附录I截面的几何性质

I x I x
ix
Ix A
——惯性半径
注意：[ ix ]=[ L ]；常用单位: cm。
四、简单截面的惯性矩计算 （是指对通过截面形心的对称轴的惯性矩计算）
1. 矩形截面 y
dy
y
h
C
x
b
I x
y2dA
A
dA bdy
h
h
Ix
2 h
y 2bdy
b
2 h
y 2dy
2
2
bh3 I x 12
o
该薄板平面图形的形心。 x
xc
xdA
A
Sy
AA
yc
A ydA Sx AA
Sx yc A 静矩的另一计算方法
S y xc A
y
yc
静矩的计算方法：
x
dA
xc C
xc
y
yc
A
o
x
Sx
ydA
A
①
Sy
xdA
A
Sx yc A
②
S y xc A
说明：截面图形对形心轴的静矩等于零。 （截面图形对某一轴的静矩若等于零，则该轴必 通过截面的形心。）
A yc2dA
b2dA 2b
A
A yc
dA
o
I xc b2 A
x
S xc 0
即
I x I xc b2 A
I y I yc a2 A
平行移轴公式
I xy I xcyc abA 注意：a、b的正负号。
二、组合截面的惯性矩和惯性积的计算
n
I x I xi i 1 n
I y I yi i 1
一、惯性矩 y
y2dA —微面积dA对x轴的轴惯性矩
x
dA
I x
y2dA
A
o
y A
截面A对x轴的轴惯性矩
I y
x 2dA
A
x
截面A对y轴的轴惯性矩
IP
2dA —截面A对O 点的极惯性矩
A
注：轴惯性矩简称轴惯矩，又称为截面的二次轴矩
●轴惯性矩与极惯性矩之间的关系
y
2 x2 y2
x
dA
IP
2dA
A
x2 y2 dA
A
y A
IP Ix Iy
o
x
表明：截面对其所在平面内任一点的极惯性矩等 于此截面对通过该点的一对正交坐标轴的
轴惯性矩之和。
二、惯性积 y
x
dA
I xy
xydA
A
截面A对x、y轴的惯性积
o
注意：
y
A
① Ix、Iy和Ip永为正； Ixy可
x 为正，可为负，也可为零。
y
yc
xc
x
dA
已知截面的形心C(a,b)，过形 心C建立一个与原坐标系平行
的坐标系xcCyc如图：
aC
yc
y
xc
b
A
x xc a y yc b
o
x
Ix
y2dA
A
A
2
yc b dA
y
yc
Ix
y2dA
A
A
2
yc b dA
xc
x
dA
aC
yc
y
xc
b
A
A yc2 2byc b2 dA
Ix IxΙ IxΠ
x
16 20 12
3
32
16 20
yc=130
1216 12
3
52
1216
x′ 4651cm4
y
Ⅰ C (xc,yc)
Ⅱ
Iy IyΙ IyΠ
2016 3 1612 3
x
12
12
yc=130 4523cm4
200 160
20
20 x′
② [ Ix、 Iy、Ip、Ixy ]=[ L4 ]；常用单位: cm4。
③ 如果截面有一对称轴，那么对包含于这一对称 轴的正交坐标轴的惯性积为零。
三、惯性半径
dA A y ix
x 即
Ix ix2A
I x
y2dA
A
A Ix A ix2dA ix2 A dA ix2 A
可调整 ix 的大小，使
200 160
Ⅰ C (xc,yc)
Ⅱ
20
20
160
2.求形心坐标 xc， yc
xc 0
x
yc
yc=130
yc1 A1 yc2 A2 A1 A2
1016 20 81216
16 20 1216
x′ 13cm
3.过形心作水平坐标轴x
200 160
y
Ⅰ C (xc,yc)
Ⅱ
20
20
160
4.求 Ix 和 Iy
2.求坐标 xc， yc
xc 0
60 Ⅱ
20
C (xc,yc)
30
60
x
n
yc
yci Ai
i 1 n
Ai
yc1 A1 yc2 A2 A1 A2
i 1
50 20 60 10 20 60 30mm 20 60 20 60
● 求截面图形的形心
分割法 负面积法
负面积法
§I-2 惯性矩 ·惯性积 ·惯性半径
n
I xy I xyi i 1
例2.求截面对通过形心的水平及垂直坐标轴的惯性矩。
20
y
Ⅰ
解：1.建立参考坐标x′y
2.求形心坐标 xc， yc
xc 0
60 Ⅱ
20
C (xc,yc)
x yc=30
60
x′
yc
yc1 A1 A1
yc2 A2 A2
526126 26 26
3cm
3.过形心作水平坐标轴x
材料力学
附录I 截面的几何性质
§I-1 截面的静矩和形心位置 §I-2 惯性矩 ·惯性积 ·惯性半径 §I-3 平行移轴公式 §I-4 转轴公式
§I-1 截面的静矩和形心位置
一、静矩 y
ydA —微面积dA对x轴的静矩
x
dA
Sx
ydA来自百度文库
A
o 注意：
y A
x
面积A对x轴的静矩
Sy
xdA
A
面积A对y轴的静矩
20
y
Ⅰ
60 Ⅱ
C (xc,yc)
4.求 Ix 和 Iy
Ix IxΙ IxΠ
2 63 12
22
2
6
6 23 12
22
2
6
x 136cm4
20
yc=30 I y I yΙ I yΠ
60
x′
6 23 263
12 12
40cm4
例3.求截面对通过形心的水平及垂直坐标轴的惯性矩。
y
解：1.建立参考坐标x′y
三、组合截面的静矩计算
y
xc C(xc,yc)
n
n
Sx Sxi yci Ai
i 1
i 1
n
S x yc Ai
i 1
yc
n
yci Ai
n
xci Ai
o
x
yc
i 1 n
Ai
xc
i 1 n
Ai
i 1
i 1
组合截面形心的确定式
例1. 求截面图形的形心。
y 20
Ⅰ
解：1.建立参考坐标xy
同理
hb 3 I y 12
2. 圆形截面 y
3. 圆环形截面 y
C
x
d
C
x
D
IP Ix Iy
1
D4
I x I y 2 IP 64
D
同理
Ix
Iy
1 2 IP
D4
64
14
其中： d
D
4. 常用型材的截面的几何性质 查：附录Ⅲ 型钢规格表
§I-3 平行移轴公式
一、平行移轴公式
① 静矩是对一定的轴而言，同一截面对不同的轴静 矩不同，静矩可为正，可为负，也可为零。
② 静矩的量纲:[ S ]=[ L3 ]。常用单位: cm3。
二、 形心（平面图形的几何中心）
y
由静力学可知：
均质平面薄板的重心公式
x
dA
xc C
y
yc
A
xdA
ydA
xc
A
A
yc
A
A
均质平面薄板的重心也是