考点51 事件的独立性与条件概率

所以随机变量X的分布列为 X 0 1 1 11 P 4 24
2 1 4
3 1 24
1 11 1 1 13 随机变量 X 的数学期望 E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 4 24 4 24 12
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红 灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
P(B|A)＋ (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝④________ P(C|A) ； ______
(3)若A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
考向1
相互独立事件的概率
相互独立事件的概率在高考中通常以解答题的形式呈
现，难度中等，分值为12分．考查时常与数学期望等知识结 合，一般是将复杂的事件拆分为一些相对简单的事件的和或
【解析 】 (1)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3. 1 1 1 1 P(X＝ 0)＝1－ ×1－ ×1－ ＝ ， 2 3 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 P(X＝ 1)＝ ×1－ ×1－ ＋1－ × ×1－ ＋1－ ×1－ 2 3 4 2 3 4 2 3 1 11 × ＝ ， 4 24 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P(X＝ 2)＝1－ × × ＋ ×1－ × ＋ × ×1－ ＝ ，P(X＝ 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 1 1 1 1 3)＝ × × ＝ . 2 3 4 24
2.独立重复 试验与二 项分布、 正态分布
3.了解条件概率和两个事 件相互独立的概念，理 解n次独立重复试验的模 型及二项分布，并能解 决一些简单的实际问题. 4.理解取有限个值的离散 型随机变量均值、方差 的概念，能求简单离散 型随机变量的均值、方 差，并能解决一些实际 问题.
选择题： 2015· 课标 Ⅰ，4 填空题： 2017· 课标 Ⅱ，13 解答题： 2017· 课标Ⅱ， 19
积，然后利用互斥事件和独立事件的概率计算公式求解．
例1 (2017· 天津，16，13 分)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口， 设各路口信号灯工作相互独立， 且在各路口遇到红灯的概率分别为 1 1 1 ， ， . 2 3 4
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量
X的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯 的概率．
生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P(A1)P(A2)…P(An) ． P(A1A2…An)＝②__________________
(2)事件 A，B 相互独立，则A与B，A 与B，A与 B 也相互独立．
－ － － －
互斥事件与独立事件的区别：两事件互斥是指一个 试验中的两个结果在一次试验中不可能同时发生，即 P(AB)＝0；两事件独立是指一个事件的发生与否对另一 个事件发生的概率无影响．
P（AB） P（B） 0.15 3 3 故 P(B|A)＝ ＝ ＝ ＝ ，因此所求概率为 . 0.55 11 11 P（A） P（A）
(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为 X P 0.85a 0.30 a 0.15 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05
事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互
独立事件，要弄清P(AB)的求法．
变式训练 1．(2018· 福建厦门模拟，10)某盒中装有10个乒乓球，其中6个 新球，4个旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次 摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为
3 A. 5 5 B. 9 1 C. 10 2 D. 5
第十七章
随机变量及其分布列
1.事件的独 立性与条 件概率
1.理解取有限个值的离 散型随机变量及其分 布列的概念，认识分 布列对于刻画随机现 象的重要性. 2.理解超几何分布及其 导出过程，并能进行 简单的应用.
选择题： 2014· 课标 Ⅱ，5 解答题： 2016· 课标 Ⅰ，19 解答题： 2016· 课标Ⅱ， 18
( B )
【解析 】
第一次摸出新球记为事件 A， 6 3 则 P(A)＝ ＝ ， 10 5 第二次取到新球记为事件 B， C2 1 6 则 P(AB)＝ 2 ＝ ， C10 3 1 P（AB） 3 5 所以 P(B|A)＝ ＝ ＝ . P（ A） 3 9 5
2．(2018· 黑龙江大庆检测，15)某校高三年级要从5名男生和2
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 概率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10 ≥5 0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保 费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均
等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一 3 个被选中的概率是____ 5 ．
【解析】
男生甲被选中记作事件A，男生乙和女生丙至少一
个被选中记作事件B，
C2 15 6 则 P(A)＝ 3＝ 3， C7 C7 1 C1 9 4＋ C4＋ 1 P(AB)＝ ＝ 3， C3 C 7 7 由条件概率公式可得 P（ AB） 3 P(B|A)＝ ＝ . P（ A） 5
1 11 11 1 11 ＝ × ＋ × ＝ . 4 24 24 4 48
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
11 所以这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 . 48
相互独立事件概率的求法 (1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独 立、是否对立)，正确区分“互斥事件”与“对立事件”．当且仅 当事件A和事件B相互独立时，才有P(AB)＝P(A)· P(B)． (2)A，B中至少有一个发生：A∪B. ①若A，B互斥：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则不成立．
3.离散型随 机变量的 分布列、 期望与方 差
Fra Baidu bibliotek
5.利用实际问题的直 方图，了解正态分 布曲线的特点及曲 线所表示的意义.
选择题：2017· 浙 江，8 解答题：2017· 课 标Ⅲ，18 解答题：2017· 山 东，18
51 事件的独立性与条件概率
1．相互独立事件的概率 (1)相互独立事件的概率运算 P(A)P(B) AB”也可记 (i)事件A，B相互独立⇔P(AB)＝①_________(“ 为“A∩B”)． (ii)若事件A1，A2，…，An相互独立，那么这些事件同时发
E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋ 1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a× 0.10＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费 1.23a 的比值为 ＝1.23. a
条件概率的求法
P（AB） (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝ . P（A） (2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概 率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的 条件下求事件 B 包含的基本事件数，即 n(AB)，得 P(B|A)＝ n（AB） . n（A）
考向2
条件概率
条件概率在高考中经常作为解答题的一小问，或以选择
题、填空题的形式出现，难度较小，一般以直接考查公式的应 用为主，分值约为5分．
例2 (2016· 课标Ⅱ，18，12分)某险种的基本保费为a(单位：元),
继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与 其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 保费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a
(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”． 由题意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2
∪A7B3∪A6B6∪A7B6.
因为 P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋ P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝ 10 10P(A4)P(B1)＝ . 49 (3)a＝11 或 a＝18.
【解析】
(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基
本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故 P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55. (2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B) ＝0.1＋0.05＝0.15. 又P(AB)＝P(B)，
2．条件概率的定义
P（ AB） 设A，B是两个事件，且P(A)>0，称P(A|B)＝③__________ P（ B）
为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率．
P（AB） 公式 P(A|B)＝ ，既是条件概率的定义，也是条件 P（B） 概率的计算公式．
3．条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1；
(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论
不要求证明)
解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bj为“乙是B组的第j
个人”，i，j＝1，2，…，7.
1 由题意可知 P(Ai)＝P(Bj)＝ ，i，j＝1，2，…，7. 7 (1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 人，或者第 6 人，或者第 7 人”，所以甲的康复时间不少 3 于 14 天的概率是 P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝ . 7
②若A，B相互独立(不互斥)，则概率的求法：
方法一：P(A∪B)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)； 方法二：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1－P(A)P(B)．
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(3)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件 的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至 少”等题型的转化．
变式训练
(2015· 北京，16，13分)A，B两组各有7位病人，他
们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16；
B组：12，13，15，16，17，14，a.
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1 人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙． (1)求甲的康复时间不少于14天的概率； (2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；