高三数学立体几何练习题及答案

江苏省盐城高级中学2009届高三数学立体几何周练

一．填空题

1．如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是

2

．由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 5 ．

3 cm ），可得到这个几何体的

体积是___________43

π

____3cm ．

4是不重合的平面，有下列命题： （1m （2//（3）若//,m m n α⊥，则n α⊥； （4

）若,m n αα⊥⊂，则.m n ⊥

其中所有真命题的序号是 (2)(4) ．

5．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 1345

（写出所有正确结论的编号．．

）。 ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。 6. 已知一正方体的棱长为m ，表面积为n ；一球的半径为,p 表面积为q ，若

2m p =，则n

q = π

7．给出下列四个命题：

⑴ 过平面外一点，作与该平面成θ0

(090θ<≤）角的直线一定有无穷多条；

⑵ 一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；

⑶ 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行； ⑷ 对两条异面的直线,a b ，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确命题的序号为_____24________（请把所有正确命题的序号都填上）． ８．已知三条不重合的直线两个不重合的平面，有下列命题：

①若||,m n n α⊂，则||m α；②若,l m αβ⊥⊥，且||l m ，则||αβ；③若

,,||,||,m n m n ααββ⊂⊂则||αβ；④若

,,,m n n m αβαββ⊥=⊂⊥I ，则n α⊥。其

中正确的序号为 ②④ 9.有两个相同的直三棱柱，高为

a

2

，底面三角形的三俯视图 主视图

左视图

俯视图

x

′

边长分别为)0(5,4,3>a a a a 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是

一个四棱柱，则a 的取值范围是____0

3

15

______ 10．正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BB 1=4.长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R –PQMN 的体积是 6 11．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1

中，1,EF AC EF A D ⊥⊥

则EF 和BD 1的关系是 平

行

12. 如图，正方体

ABCD —

A 1

B 1

C 1

D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是

线段B 1C

13．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB 、△PAC 、△PBC 的面积分别为1.5cm 2，2cm 2，6cm 2，

则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 26π cm 2．

14．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得

到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的__（1）（3） 二．解答题：（每题15分）

15．如图，已知正三棱柱111C B A ABC -中，12AA AB =

,点D 为11C A 的中点。

求证：（1）D AB BC 11//平面； （2）D AB C A 11平面⊥. 证明：（1）在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 连结A 1B ，设AB 1∩A 1B =O .

连结OD .△DA 1BC 1中，A 1D =DC 1，A 1O =OB ， ∴OD ∥BC 1. ∵OD ⊂平面AB 1D . BC 1⊄平面AB 1D .

∴BC 1∥平面AB 1D .

（2）在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1.

∵B 1D ⊂平面A 1B 1C 1中，D 为A 1C 1中点，∴B 1D ⊥A 1C 1. ∵AA 1∩A 1C 1=A 1，∴B 1D ⊥平面AA 1C 1C .

∴△DA 1A ∽△A 1AC . ∴∠ADA 1=∠CA 1A . ∵∠DA 1C +∠CA 1A =90°，

∴∠ADA 1+∠DA 1C =90°. ∴A 1C ⊥AD . ∵AD ∩B 1D =D ，∴A 1C ⊥平面AB 1D .

A B

C

D

D A C

B Q P

M

N R

F

B

D C

P

M 16．如图，在四棱锥P-ABCD中，

CD AC CD

AD

AB

CD

AB

AD⊥

∴

⊥,

||

,

Θa

AD=,

2

1

AB

DC

AD=

=

Θ

a

AB

a

CD2

,=

=

∴ADC

∆ο

90

=

∠ADC a

AC

DAC

DCA

DC

AD2

,

45

,=

=

∠

=

∠

∴

=οACB

∆ο

45

,

2

,

2=

∠

=

=CAB

a

AC

A

AB

a

CAB

ABCOS

AC

AB

AC

BC2

2

2=

∠

⋅

-

+

=

∴2

2

2AB

BC

AC=

+

ΘBC

AC⊥

C

PC

AC

PAC

PC

PAC

AC

PC

BC=

⋂

⊂

⊂

⊥,

,

,平面

平面

ΘM PB PAD

CM平面

||AP F.

,

,DF

FM

CM AB

FM

AB

FM

2

1

,

||=是平行四边形

四边形CDFM

∴DF

CD||

∴

PAD

DF平面

⊂

ΘPAD

CM平面

⊄PAD

CM平面

||

∴

2

1

;

EO CD

⊥3⊂FO⊄ECD ,

OG EG⊂,

EOG CD⊥,

EOG OE⊂.

EO CD

⊥

1

2

,

CD FG⊂,

CDF（1）求证：;

AC

GN⊥（7分）

（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP8分）

证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中A D⊥DF,DF=AD=DC

(1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN

又FD⊥AD FD⊥CD，

∴FD⊥面ABCD

∴FD⊥AC

∴AC⊥面FDN FDN

GN面

⊂

∴GN⊥AC

（2）点P在A点处

证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA

ΘG是DF的中点，∴GS//FC,AS//CM

∴面GSA//面FMC

∴GA//面FMC 即GP//面FMC

19．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB

上任意一点，△AEC面积的最小值是3．

（Ⅰ）求证：AC⊥DE；

（Ⅱ）求四棱锥P－ABCD的体积．

（Ⅰ）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．

因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．……………2分

又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC．

而AC∩BD＝F，所以AC⊥平面PDB．

G

O

F E

D

C

B

A

A

（第19题）

C

D

E

P

F

B