第2章_矩阵的相似及应用

(2.1.2)
称 是 T 的特征值， 是线性变换 T
属于 的特征向量。
从几何角度看，当 0 且为实数时， 特征向量 的方向经线性变换 T 后保 持不变。当 0 时，T 与 保持同指 向，当 0 时，T 与 指向相反。
既然把一组线性无关 T 的特征向量 1,2 , ,n 作为基表示 T 的矩阵形式 这样简单，是否可以找到这样一组 特征向量和如何寻找这样一组特殊 的向量就是我们下面要做的工作.
1 ,2 ,3
1 ,2 ,3
的过渡矩阵，即线性变换 T 是可对角化的.
定理2.1.5 如果 n 阶矩阵有 n 个线性无关的特征向量， A 矩 阵与对角矩阵相似。
推论1 如果 n 阶矩阵有 n 个互 异的特征值，矩阵与对角矩阵 相似。
2.1.3 Schur 分解
引理 2.1.1 若 n 元复向量，u1 c1,c2,cn T
定理2.1.2 若 0 是线性变换 T 的r重 特征值，则
dimV0 r
2.1.2 矩阵对角化
2.1.2.1 矩阵的相似关系 定义2.1.6 令 A, B, P 是n n 的矩阵, P 是非 奇异矩阵, 如果他们之间存在关系 B P1AP 则称 A与 B 矩阵是相似矩阵, 记为 A ~ B ; 矩阵的相似关系，满足以下性质:
ann
就是一个 -矩阵
2.2.1 -矩阵的初等变换和 Smith 标准形
定义2.2.1 -矩阵 A( ) 中不恒等于零的
子式的最高阶数 r 称为-矩阵的秩，记
为 rankA( )，即 rankA( ) r.
例 2.2.1
定义2.2.2 关于 -矩阵的三种初 等变换：
⑴ 两行(列)互换位置； ⑵ 某行(列)乘不等于零的数； ⑶ 用 的多项式 h()乘某行(列) 并加到另一行(列)上。
P 是非奇异矩阵，并且
D P 1 AP
(2.1.12)
则称 A是可对角化的,如果 A 是线性空间 Vn 中
线性变换 T 在基 S 1,2, ,n下的矩阵,也称 T
是可对角化的。
将(2.1.12)式写成矩阵形式
PD AP 令 P x(1) , x(2) , , x(n) 就有
1
Байду номын сангаас
A x(1) , x(2) ,
那么
T T (x11 x22 xnn )
T (1,2,
x1
,
n
)
x2
(1,
2
,
xn
x1
,
n
)
A
x2
xn
x1
(1
,
2
,,
n
)
x2
xn
由特征向量定义，以上二式可以写成
(1,2 ,
x1
,
n
)
A
x2
(1
,
2
,
xn
x1
,n
)
的范数 u1 u1,u1 1 ，则一定存在一个酉 矩阵 U ，使得 u1 是它的第 1列量。
定理 2.1.6 （Schur 定理) 设 A 为 n 阶方 阵，1, 2,,n 是 A 的特征值，不论它们 是实数还是复数，总存在相似酉矩阵 ，
使得U
A ，U其TU中H 为上三T角矩阵，
对角线上的元素是
这说明特征向量不是由 唯0 一决定的。 但是，特征值却被特征向量唯一决定， 因此每一个特征向量只属于一个特征 值。
例2.1.1
（2）矩阵特征值与特征向量的性质
对于线性空间 Vn的线性变换 T 的任 一特征值 0 , T 的属于0 的全体特征 向量，再添加上零向量构成的集合
V0 T 0 , Vn （ 2.1.5 ）
下面来分析矩阵 A 的特征多项式.
