第九章习题答案

17. 证明在一个连通无向图中。任何两条最长的基本 证明在一个连通无向图中。 链必有公共顶点。 链必有公共顶点。 证明： 假设图中两条最长的基本链分别为P （ 证明 ： 假设图中两条最长的基本链分别为 1=（ a0 ， a1，a2，…，an，），P2=（b0，b1，b2，…bm，）， （ m≤n，P1与P2没有公共顶点。由于此图是连通图，则 没有公共顶点。由于此图是连通图， ≤ ， P1中必有一顶点 i，P2中必有一顶点 j，ai和bj连通， 中必有一顶点a 中必有一顶点b 连通， 的链为P （ 令 ai 到 bj 的链为 3=（ ai ， c1 ， c2 ， … ck ， bj ） ， 则 ｜ P3 ｜ ≥ 1， ai 和 bj 分别将链 1 ， P2 分成两部分 ， 则 P1 的 分别将链P 分成两部分， ， 较长部分与P 的较长部分构成的链长度大于m， 较长部分与 3和 P2的较长部分构成的链长度大于 ， 这与P 是两条最长基本链中之一矛Байду номын сангаас。因此， 这与 2是两条最长基本链中之一矛盾。因此，任何两 条最长的基本链必有公共顶点。 条最长的基本链必有公共顶点。
第9章习题答案 章习题答案 6. 证明图 证明图9.26中的无向图 1和G2不同构。 中的无向图G 不同构。 中的无向图 每个3度顶点都有 度顶点都有2个 度顶点 证明：因为在图 证明：因为在图G1中，每个 度顶点都有 个3度顶点 与之邻接，而图G 每个3度顶点只有一个 度顶点只有一个3度顶点 与之邻接，而图 2中，每个 度顶点只有一个 度顶点 与之邻接。所以两图不同构。 与之邻接。所以两图不同构。 7. 证明在n个顶点的简单无向图中(n≥2)，至少有两个 证明在n个顶点的简单无向图中 个顶点的简单无向图中(n≥2)， 顶点次数相同。 顶点次数相同。 证明：反证法，假设 个顶点的次数互不相同 由于n 个顶点的次数互不相同。 证明：反证法，假设n个顶点的次数互不相同。由于 个顶点的简单无向图中，每个顶点的次数均小于n， 个顶点的简单无向图中，每个顶点的次数均小于 ， 个顶点的次数分别为0， ， ， 则n个顶点的次数分别为 ，1，2，…n-1。次数为 的 个顶点的次数分别为 。次数为0的 顶点为孤立点，因此，图中次数为0和 的顶点不可 顶点为孤立点，因此，图中次数为 和n-1的顶点不可 能同时存在，故假设错误。所以在n个顶点的简单无 能同时存在，故假设错误。所以在 个顶点的简单无 向图中(n≥2)，至少有两个顶点次数相同。 向图中 ，至少有两个顶点次数相同。
18. 证明在一个无向图 中 ，如果有两个且仅有两个 证明在一个无向图G中 奇顶点，则这两个顶点是连通的。 奇顶点，则这两个顶点是连通的。 证明：假设无向图 中恰有两个奇度顶点 中恰有两个奇度顶点u和 ， 证明：假设无向图G中恰有两个奇度顶点 和v，若u 不连通， 分别在G 和v不连通，则u和v分别在 的两个不同的连通分支 不连通 和 分别在 不妨把这两个连通分支分别记为G 中，不妨把这两个连通分支分别记为 1和G2，于是 G1和G2中各含一个奇数顶点。这与推论：“在任何 中各含一个奇数顶点。这与推论： 图中，度数为奇数的顶点个数必定是偶数”相矛盾。 图中，度数为奇数的顶点个数必定是偶数”相矛盾。 两顶点必连通。 故u和v两顶点必连通。 和 两顶点必连通
20. 设给定无向图 设给定无向图G=<V,E>，按如下方式构造无向 ， 图 Gˊ=<Vˊ,Eˊ>， 使得 ˊ=V， Eˊ={(u,v)*｜ ˊ ˊ ˊ ， 使得Vˊ ， ˊ ｜ u∈V∧v∈V∧(u,v)∉E}，证明 如果 是不连通的， 是不连通的， ∈ ∧ ∈ ∧ ∉ ，证明: 如果G是不连通的 则Gˊ是连通的。 ˊ是连通的。 证明：因为 是不连通图 不妨设G有 个连通分 是不连通图， 证明：因为G是不连通图，不妨设 有k个连通分 支，则k≥2。由已知条件，在Gˊ图中，G的不同 。由已知条件， ˊ图中， 的不同 连通分支中的两个顶点之间有边相连。 连通分支中的两个顶点之间有边相连。若u和v是G 和 是 的同一连通分支中的两个不同顶点，则在Gˊ 的同一连通分支中的两个不同顶点，则在 ˊ中， u和v与G的另一连通分支中的顶点 邻接，故u和v 的另一连通分支中的顶点w邻接 和 与 的另一连通分支中的顶点 邻接， 和 连通。所以， ˊ是连通图。 连通。所以，Gˊ是连通图。
