高中数学知识点精讲精析 平均值不等式

3 平均值不等式
1．基本不等式
（1）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （2）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+
(3) 33,,,3a b c R b c abc +∈++≥3则a ,(拓展内容) 2 均值不等式:
两个正数的均值不等式：ab b
a ≥+2
三个正数的均值不等是：
3
3
abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：
n
n n a a a n
a a a 2121≥+++
2
2112
2
2b a b
a a
b b
a +≤+≤≤+ ——两个正数
b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系
,这是一个非常重要的不等式,许多题目可以从中找到解题途径．
3．最值定理:设,0,x y
x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(
xy P =是定值）,则xy 时,x y +和有最小值
（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则x=y 时,22
S
xy 积有最大值（）
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等
4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。

此外还要掌握如下常用不等式
2
,0,0a R a a ∈≥≥;
222
()22
a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++
若a>b>0,m>0,则
b b m a a m
+<+； 若a,b 同号且a>b 则11
a b
<,等。

5. 几个平均数的关系
平均的概念，在人们的日常生活和生产实践中是经常遇到的。

除了上述谈到的算术平均数和几何平均数之外，还常会用到另外两种平均数，即平方平均数和调和平均数. 设n a a a ,,,21 为正数，则这n 个数的平方和的算术平均数的算术平方根为
n
a a a Q n
n 2
2221+++=
.
n Q 称为这n 个数的平方平均数。

平方平均数在概率统计及误差分析中有着重要的作用.
而n 个正数的倒数的算术平均数的倒数为n
n a a a n
H 11121+++=
.
n H 称为这n 个数的调和平均数. 调和平均数在物理学中的光学及电路分析中有着较多
的应用. 通常又记.,2121n n n n
n a a a G n
a a a A =+++=
则n n G A ,,n Q ,n H 四个平均数的关系为：≤n H n G n A ≤≤n Q . 其中等号当且仅当n a a a === 21时成立.
例1. 求函数)0x (x
4
x 5y 2≠+=的最小值。

【解析】 因为0x ≠ 所以332
22253x 42x 52x 53x
4x 25x 25x 4x 5y =⋅⋅≥++=+
= 当且仅当
2x
42x 5=
即5
25258x 33
==时取得等号 故3min 253y =
评注：对“5x ”进行恰当地拆分，才能实现“三相等”。

例2. 求函数)1x (1
x )
2x )(5x (y -≠+++=
的值域。

分析：因分母的次数低于分子的次数，将其化为C x
B
Ax )x (f ++=型，再利用平均值不等式求最值。

【解析】
1
x 10x 7x y 2+++=
1x 4
)1x (5)1x (2+++++=
51
x 4
)1x (++++=
当x+1>0
即x>－1时，951
x 4
)1x (2y =++⋅
+≥ 当且仅当)1x (1
x 4
1x ->+=
+ 即1x =时取等号 当01x <+
即1x -<时，151
x 4
)1x (2y =++⋅
+-≤ 当且仅当)1x (1
x 4
1x -<+=
+ 即3x -=时取等号
故函数的值域为(][)+∞∞-,91,
例3. 设⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πθ，求函数θθcos sin y 2=的最大值。

分析：挖掘隐含条件1cos sin 22=+θθ，为能构造出和为定值，需要考虑y 2。

【解析】
因为⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πθ，所以0cos sin y 2>=θθ
θθ242cos sin y =
27
43cos 2sin sin 21cos 2sin sin 213
2222
22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⋅⋅=θθθθθθ 所以9
3
2y ≤
当且仅当θθ22cos 2sin = 即2arctan =θ时取等号 所以9
3
2y max =
例4. 求函数x
4
x 4
82)x (f +=+的最大值。

【解析】
222
4162
822162821682216)x (f x x x
x x 2x ==⋅≤+=+⋅=
当且仅当x
x 282= 即2
3
x =
时取等号 所以)x (f 的最大值为22 评注：形如d
)x (cg )x (bg )
x (ag )x (f 2
++=
型的最值问题，可考虑分子常数化。

例5. 已知x ，y ，+∈R z ，且6z y x =++，求22xyz z xy +的最大值。

【解析】
因为x ，y ，+∈R z ，且6z y x =++ 则)z y (xyz xyz z xy 22+=+
4
4)z y x (2
3342z y z y x 2334⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅=
64
2187
49344
=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
当且仅当6z y x =++及2
z y z y x 23
+=
==时，取得等号 此时4
9
z y ,23x ===
所以64
2187
)xyz z xy (max 22=
+ 例6. 已知不等式6x )2x (k +>-，（1）求该不等式中x 的集合；（2）若1不是不等式的解，0是不等式的解，求k 的取值范围。