T 是线性空间 Vn 中的线性变换, T 在 Vn 中的一个基 S 1,2, ,n 下 的矩阵是 A
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2
n
ann
a11
det
I
A
det
a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
ann
x2
xn
（2.1.3）
因为 S是 V 的一个基，1,2, ,n 是线性 无关向量组，（2.1.3）成立可以等 价于
x1
(I
A)
x2
0
xn
(2.1.4)
x1
其中
x
x2
是特征向量
在基
s 下的坐
xn
标，因为 0 ,所以 x 是非零向量,x Rn
方程组（2.1.4）有非零解 x 的充分必
（1）特征向量的求法
在 V 中，设 S 1,2, ,n是 V 的任意一 个基，T 是 V 中的线性变换, T 在 S 下 的矩阵是 A 矩阵。如果 是 V 中 T 的 一个属于特征值 的特征向量，就有
T
并且因为
x11 x22
xnn (1 ,2 ,
x1
,
n
)
x2
xn
是 Vn 的一个线性子空间.
事实上，设 , V0 则有
T 0 T 0
于是 T ( ) T T 0 ( )
T (k ) kT 0(k )
说明 , k 均属于 V0
定义2.1.3 设 T 是线性空间 Vn 的线性 变换， 0 是 T 的一个特征值，称 Vn 的 子空间 V0 是 T 的属于 0 的特征子空间, V0 的维数是属于 0 的线性无关特征 向量的个数。
即使T满足
1
T (1,2 ,,n ) (1,2 ,,n )
2
n
j p 1 j n
(2.1.1)
将式(2.1.1)写成向量的形式，其 中，基S中每一个向量 j 在变换 T 下满足：
T j j j
定义2.1.1 0 是线性空间 V 中的向量，如果对于线性变换 T 满足
T P
A( ) P1P2 Ps B( )Q1Q2 Qt
三种初等变换对应三个初等矩阵， P(i, j), P(i(k)),P[ j(h(),i)] ， 并 且 ， 施 于行变换时，相当左乘相应初等矩 阵，施于列变换时，相当右乘相应 初等矩阵，可以证明初等变换不改 变 -矩阵的秩。
初等矩阵都是可逆矩阵，并且有 P1(i, j) P(i, j), P 1( j(k)) P( j(k 1)),
n a1 n1 an1 an
(2.1.6)
根据行列式展开原理，() 的系数有 性质：
a1 (a11 a22 ann )
an (1)n det A
定义2.1.4 称 tr( A) a11 a22
是 n
ann aii
i 1
矩阵A的迹，在复数域内，(2.1.6)式
有n 个根（含重根） 1,2, ,n ,即
P 1[ j(h( )), i] P[ j(h( )), i]
定义2.2.3 若 -矩阵 A( ) 经 过有限次初等变换，化成 -矩 阵 B( ) ，则称 A( ) 与 B( ) 等价。 记为： A( ) B( )
等价是 -矩阵的一种关系，这种关 系，显然具有下面三个性质：
（1） 反身性：每一个 -矩阵与自己等
价。
（2） 对称性：若 A( ) 与 B( ) 等价，则 B( ) 与 A( ) 等价，这是因为初等变换具 有可逆性。
（3）传递性：若 A( ) 与 B () 等价， B () 与 C( )等价, 则 A( )与 C( ) 等价。
应用初等变换和初等矩阵的关系，即得 矩阵 A()与B( )等价的充分必要条件是存在 一系列初等矩阵 P1, P2 , , Ps , Q1, Q2 , ,Qt ，使
C R1 AR
定理2.1.3 线性空间中的线 性变换在不同基下的矩阵相 似.
定理2.1.4 若 A 与 B 矩阵是 相似矩阵,那么它们有相同的 特征多项式,从而有相同的特 征值.
