§9.8 曲线与方程

§9．8曲线与方程
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是________________．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是______________．那么这个方程叫做
____________，这条曲线叫做_____________________________________________．2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程
式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
3．两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的
__________，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组________，两条曲线就没有交点．
(2)两条曲线有交点的________条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，
求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
[难点正本疑点清源]
1．求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的
方程，再由条件确定其待定系数；
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出
动点的轨迹方程；
(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，
y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；
(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，
可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
2．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．
1．与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是______________． 2．直角坐标平面xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →
＝4，则点P 的轨迹方程是____________．
3．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →
＝x 2－6，则点P 的轨迹方程是__________．
4．已知两定点A (－2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________．
5．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是
( )
A ．两条直线
B ．两条射线
C ．两条线段
D ．一条直线和一条射线
题型一 直接法求轨迹方程
例1 已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →
|． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线l ：x ＋2y －12＝0的距离的最小值． 探究提高 (1)用直接法求轨迹方程的步骤：建系，设标，列方程化简．其关键是根据条件列出方程来．
(2)求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上．
(2011·课标全国)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线
y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →
，M 点的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程；
(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值． 题型二 相关点法(坐标转移法)求轨迹方程
例2 已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．
探究提高 在上述问题中，动点C (主动点)在已知曲线上运动，动点G (被动点)依赖点C 的运动而运动，这种求轨迹问题所应用的方法称为“相关点法”． 其基本步骤为：
(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝f (x ，y )，
y 1＝g (x ，y )；
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P
是AB 上一点，且AP →
＝
22
PB →，求点P 的轨迹C 的方程．
题型三 定义法求轨迹方程
例3 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4．动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
探究提高 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．
如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心
C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点
M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N ．现 将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆
C ：(x+1)2+y2=4a2 (a>1)，A(1,0)，记点N 的轨迹为曲线E ． (1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a=2时该椭圆的标准方程；
(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈ ，求点Q 的纵坐标的取值范围．
23．参数法求轨迹方程
试题：(14分)已知抛物线y 2＝4px (p >0)，O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程．
审题视角 (1)点M 的运动是由A 点的运动引起的，而A 的变动又和OA 的斜率有关．(2)若OA 的斜率确定，A 的坐标确定，M 的坐标也确定，所以可选OA 的斜率为参数． 规范解答
解 设点M 的坐标为(x ，y)，直线OA 的
方程为y=kx ， [1分] 显然k ≠0，则直线OB 的方程为
y ＝－1
k
x ． [2分]
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，y 2＝4px ， 解得A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫
4p k 2，4p k ，
类似地可得B 点的坐标为(4pk 2，－4pk )， [6分]
从而知当k ≠±1时，k AB ＝
4p ⎝⎛⎭
⎫
1k ＋k 4p ⎝⎛⎭⎫1k 2－k 2＝
1
1k －k
．
故得直线AB 的方程为y ＋4pk ＝1
1k
－k (x －4pk 2)，
即⎝⎛⎭⎫1k －k y ＋4p ＝x ， ① [9分]
直线OM 的方程为y ＝－⎝⎛⎭⎫
1k －k x ． ② [10分] 可知M 点的坐标同时满足①②， 由①及②消去k 得4px ＝x 2＋y 2， 即(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)，
[12分]
当k ＝±1时，容易验证M 点的坐标仍适合上述方程．
故点M 的轨迹方程为(x －2p )2＋y 2＝4p 2(x ≠0)，它表示以点(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆．
[14分]
批阅笔记 (1)本题通过引入参数、用参数法求解较为简捷．但很多考生找不到破解问题的切入口，无从入手．(2)个别考生由于参数选取不恰当，造成计算繁杂冗长，难以求出最终结论．(3)应用参数法求轨迹方程时，首先要选择恰当的参数，参数必须能刻画动点的运动变化，而且与动点坐标有直接的内在联系．如果需要，还应顾及消去参数的方便，选定参数之后，即可当作已知数，运用轨迹条件，求出动点的坐标，即得轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程．
方法与技巧 求轨迹的方法： (1)直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x 、y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)定义法