【解析】 （1）6k 2x )1k (+>-
当k>1时，解集为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
-+>1k 6k 2x |x
当1k =时，解集为φ
当k<1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧
-+<1k 6k 2x |x
（2）⎩⎨⎧>-+≤-6
k 26
1k
所以3k 7-<≤-
评注：当一次项系数为0时，不等式成为两个常数比较大小的形式，与x 取值无关。

因此，不等式的解集为R （不等式成立时）或φ（不等式不成立时）.
例7. 已知a ，b ，c 为正整数，且c 12b 6a 448c b a 2
2
2
++<+++，求a b c
c 1b 1a 1⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++的值.
【解析】
因为不等式两边均为正整数，所以不等式c 12b 6a 448c b a 222++<+++与不等式
c 12b 6a 4148c b a 222++≤++++等价，这个等价不等式又可转化为
049c 12c b 6b a 4a 222≤+-+-+-。

∴0)6c ()3b ()2a (222≤-+-+- ∴06c ,03b ,02a =-=-=- 即a=2，b=3，c=6
1c 1b 1a 1abc
=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++
评注：将等式与不等式对应等价转化，是转化数学问题的常用且非常有效的手段. 例8. 解不等式6
11x x 11x 121≤+-+≤ 【解析】
若令t 1x =+则1t x 2-= ∵1x ->，且0x ≠ ∴1t 0t ≠>且 ∴不等式化为
)1t ,0t (6
1t )1t (1t 1212≠>≤--≤ 即
)1t ,0t (6
1t )1t (1121≠>≤+≤ ∴)1t ,0t (12t )1t (6≠>≤+≤ 解得3t 2≤≤ 从而31x 2≤+≤ 即91x 4≤+≤
∴不等式的解集是{}8x 3|x ≤≤
例9. 设a<0为常数，解不等式a x 2ax a 2>+-。

【解析】
不等式转化为x 2a ax a 2->-
令函数ax a )x (f 2-=和x 2a )x (g -= 其图象如图所示
由x 2a ax a 2-=- 解得0x 4
a
3x ==
或（舍去）
∴两个函数图象的交点为⎪⎭
⎫
⎝⎛-2a ,4a 3P
由图知，当4
a
3x >
时，函数)x (f y =的图象位于函数)x (g y =的图象的上方 ∴不等式的解集是⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
>4a 3x |x
评注：在不等式的求解过程中，换元法和图象法是常用的技巧。

通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系。

对含有参数的不等式，运用图象法，还可以使得分类标准更加明晰.
例10. 已知
1a
c
2b 2=-，求证)R c ,b ,a (ac 4b 2∈≥ 分析：结论可以转化为0ac 4b 2≥-，恰好是一元二次方程有实根的必要条件。

【解析】
由已知可化为0c 22b 22a 2
=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，这表明二次方程0c bx ax 2=++有实根2
2
-
，从而需要判别式0≥∆，即ac 4b 2≥成立。

例11. 解不等式
0x 5x 1x 10
)
1x (833
>--+++ 分析：本题若直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做，运算较繁杂。

但注意
到⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++1x 251x 21x 10)1x (82
3
，且题中出现x 5x 3
+，启示我们构造函数x 5x )x (f 3+=去投石问路。

解：将原不等式化为x 5x 1x 251x 23
3
+>⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+
令x 5x )x (f 3+=
则不等式等价于)x (f 1x 2f >⎪⎭
⎫
⎝⎛+
∵x 5x )x (f 3+=在R 上为增函数 ∴原不等式等价于
x 1
x 2
>+ 解得2x 1x 1-<<<-或
例12. 已知c ax )x (f 2-=，且5)2(f 1,1)1(f 4≤≤--≤≤-，求)3(f 的范围。

【解析】
令c )n m (a )n 4m ()2(nf )1(mf c a 9)3(f +-+=+=-=
可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-
=⇒⎩⎨⎧=+=+38
n 35m 1n m 9n 4m
∴)1(f 3
5
)2(f 38
)3(f -
= 又5)2(f 1,1)1(f 4≤≤--≤≤- 可解得20)3(f 1≤≤-
评注：题中c a 4)2(f ,c a )1(f -=-=，且5)2(f 1,1)1(f 4≤≤--≤≤-是四个整体，在解题过程中，整体谋划，不能破坏其固有的整体结构。

例13(1)已知a ，b 为正常数，x ，y 为正实数，且
1y
b
x a =+，求x+y 的最小值。

(2)若a>b>0, 求2
16
()
a b a b +
-的最小值
(3)求2
2
2
42
y x x =--
+的最大值 【解析】
(1)法一：直接利用基本不等式：x
ay
y bx b a )y b x a )(y x (y x +++=++=+≥
ab 2b a ++当且仅当⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=1y b x a y bx x ay ，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ab b y ab a x 时等号成立
说明：为了利用均值不等式，本题利用了“1”的逆代换。

