经济预测与决策技术及MATLAB实现第9章 马尔可夫预测方法

表示：在时刻n，各状态的概率等于其初始状态的概 率与n步转移概率矩阵之积。
若链是齐次的，则有
P(n) P(0)P1n
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(8)遍历性
定义1 设马氏链{ X n , n 0 }的状态空间为 I， 若对一切i, j I ， 存在不依赖于 i 的常数 ( j) ，
使得
lim
n
p(n) ij
，则有：
p j (n 1) pi (n) pij iI
P(n 1) wenku.baidu.com(n)P1
p j (n)
pi
(0)
p(n ij
)
iI
P(n) P(0)Pn
即表明马氏链的绝对概率由其初始分布和n步转移概率完
第9章 马尔可夫预测方法
9.1 马尔可夫链基本理论 9.2 案例分析
9.2.1市场占有率预测 9.2.2 股票价格走势预测 9.2.3 加权马氏链法预测证券指数走势 9.2.4 期望利润预测
9.1 马尔可夫链基本理论
9.1.1马尔可夫链基本概念 （1）马尔可夫链
设随机过程{ X (t) ,t T }，
kn j
k1, ,knI
（2） n 步转移矩阵Pn 与一步转移矩阵P1 之间的关系
Pn P1n
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注
（3） pn ( j) P{X n j} 为元素的行矩阵记为 P(n) ( pn (1), pn (2), , pn (N )) I={1，2，…，N}
由矩阵的乘法规则，得
P(n) P(0)Pn
其中时间 T={0,1,…}，状态空间 I={0,1,2,…}，
若对任一时刻 n，以及任意状态i0 ,i1, ,in1,i, j ，有
P{X (n 1) j | X (n) i, X (n 1) in1, , X (1) i1, X (0) i0}
P{X (n 1) j | X (n) i}
i0
则称 ( j) 为平稳分布 。
9.1.2马尔可夫链预测原理 1．马氏链近期预测原理
9.1.2马尔可夫链预测原理 1．马氏链近期预测原理
定理1 设{Xn}为一个齐次马氏链，其状态空间为I，
绝对概率为 P(n) ( p1(n), p2 (n),L , pN (n)}
n步转移概率为
p(n) ij

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(4)齐次马氏链
如果马氏链的一步转移概率 pij (n) 与 n 无关，
即 P{X n1 j | X n i} pij
则称此马氏链为齐次马氏链（即关于时间为齐次）
(5)初始分布 设 p0 (i) P{X 0 i} ，i I ，
如果对一切i I 都有
p0 (i) 0 p0 (i) 1 iI
P1


pn0 (n)


pn1 (n)





有限马氏链 状态空间I={0，1，2，…，k}
p00 (n)
P1


p10 (n)

pk
0
(n)
p01(n) p11(n)
pk1(n)
p0k (n)
p1k
(n)


pkk
(n)
则称{ X (t) ,t T }为一个马尔可夫链（或马氏链）
简记为{ X n ,n 0 }
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注:
表明 X (t) 在时刻 n +1 的状态 X (n 1) j 的概率分布 只与时刻 n 的状态X (n) i 有关， 而与以前的状态 X (n 1) in1 ，…， X (0) i0 无关。
系统在时刻m从状态i经过n步转移后处于状态j的概率
P{X mn j | X m i} i. j I
称为n步转移概率
由于马氏链是齐次的，这个概率与m无关
所以简记为
p(n) ij
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显然有
p ( n) ij

0，
p(n) ij
1 ，i. j I
jI
2)n步转移矩阵
由所有 n 步转移概率pi(jn) 为元素组成的矩阵
(
j)
则称此马氏链具有遍历性
其中
p(n ij
)
是马氏链的
n
步转移概率
马氏链的 遍历性表明
不论从哪一个状态i出发，当转移的
步数n充分大时，转移到状态j的概率
都接近于正常数 ( j)
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(9)平稳分布
给转移概率P，若存在一个概率分布中的 ( j)
s
有
( j) (i) pij j =0，1，2，…，s
即 p (i) P{X n i} ，i I ，n 0
则称{ pn (i) ，i I }为马氏链{ X n , n 0 }的定态分布 首页
(7) n步转移矩阵
在马氏链的研究中，须研究“从已知状态i出发， 经过n次转移后，系统将处于状态j”的概率.
1)n步转移概率
设{ X n , n 0 }为齐次马氏链，其状态空间为 I，
(2)一步转移概率
马氏链在时刻n处于状态 i 的条件下， 到时刻n+1转移到状态 j 的条件概率，
即 P{X n1 j | X n i}
称为在时刻n的一步转移概率，记作 pij (n)
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注:
由于概率是非负的，且过程从一状态出发，经过一步 转移后，必到达状态空间中的某个状态
一步转移概率满足
（1） pij (n) 0 , i, j I
（2） pij (n) 1 , i I jI
(3)一步转移矩阵 如果固定时刻n T
则由一步转移概率为元素构成的矩阵P1 ：
称为在时刻n的一步转移矩阵
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即 有
p00 (n)

p10
(n)
p01(n)
p11 (n)


Pn

(
p(n) ij
)
i. j I
称为n步转移矩阵
规定
P0

(
p(0) ij
)

1，当i 0，当i

j j
P1

(
p(1) ij
)

(
pij
)
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注
（1）用一步转移概率表示多步转移概率
p ( 2 ) ij

pik pkj
kI
p(n1) ij

p p p ik1 k1k2
称 p0 (i) 为马氏链的初始分布
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注 马氏链在初始时刻有可能处于I中任意状态，初始分布 就是马氏链在初始时刻的概率分布。
(6)绝对分布 概率分布
pn (i) P{X n i} ，i I ，n 0
称为马氏链的绝对分布或称绝对概率
定态分布 若绝对分布 pn (i) 与 n 无关，