其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线与圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．
在判断轨迹符合哪一个基本轨迹时，常常用几何性质列出动点满足的距离关系后，可判断轨迹是否满足圆锥曲线的定义．
定义法与其它求轨迹方程的思维方法不同之处在于：此方法通过曲线定义直接判断出所求曲线轨迹类型，再利用待定系数法求轨迹方程． (3)相关点法
当所求动点M 是随着另一动点P (称之为相关点)而运动．如果相关点P 所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关
点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或坐标转移法． 失误与防范
1．求曲线方程时有已知曲线类型与未知曲线类型，一般当已知曲线类型时一般用待定系数法求方程；当未知曲线类型时常用求轨迹方程的方法求曲线方程． 2．求出方程后，一定要分析轨迹与方程是否具备纯粹性和完备性．
§9.8 曲线与方程
(时间：60分钟)
A 组 专项基础训练题组 一、选择题
1．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )
A.x 29－y 216＝1
B.x 216－y 29＝1
C.x 29－y 216＝1 (x >3)
D.x 216－y 29
＝1 (x >4) 3．动点P 为椭圆x 2a 2＋y
2b 2＝1 (a >b >0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F 1、F 2为椭圆的两个
焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为( ) A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．直线 4．有一动圆P 恒过定点F (a,0) (a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，
则点P 的轨迹为
( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
二、填空题
5．过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为____________．
6．点P 到点(1,1)和到直线x ＋2y ＝3的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________． 7．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是_______________________________________________________________________． 三、解答题
8．有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，回运的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地间的距离为10千米，顾客选A 或选B 购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总
费用较低，求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点． B 组 专项能力提升题组 一、选择题
1．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为
( )
A ．x 2－y 28＝1 (x >1)
B ．x 2－y
28＝1 (x <－1)
C ．x 2＋y 2
8＝1 (x >0) D ．x 2
－y 210＝1 (x >1)
2．(2010·重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于
另一条直线的平面内的轨迹是
( )
A ．直线
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．双曲线 3．点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点作∠F 1PF 2外角平分线的垂线．垂足为M ，则点M 的轨迹是
( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
二、填空题
4．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是 x 2＋y 2－8x ＋10＝0，若由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是___________________． 5．如图所示，正方体ABCD —A
1B 1C 1D 1的棱长为1，
点M 在AB 上，且AM ＝1
3AB ，点P 在平面ABCD
上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点 M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系 xAy 中，动点P 的轨迹方程是____________．
6． P 是椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→
，则动点Q 的轨迹方程是________________________________________． 三、解答题
7．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →
的最小值． 8．(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，
点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，
且|MD |＝4
5
|PD |.
(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5
的直线被C 所截线段的长度．
答案
要点梳理
1．(1)这个方程的解 (2)曲线上的点 曲线的方程 方程的曲线 3．(1)公共解 无解 (2)充要 基础自测
1．xy ＝±k 2.x ＋2y －4＝0 3.y 2＝x 4．4π 5.D 题型分类·深度剖析
例1 解 (1)设动点P (x ，y )， 则MP →＝(x －4，y )，MN →
＝(－3,0)，
PN →＝(1－x ，－y )，由已知得
－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，
化简得3x 2＋4y 2
＝12，即x 24＋y 23
＝1.
∴点P 的轨迹方程是椭圆C ：x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由几何性质意义知，椭圆C 与平行于l 的切线l ′的距离等于Q 与l 的距离的最小值．设l ′：x ＋2y ＋D ＝0.将其代入椭圆方程消去x ，化简得：16y 2＋12Dy ＋3(D 2－4)＝0. ∴Δ＝144D 2－192(D 2－4)＝0⇒D ＝±4，
l ′和l 的距离的最小值为|12±4|
5.
∴点Q 与l 的距离的最小值为85
5
.
变式训练1 解 (1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)．又A (0，－1)， 所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →
＝(x ，－2)． 再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →
＝0，
即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.
所以曲线C 的方程为y ＝1
4
x 2－2.
(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为1
2x 0.
因此直线l 的方程为y －y 0＝1
2x 0(x －x 0)，
即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.
所以O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4
.
又y 0＝1
4x 20－2，
所以d ＝1
2
x 20＋4x 20＋4
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 20＋4＋4x 20＋4≥2. 当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.
例2 解 设△ABC 的重心G 的坐标为(x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，
∴y 1＝3x 21－1.①
由三角形的重心坐标公式 ⎩⎨⎧
x ＝x 1－2
3
，y ＝y 1
－23，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2. 代入①中，并整理，得y ＝9x 2＋12x ＋3. ∴△ABC 的重心的轨迹方程为 y ＝9x 2＋12x ＋3.