19. 设G是具有 个顶点的简单无向图， 并且 中任 是具有n个顶点的简单无向图 是具有 个顶点的简单无向图，并且G中任 何两个顶点的次数之和大于或等于n-1，证明G为连 何两个顶点的次数之和大于或等于 ，证明 为连 通图。 通图。 证明: 假设G不是连通图 不是连通图， 证明 假设 不是连通图，有k（k>1）个连通分支， （ > ）个连通分支， 令它们的顶点数分别为n 则第i个连 令它们的顶点数分别为 1，n2，…，nk，则第 个连 通分支n 的每个顶点的次数至多为n 。 通分支 i的每个顶点的次数至多为 i-1。设u，v分 ， 分 别为任意两个不同连通分支i和 的顶点 的顶点， 别为任意两个不同连通分支 和j的顶点，则它们的 顶点次数之和至多为n ，因为n … ， 顶点次数之和至多为 i+nj-2，因为 1+n2+…+nk=n， 所以n 所以 i+nj-2< n-1，这与 中任何两个顶点的次数之 < ，这与G中任何两个顶点的次数之 和大于或等于n-1矛盾 矛盾， 必为连通图。 和大于或等于 矛盾，故G必为连通图。 必为连通图
23. 设有 个电话局 ， 如果每一个电话局至少可以与另 设有2n个电话局 个电话局， 个电话局通话， 在这2n个电话局的任何两个电 外 n个电话局通话 ， 证明 在这 个电话局的任何两个电 个电话局通话 证明在这 话局之间都可以通话(也可能要通过另外的电话局 也可能要通过另外的电话局) 话局之间都可以通话 也可能要通过另外的电话局 证明：设电话局为顶点， 证明：设电话局为顶点，在能通话的电话局之间连一条 则得无向简单图G。由题意可知， 有 个顶点 个顶点， 边，则得无向简单图 。由题意可知，G有2n个顶点，G 的每个顶点的度数大于等于n，下面证明G为连通图 为连通图。 的每个顶点的度数大于等于 ，下面证明 为连通图。 假设G不是连通图，则G至少有两个连通分支。由于 有 至少有两个连通分支。 假设 不是连通图， 不是连通图 至少有两个连通分支 由于G有 2n个顶点 ， 故必存在一个最多有 个顶点的连通分支 ， 个顶点， 个顶点的连通分支， 个顶点 故必存在一个最多有n个顶点的连通分支 令其为G 由于G是无向简单图 因此其连通子图G 是无向简单图， 令其为 1。由于 是无向简单图，因此其连通子图 1中 的每个顶点的度数 ≤ n-1，这与 的每个顶点的度数大于 ，这与G的每个顶点的度数大于 等于n矛盾 因此G必为连通图 这就是说， 的 个顶 矛盾， 必为连通图。 等于 矛盾，因此 必为连通图。这就是说，G的2n个顶 点中，任何两个顶点都可达。也即表明2n个电话局的任 点中，任何两个顶点都可达。也即表明 个电话局的任 何两个电话局之间都可以通话。 何两个电话局之间都可以通话。
12. 证明在有向图 中 ， 任何一个回路总包含有一个 证明在有向图D中 基本回路。 基本回路。 证明：设是有向图 中的任意一条回路 除外， 中的任意一条回路。 证明：设是有向图D中的任意一条回路。除外，若回 路中无重复出现的顶点，则它是一条基本回路， 路中无重复出现的顶点，则它是一条基本回路，否则 存在，使得。我们把从回路中删去， 存在，使得。我们把从回路中删去，所得结果仍为一 条回路。若这条新回路除外仍有重复出现的顶点， 条回路。若这条新回路除外仍有重复出现的顶点，就 重复前边的操作，直到无重复出现的顶点为止。 重复前边的操作，直到无重复出现的顶点为止。最后 得到的回路就是一条基本回路。这表明，任何一条回 得到的回路就是一条基本回路。这表明， 路中必包含有一条基本回路。 路中必包含有一条基本回路。