法二：消元化为一元函数 由
1y b
x a =+得b
y ay x -= ay a(y b )ab
x y y y y b y b
ab ab a y (y b )a b
y b y b -++=
+=+--=++=+-++--∴
∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由b
y ay
->0得y-b>0 ∴ x+y ≥b a ab 2++
当且仅当⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+-=-1y b x a b y b y ab
，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ab a x ab b y 时，等号成立
法三：三角代换.令θ=2cos x a ，θ=2
sin y b ，θ∈（0，2
π）
∴ θ=θ
=
22
sec a cos a x ，θ=2csc b y
∴ x+y=2
211a(tan
)b(cot )θθ+++
22a b atan bcot θθ=+++≥ab 2b a ++
当且仅当⎪⎩
⎪
⎨⎧=+θ
=θ1y b x a cot b tan a 时，等号成立
(2)分析:
)
(16
b a b -的分母(a —b)b,而(a —b)+b=a, 故问题突破口已显然! 也可以逐
步进行：先对b 求最小值()f a ，然后在对a 求最小值
解法一: 2
16()a b a b +
-=[(a —b)+b]2
+)
(16b a b -
≥[2)(b a b -]2
+
)(16b a b -=4(a —b)b+)
(16
b a b -≥16
当且仅当b=(a —b)且(a —b)b=2,即a=2b=22时取等号,故2
16
()
a b a b +-的最小值
为16
解法二: 2
16()a b a b +
-22
22
16648216()2a a a a a b a b ≥+=+≥⋅=+-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
当且仅当b=(a —b)且8a a
=
, 即a=2b=22时取等号,故2
16
()
a b a b +
-的最小值为16
(3)2
22
6(2)2
y x x =-++
+ (
若由2
22
2
262(2)22y x x x ≤-+=
+=+则即无解“=”不成立) 令2
222,6()u x y u u
=+≥=-+则,可以证明y(u)
在)+∞递减
∴u=2,即x=0时,y max =3
◆ 提炼方法：1.(1)题法一将“1”利用已知回代,充分利用了倒数关系,巧妙灵活; 2.法二,三是常用的两种消元方法,即代数消元和三角换元,要熟练掌握.
3.在运用均值不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三等”.凑出定值是关键!“=”成立必须保证,若有几步放缩,只要每步取等号的条件相同即可.
例14已知ab+a+2b=30,(a>0,b>0),求证:ab ≤18. 【解析】
证明:法1:由已知,(a+2)(b+1)=32,
ab=30-(a+2b)=34-[(a+2)+2(b+1)]3418≤-= 法2:由已知21123022(2)()222
a b a b a b a b +=++
⋅≤++ 212a b ⇒+≥,∴ab=30-(a+2b)≤18
法3:由已知得302
a b a -=+ ∴3064
(2)3422
a a
b a a a a -=⋅
=-++-+++
3418≤-+=
例15已知:a>b>c>d,求证:
1119a b b c c d a d
++≥----. 【解析】 证明: ∵a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d),题中出现了“和”与“倒数和” ∴利用调和平均数与算术平均数的关系33a b c a b c
++≤++ 得: 111a b b c c d ++---99()()()a b b c c d a d
≥=-+-+-- 例16 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600
v y v v v =>++． (1)在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到1.0千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【解析】 （Ⅰ）依题意，,839201600
23920)1600(3920=+≤++=v
v y )./(1.1183
920,,40,1600max 小时千辆所以上式等号成立时即当且仅当≈===
y v v v （Ⅱ）由条件得,10160039202>++v v v 整理得v 2
－89v +1600<0,
即（v －25）（v －64）<0,解得25<v <64.
答：当v =40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．
例17在△ABC 中，∠C=90°，AC+BC=l （定值），将图形沿AB 的中垂线折叠，使点A 落在点B 上，
求图形未被遮盖部分面积的最大值.
【解析】 E A
B D C
将图形沿AB 的中垂线折叠，使点A 落在点B 上, 未被遮盖部分是Rt ACD ∆
设b AC a BC ==,,b a <，则1=+b a ，tan b B a = B b DC B ADC 2cot ,2==∠ ∴ Rt ACD ∆的面积
2222111(1)(21)cot 22224a b a a S b B b ab a ---=== 111
[3(2)][344
a a =-+≤- 当且仅当2
212=⇒=a a a 时,)223(41max -=S 故图形未被遮盖部分面积的最大值是
)223(41-.。