=3，
∴3＜＜4，
故选B．
2．若n=﹣6，则估计n的值所在范围，下列最接近的是（）
A．4＜n＜5 B．3＜n＜4 C．2＜n＜3 D．1＜n＜2
解答：解：∵49＜59＜64，
∴7＜＜8，
∴7﹣6＜﹣6＜8﹣6，即1＜n＜2．
故选D．
题型二、按要求估算
例2．（1）估算下列各数的大小．
（1）（误差小于0.1）；（2）（误差小于1）．
考点：估算无理数的大小．
分析：（1）（2）借助“夹逼法”先将其范围确定在两个整数之间，再通过取中点的方法逐渐逼近要求的数值，当其范围符合要求的误差时，取范围的中点数值，即可得到答案． 解答：解：（1）∵有62=36，6.52=42.25，72=49， ∴估计在6.5到7之间，6.62=43.56，6.72=44.89；∴≈6.65；
（2）∵43=64，53=125， ∴4.53=91.125，4.43=85.184，∴
≈4.45．
点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
变式训练
1、估算下列数的大小.
（1）（误差小于0.1） ; （2）（误差小于1）. 解答：
（1） ∵3．6＜＜3.7,
∴≈3.6或3.7（只要是3.6与3.7之间的数都可以）. （2） ∵9＜＜10,
∴≈9或10（只要是9与10之间的数都可以）.
题型三、用估算比较两个数大小
例3．（1）通过估算，比较下面各数的大小. （1）
与 ; （2）与3.85. 解答： （1）∵＜2,∴-1＜1,即
＜. （2）∵3.85=14.8225,∴＞3.85.
变式训练
1．（2010•杭州二模）估计大小关系是﹣1________ 0.5． 解答：解：∵0.5=﹣1，
＜3．∴
﹣1＜0.5．
题型四、用估算法求解实际问题的近似解
例4．（1）某小区有一块长为8米、宽为4米的长方形草坪，计划在草坪面积不减少的情况 下，把它改造成一个正方形，如果改造后的正方形草坪的边长为x 米．求正方形的边长（估 算到0.1）
考点：算术平方根；估算无理数的大小．
分析：根据面积相等列出关系式，解得x ，进即可得到正方形的边长．
13.6380013.613.638003800312
1
21533312
1
22
15
解答：解：根据题意得：
x2=8×4=32 x≈5.6．
答：正方形的边长约为5.6米．
点评：本题主要考查长方形、正方形的面积，根据面积相等得到方程是解题的关键．
变式训练
1．能否用面积为400cm2的正方形纸片裁出面积为300cm2且长、宽之比为3：2的长方形纸片？说明理由．（友情提示：不能对裁出的长方形进行拼接）
解答：答：不能．理由：
设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意，得3x•2x=300，6x2=300，x2=50，
∴x=或x=﹣（舍去），
∴长方形纸片的长为，
∵50＞49，
∴＞7，∴3＞21，
∴长方形纸片的长应该大于21cm，
又∵已知正方形纸片的边长大只有20cm，
∴不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
题型五、表示一个无理数的小数部分
例5．（1）（2010•巫山县模拟）已知，m、n分别是的整数部分和小数部分，那么，
2m﹣n的值是（）
A．B．C．D．
考点：估算无理数的大小．
专题：探究型．
分析：先估算出的值，进而可得出m、n的值，再代入2m﹣n进行计算即可．
解答：解：∵≈1.732，
∴6﹣的整数部分为4，小数部分为6﹣﹣4，即n=2﹣，
∴2m﹣n=8﹣2+=6+．
故选B．
点评：本题考查的是估算无理数的大小，熟记≈1.732是解答此题的关键．
（2）（1）已知数M的平方根是a+5及﹣3a+11，求M．
（2）已知5+与5﹣的小数部分分别是a、b，求3a+2b的值．
考点：估算无理数的大小；平方根．
专题：探究型．
分析：（1）由于M的平方根是a+5及﹣3a+11，所以这两个数互为相反数，据此可求出a的值，进而得出数M；
（2）先估算出的取值范围，再得出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可．
解答：解：（1）∵M的平方根是a+5及﹣3a+11，
∴a+5=3a﹣11，解得a=8，
∴a+5=8+5=13，∴M=132=169；
（2）∵3＜＜4，
∴5+的小数部分是﹣3；5﹣的小数部分是，4﹣，
∴a=﹣3，b=4﹣，
∴3a+2b=3（﹣3）+2（4﹣）=﹣1．
点评：本题考查的是估算无理数的大小及平方根的定义，在解答（2）时要先估算出的大小，再进行计算．
变式训练
1．（2013•吴江市模拟）3+的整数部分是a ，3﹣
的小数部分是b ，则a+b 等于__________．
解答：解：∵1＜＜2，
∴4＜3+＜5， ∴3+的整数部分a=4； ∵1＜＜2， ∴﹣2＜﹣
＜﹣1， ∴1＜3﹣
＜2，
设3﹣的整数部分为m ，则m=1， ∴3﹣
的小数部分b=3﹣
﹣m=2﹣
， ∴a+b=4+2﹣
=6﹣
．
故答案为6﹣
．
2．设x 是的整数部分，y 是的小数部分，化简|x ﹣y ﹣3|． 解答：解：∵＜＜， ∴5＜＜6， ∴x=5，y=﹣5， ∴|x ﹣y ﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3|=|7﹣|=7﹣．
二次根式的化简及计算
一、专题精讲
题型一：二次根式的概念
例1．（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、
、（x ≥0，y•≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
解：二次根式有：、（x>0）、、-、
（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：、、
、
． 例2．当x 是多少时，在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．
解：由3x-1≥0，得：x ≥
2331
x
x 04221
x y
+x y +2x 02x y +331
x
4
21
x y
+31x -31x -13
A ． 3到4之间
B ． 4到5之间
C ． 5到6之间
D ． 6到7之间
解答：解：∵正方形的面积为28，
∴它的边长为， 而5＜＜6． 故选C ．
2、（宝坻区二模）估算的值在（ ） A ．在4和5之间 B ．在5和6之间 C ．在6和7之间 D ．在7和8之间 解答：解：∵＜＜， ∴2＜＜3，
∴5+2＜5+＜5+3， 即7＜5+＜8， 故选：D ．
3、通过估算比较大小： _________
．
解答：解：∵2＜＜3， ∴0＜﹣2＜1， ∴＜．
4.化简：=-2)3(π 。

5、下列根式中能与3合并的二次根式为（ ）
A ．24
B ．12
C ．
2
3 D ．18
6．下列计算结果正确的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．5105
2=
7、化简：．
8、计算
（1））（）（12581845--+ （2）233(1)8|13|-+---
752=
+3223=-1052=+42712____________3
++=
11/ 11。