2.1.2.2 矩阵对角化
如果 A, D, P 是 n n 矩阵,其中 D 是对角形矩阵, 即 D diag(1, 2 , , n )，其中 1, 2 , , n 可能有重根;
换言之，T 的特征值与 A 的特征值一 致，而 T 的特征向量在 V 的基下的坐 标与 A 的特征向量一致。因此，线性 变换 T 的特征值与特征向量计算步骤 如下：
(1) 取定 P 上线性空间 V 中的一个 基，写出线性变换 T 在 S 下的矩阵 A；
(2) 计算 A 的特征多项式( ) 全部 根，它们也是 T 的全部特征值；
第二章 矩阵的相似及应用
• 2.1 矩阵对角化
• 2.2 －矩阵和初等因子
• 2.3 Jordan标准形 • 2.4 广义特征向量
2. 1 矩阵对角化
2. 1. 1 特征值与特征向量
假如 T 是线性空间 V 中的一个线性变换，
S 1,2, ,n是 V 的一个基，如果 T 在 S 下
的矩阵是对角形，那么 S 应具备什么样的 性质呢？
() 是一个关于 的 n 次多项式，如果 0 是线性变换 T 的特征值，那么 0 必是矩阵
A 的特征多项式的一个根；反之，如 果 0 是矩阵 A 在数域 p 中的一个特征 根，即 (0 ) det(0I A) 0 ，那么，
向 量 x11 x22 xnn 满 足 (2.1.2) 式，T 0 ,表明 是 T 属于 0 的特征向 量，所以只要求出 T 在基 S 下矩阵 A 的 特征值和特征向量就行了.
1 ,.2,, n
推论 1 如果 A 是 Hermite矩阵，则存 在酉矩阵 U ，使得
U T AU diag1, 2 ,n
推论 2 如果 A是实对称矩阵，则存 在正交矩阵 Q ，使得
Q1 AQ diag1 , 2 ,, n
2.2 -矩阵和初等因子
引入 -矩阵
a11()
A(
)
a21
(
)
a12 ()
a22 ()
a1n () a2n ()
am1() am2 () amn()
其中 aij ( ) 1 i m, 1 j n 是数域 P 上纯量 的多项式。
例如矩阵 A (aij )nn 的特征矩阵
a11
I
A
a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
在例2.1.1中,
是线性变换 在 x(1) , x(2) , x(3)
T
基 S 1,2,3下对应矩阵 A 的3个特征向量,
从而 T 是的特征向量 1,2 ,3 的坐标.于是
1 0 0
T
(1
,
2
,
3
)
(1
,
2
,
3
)
0
1
0
0 0 4
就是由基 到基 P ( x(1) , x(2) , x(3) )
, x(n) x(1) , x(2) ,
, x(n)
2
n
Ax(1) , Ax(2) , , Ax(n) 1 x(1) , 2 x(2) , , n x(n)
(2.1.13)
显然对 P 矩阵的每一个列向量 x( j)满足
Ax( j) j x( j) 1 j n
x( j) 是 A矩阵属于特征值 的j 特征向量。
(1) A ~ A ，这是因为 A I 1AI.
(2) 若 A ~ B ，则 B ~ A ； 如果 A ~ B ，那么存在 P ，使得 B P1AP 令 Q P1，可以得到 A Q1BQ ，所以 B~ A.
⑶ 若 A ~ B, B ~ C ,则 A ~ C, C 是 n×n 矩阵 这是因为存在 P, Q ，使得 B P1AP， C Q1BQ (PQ)1 A(PQ) .令 R PQ ，就有
(3) 把求得的特征根逐一代入方程 组(2.1.4)解出 A 属于每个特征值的 全部线性无关的特征向量; （4）以 A 的属于每个特征值的特征 向量为 V 中取定基的坐标，就得到 T 的特征向量.
如果 是 T 对应 0 的特征向量，则 k 也 是对应 0 的 T 的特征向量，其中 k P， 即若 T 0 ，就有 T (k ) k0 0(k )
要条件
() det(I A) 0
定义2.1.2 I A称为矩阵 A 的特征 矩阵，其行列式 () det( I A) 称为A的 特征多项式，称 () det(I A) 0 为A的 特征方程，其根称为 A 的特征值（特 征根）。
下面，我们来分析 V 中线性变换 T 与 取定基 S 下的矩阵 A 的特征值与特征 向量的关系。
( ) ( 1)( 2 )( n )
显然
1 2 n tr( A)
12 n det A
定义2.1.5 T 是线性空间 Vn中线性
变换, , ;称 1,2, ,s i j 1 i , j s 1 s n
为 T 的谱;
(A) max 1i s
i
称为 A 的谱半
径。
定理2.1.1 线性变换 T 的不 同特征值所对应的特征向量线 性无关。