专题训练5 数学建模思想

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图10.4-2

C

专题训练五 数学建模思想

一、 思想方法领悟：

数学思想方法：把实际问题转化为数学问题，即为数学模型。

数学建模步骤：一是建立数学模型(建模)；二是运用有关知识求解数学模型(解模)。 核心与关键点：让原来的问题情境转化为易于解决的和熟知的数学问题。 二、 典型例题解析：

【例1】（1）某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，

在钱都用尽的条件下，有 种购买方案．

（2）如图10.4-1，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON =30°．公路PQ 上A 处距离O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为 秒

（3）如图10.4-2，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，

BC =D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为 ．

【例2】一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若前面每人分4件，则最后一人得到了玩具但不足3

件．求小朋友的人数与玩具数．

【例3】某文具零售店老板到批发市场选购A 、B 两种文具，批发价分别为12元/件、8元/件；若该店零售的A 、B 两种

文具的日销售量y (件)与零售价x (元/件)均成一次函数关系(如图10.4-3)． （1）求y 关于x 的函数关系式；

（2）该店老板计划这次选购A 、B 两种文具的数量共100件，所花资金不超过1000元，并希望全部售完后获利不

低于296元，若按A 种文具日销售4件和B 种文具每件可获利2元计算，他这次有哪几种进货方案？ （3）若A 种文具的零售价比B 种文具的零售价高2元/件，求这两种文具每天的销售利润W (元)与A 种文具零售价

x (元/ 件)之间的函数关系式.并说明A 、B 两种文具的零售价分别为多少时，每天的销售利润最大？

【例4】如图10.4-4，有一座圆弧形拱桥，桥下水面AB 宽7.2m ，拱顶高出水面2.4m.现有一艘宽EF 为3m ，船舱顶部为

长方形并高出水面2m 的船要经过这里，此船能顺利通过这座桥吗?

图10.4-1

图10.4- 3

10

图10.4-4

N

M F

E

D

C B

A

P O

【例5】高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图10.4-5，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力

测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由. 1.732）

三、能力梯级提高：

（一）中档训练

1.某电器按成本价提高30％后标价，再打8折(标价的80％)销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题

意，下面所列方程正确的是（）

A．(130%)80%2080

x+⨯= B．30%80%2080

x⋅⋅= C．208030%80%x

⨯⨯= D．30%208080%

x⋅=⨯

2.如图，一艘旅游船从A点驶向C点. 旅游船先从A点沿以D为圆心的弧AB行驶到B点，然后从B点沿直径行驶到圆D 上的C点.假如旅游船在整个行驶过程中保持匀速，则下面各图中，能反映旅游船与D点的距离随时间变化的图象大致是( )

3.吴某打算用同一大小的正多边形地板砖铺设家中的地面，则该地板砖的形状不能是( )

A.正三角形

B. 正方形

C. 正六边形

D. 正八边形

4.某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )

A．

2892

(1)x

-=256 B．2562

(1)x

-=289 C．289(12)x

-=256 D．256(12)x

-=289

5. 如图，在平面直角坐标系中，直线33

y x

=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD 沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在双曲线上则a的值是( )

A.1

B.

C.3

D.4

6. 如图，已知点A

是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y x

=-于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P

在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B 运动的路径长是_______．

C

北

A

15°

75°

F

北

图10.4-5

H

第6题图

2

3

7.一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖，突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是 ．

8.如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm.

9.为了估计湖里有多少条鱼，从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间，第二次再捕上200条，若其中带标记的鱼有25条，那么你估计湖里大约有_________条鱼.

10.如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12m 时，桥洞顶部离水面4m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是21(6)49

y x =--+，则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是 ．

11.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，求∠ABC 的度数.

12. 某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注:获利=售价-进价

(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?

(2)若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于

1260元，请问有哪几种购货方案?直接写出其

中获利最大的购货方案.

（二）中考延伸

13. 要在一块长52m ，宽48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．

（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x ；

（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（小颖设计方案与小亮设计方案中的取值相同）

第8题图

6

3

1B

A

第10题图