相似三角形之基本模型

相似三角形之基本模型（导学案）

知识过关

1. 请证明以下结论：

①如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，求证：△ADE ∽△ABC ． ②如图2，在△ABC 中，∠B =∠AED ，求证：△AED ∽△ABC ． ③如图3，在△ABC 中，∠B =∠ACD ，求证：△ACD ∽△ABC ．

④如图4，直线AB ，CD 相交于点O ，连接AC ，BD ，且AC ∥BD ，求证：△AOC ∽△BOD ． ⑤如图5，直线AB ，CD 相交于点O ，连接AC ，BD ，∠B =∠C ，求证：△AOC ∽△DOB ． ⑥如图6，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，求证：△ADB ∽△CDA ，△ADB ∽△CAB ．

图1 图2 图3

图4 图5 图6

2. 比较下题两种不同的证明方法，并填空．

如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE

的延长线交AC 于点F ．

求证：∠AEF =∠EAF ．

方法1：（倍长中线） 如图，延长AD 到G 使DG =AD ，连接BG ．

∵D 是BC 边的中点

∴BD =CD

∵AD =GD ，∠1=∠2

∴△ADC ≌△GDB （SAS ）

∴AC =BG ，∠3=∠G

∵AC =BE ∴BE =BG ∴∠G =∠4

又∵∠3=∠G ，∠4=∠5 ∴∠3=∠5

即∠AEF =∠EAF 方法2：（作平行线）

如图，过点B 做BG ∥AC ，交AD 延长线于点G ．

C B B

C

D E A

D

A E

D

A

A B D D E

C B

A A

B O D B A C

C A

O

D

B O

C D

A

B

A

D B

C F E D

C

A

21F E D C B A G 35

4

AD 是Rt △ABC

斜边上的高 ∵D 是BC 边的中点

∴BD =CD

∵BG ∥AC

∴∠3=∠G

∵∠1=∠2 ∴△ADC ≌△GDB （AAS ）

∴AC =BG ∵AC =BE

∴BE =BG

∴∠G =∠4

又∵∠3=∠G ，∠4=∠5 ∴∠3=∠5

即∠AEF =∠EAF

相同点：倍长中线和作平行线都是构造了三角形全等．

不同点：倍长中线的方法是利用SAS 证明，实质是构造了一组对应边相等；作平行线的方法是利用_____证明，实质是构造了一组_____相等．

1. 六种相似基本模型：

DE ∥BC ∠B =∠AED ∠B =∠ACD

A 型

2. 射影定理： 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________；由_____________，得______________，即_______________．

3. 借助相似整合信息的通常思路：

利用相似时，往往可以将_______________等信息组合搭配在一起进行研究，并能实现三类信息之间的转化，进而达到整合信息、解决问题的目的．

为了借助相似实现_______________等条件的综合应用，往往会通过___________或作_________的方式来构造相似模型．

C

B

B

C

D E A

D

A

E D A

A

D B C

O

D

B

A

C

C

A

O D B

X 型 母子型 ∠B =∠C

AC ∥BD C B D A

2

1F E

D C B A G 35

4

构造相似模型是我们整合多个比例信息时常用的一种手段． 4. 影子上墙：

______________、______________、______________是影子上墙时的三种常见处理方式，它们的实质是构造三角形相似．

➢ 精讲精练

1. 如图，在△ABC 中，EF ∥DC ，∠AFE =∠B ，AE =6，ED =3，AF =8，则AC =_________，CD

BC

=_________．

第1题图 第2题图 2. 如图，AB ∥CD ，线段BC ，AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF =∠C ，其中AF =6，

DF =3，CF =2，则AE =_________． 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，BD =2，AD =8，则CD =_________，AC =_________，

BC =________．

第3题图 第4题图

4. 如图，M 为线段AB 上一点，AE 与BD 交于点C ，∠DME =∠A =∠B =α，且DM 交AC 于点F ，

ME 交BD 于点G ．请写出图中的相似三角形_________________________________

________________________________________.（至少两对）

5. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，

连接BE 交AC 于点F ，连接FD ．若∠BF A =90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有

_____________（填写序号）．

6. 如图，P 为□ABCD 的对角线AC 上一点，过P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线、AB 的延长线分别

交于点E ，F ，G ，H ．

F

E D C

B A

B

C D

E F A D C

A B

C

D

E F G

M

O F

E D

C

B A