【经典】二次函数的动点问题(各类题型含答案解析)

【精编版】二次函数的动态问题

1.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，

(20)B -，，(08)E ，．

（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形

MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；

（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，

并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．

[解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，

(08)F -，．

设抛物线2C 的解析式是

2(0)y ax bx c a =++≠，

则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪

++=⎨⎪=-⎩

，，． 解得168a b c =-⎧⎪

=⎨⎪=-⎩

，，．

所以所求抛物线的解析式是2

68y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．

过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．

当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．

根据中心对称的性质OA OD

OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．

所以2ADN S S =△．

所以，四边形MDNA 的面积2

(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．

所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781

444

S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，

（04t <≤）． 所以74t =

时，S 有最大值814

． 提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．

由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形

MDNA 是矩形．

所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．

所以22420t t +-=

．解之得1222t t =，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA

可以形成矩形，此时2t =

．

[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线2

34y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线3

34y x t

=-+与x 轴交于点Q ，

点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．

（1）确定b c ，的值：__________b c ==，；

（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）：

(______)(______)(______)B Q P ，，，，，；

（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．

[解] （1）9

4

b =

3c = （2）(40)B ，

(40)Q t ， (443)P t t -，

（3）存在t 的值，有以下三种情况 ①当PQ PB =时

PH OB ⊥，则GH HB = 4444t t t ∴--= 1

3

t ∴=

②当PB QB =时 得445t t -= 4

9

t ∴=

③当PQ QB =时，如图

解法一：过Q 作QD BP ⊥，又PQ QB =

则5

22

BP BD t ==

又BDQ BOC △∽△ BD BQ BO BC ∴

=

544245t

t

-∴=

32

57

t ∴=

解法二：作Rt OBC △斜边中线OE

则5

22

BC OE BE BE ===，，

此时OEB PQB △∽△

BE OB

BQ PB

∴= 5

4

2445t t ∴=-

32

57

t ∴=

C O

C

O

解法三：在Rt PHQ △中有222

QH PH PQ += 2

2

2

(84)(3)(44)t t t ∴-+=- 257320t t ∴-= 32

057

t t ∴=

=，（舍去） 又01t <<

∴当13t =或49或32

57

时，PQB △为等腰三角形．

解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有

时需要综合运用。

代数讨论：计算出△PQB 三边长度，均用t 表示，再讨论分析

Rt △PHQ 中用勾股定理计算PQ 长度，而PB 、BQ 长度都可以直

接直接用t 表示，进行分组讨论即可计算。

[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t 值与题目中的01t <<矛盾，应舍去 3.如图1，已知直线12y x =-

与抛物线21

64

y x =-+交于A

B ，两点． （1）求A

B ，两点的坐标； （2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A

B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A

B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点

的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

[解] （1）解：依题意得216412

y x y x

⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解之得12126432x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩

(63)(42)A B ∴--，，，

图2 图1