变式训练2 解 设A (x 0,0)，B (0，y 0)， P (x ，y )，AP →
＝
22
PB →， 又AP →＝(x －x 0，y )，PB →
＝(－x ，y 0－y )，
所以x －x 0＝－22x ，y ＝2
2(y 0－y )，
得x 0＝⎝
⎛⎭⎫1＋2
2x ，y 0＝(1＋2)y .
因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，
所以⎣⎡⎦⎤⎝
⎛⎭⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2
，化简得x 22＋y 2＝1.
∴点P 的轨迹方程为x
22＋y 2＝1.
例3 解 如图所示，以O1O2的中点O 为原点， O1O2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．
由|O1O2|=4，得O1(-2,0)、O2(2,0)．设动圆M 的 半径为r ，则由动圆M 与圆O1内切，有|MO1|=r-1； 由动圆M 与圆O2外切，有|MO2|=r+2.
∴|MO2|-|MO1|=3.
∴点M 的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．
∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74
.
∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－3
2)．
变式训练3 (1)证明 依题意，直线m 为线段 AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|. ∴|NC|+|NA| =|NC|+|NM|
=|CM|=2a>2，∴N 的轨迹是以C 、A 为焦点，
长轴长为2a ，焦距为2的椭圆． 当a=2时，长轴长为2a=4，焦距为2c=2， ∴b2=a2-c2=3.
∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)解 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)．
由(1)知：a 2－b 2＝1.又C (－1,0)，B (0，b )，
∴直线l 的方程为x －1＋y
b
＝1.
即bx －y ＋b ＝0.
设Q (x ，y )，因为点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称，∴⎩⎨⎧
y
x －1·
b ＝－1，b ·x ＋12－y
2＋b ＝0.
消去x 得y ＝4b
b 2＋1
.
∵离心率e ∈⎣⎡⎦
⎤12，3
2，∴14≤e 2≤34，
即14≤1a 2≤34.∴4
3≤a 2≤4. ∴43≤b 2＋1≤4，即3
3
≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1
＝4
b ＋1b
≤2，当且仅当b ＝1时取等号．
又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝3
3
时，y ＝3，
∴3≤y ≤2.
∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]． 课时规范训练 A 组
1．C 2.C 3.D 4.B 5.x ＋y －1＝0 6．2x －y －1＝0 7.x 2＋y 2＝4 (x ≠±2) 8．解 如图所示，以AB 所确定的直线为 x 轴，AB 中点O 为坐标原点建立平面直
角坐标系，则A (－5,0)，B (5,0)．设某地P 的坐标为(x ，y )，且P 地居民选择A 地购 买商品便宜，并设A 地的运费为3a 元/千米， B 地的运费为a 元/千米． ∴价格＋x A 地运费≤价格＋x B 地运费， 即3a (x ＋5)2＋y 2≤a (x －5)2＋y 2. ∵a >0，∴3(x ＋5)2＋y 2≤(x －5)2＋y 2.
两边平方，得9(x ＋5)2＋9y 2≤(x －5)2＋y 2，即⎝⎛⎭⎫x ＋2542＋y 2≤⎝⎛⎭
⎫15
42. ∴以点C ⎝⎛⎭⎫－254，0为圆心，15
4
为半径的圆是这两地购货的分界线；圆C 内居民从A
地购货便宜；圆C 外的居民从B 地购货便宜；圆C 上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等，可随意从A 、B 两地之一购货． B 组
1．A 2.D 3.A 4.x ＝32 5．y 2＝23x －19 6.x 24a 2＋y 24b 2＝1. 7．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，
∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y . (2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1 (k ≠0)，与抛物线方程联立消去y ， 得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 又易得点R 的坐标为⎝⎛⎭
⎫－2
k ，－1， ∴RP →·RQ →
＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝
⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2
k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k
2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝⎛⎭⎫k 2＋1
k 2＋8. ∵k 2＋1
k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，
∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →
的最小值为16.
8．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
x P ＝x ，y P ＝5
4y ， ∵P 在圆上，∴x 2＋(5
4y )2＝25，
即轨迹C 的方程为x 225＋y 2
16＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为4
5
的直线方程为
y ＝4
5(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
将直线方程y ＝4
5(x －3)代入C 的方程，得
x 225＋(x －3)2
25
＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.
∴线段AB 的长度为 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝4125×41＝41
5。