附录I截面的几何性质
附录Ⅰ常见截面的几何性质PPT课件
IP
2dA;
A
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
实心圆截面：
IP
D 2
2
2dA
D4
;
0
32
空心圆截面：
IP
D4
32
(1 4 );(
d) D
二、惯性矩(转动惯量）：
定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为： y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：
I
Iz
z A
bh3 12
y 2 dA; ; Iy
Iy h b3
; 12
z 2 dA;
A
圆形截面：I y
Iz
D4
64
;
几何关系：
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
四、惯性积：
I zy
z y dA;
A
五、平行移轴公式：
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
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;
Ai
i 1
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072m2, y1 2.46m; A2 0.48m2, y2 1.2m;
y若c 分A解1Ay1为1 １AA22、y2 ２ 、0.0３72三0.02个.742矩6形00.4.，488则1.2 1.36m;
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小结
一、静矩： Sz A y dA A yc ;
Sy
z
A
dA
材料力学 附录_2
267 104 mm4
附录I 截面的几何性质
于是有组合截面对于两主轴x轴和y轴的惯性矩分别为
I x I x1 2 I x2 3690 10 4 mm 4 2 2110 10 4 mm 4 7910 10 4 mm 4 I y I y1 2 I y2 431 10 4 mm 4 2 267 10 4 mm 4 965 10 4 mm 4
附录I 截面的几何性质
解：将原平面图形分成上中下三个矩形。过形心建立参考坐标 系
40 53 5 603 I x 2I x1 I x2 2 40 5 27.52 12 12 y 4 4 393333 mm 39.33cm I y 2 I y1 I y2
I yC 218.415 cm 形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm 等边角钢截面
4
A 20.30 cm 2 I xC I yC 149.22 cm 4
形心位置如图所示
附录I 截面的几何性质
组合截面的形心C在对 称轴x上。以两个角钢截面的 形心连线为参考轴,只需求组 合截面形心C以该轴为基准 的横坐标 x ：
a
x
附录I 截面的几何性质
例题
图示组合截面由一个 25c号槽钢截面和两个 90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面组成。 试求此截面分别对于形 心轴x和y的惯性矩Ix 和 Iy 。
附录I 截面的几何性质
解: 1. 求组合截面的形心位置
由型钢规格表查得：25c号槽钢截面 A 44.91cm 2， I xC 3 690.45 cm4
I x1 y1 dA
2 A
x1 x cos y sin y1 x sin y cos
附录 截面的几何性质(材料力学)
b b( y ) ( h y ) h
b(y )
S x A y d A 0
b bh2 (h y ) y d y h 6
h
dy
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 试确定图示截面心 C 的位置。 解：将截面分为 1，2 两个矩形。 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合 y
10
1
x1
C( y, x )
y1
o
2
y2
10
x2
80
x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
思考： 求下图所示截面的形心位置
50
10 A1
z
60
A2
10
y
12
yc1 A1 yc 2 A2 yc A1 A2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 半径为r的半圆：求半圆的形心。 解 在距 z 轴任意高度 y 处取狭长条 作为微面积，即
分别称为截面图形对于z轴和y 轴的惯性矩。 惯性矩的数值恒为正，常用单位为m4 。
14
dA
y x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
二、极惯性矩
y
I p 2 dA
A
称为截面图形对O点的极惯性矩。
x
dA y x
2 x2 y 2
I p 2dA x 2 y 2 dA x 2dA y 2dA I y I x
A
y
z y A o
A
A
y
dA z
y
ydA S A z A A
求静矩的另一公式：
Sy x A
5
Sx y A
截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
材料力学 第五版 附录I 截面的几何性质+习题答案
附录I 截面的几何性质 习题解[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=（b ）解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=（d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2半圆对x 轴的静矩为：32)]0cos (cos [3]cos []3[sin 33003002r r x d dx x S r rx =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰πθθθππ因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π34ry c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ） 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边上 4 左 225000 右22500014000123.646.4Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai(b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置矩形 Li Bi AiYciAiYci Yc Xci AiXci Xc 下 16 0 80 128000 左9 00 5 45002500 575002313250053Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai(c)习题I-3(c): 求槽形与L 形组合截面的形心位置型钢号 Ai(cm2) Yci(cm ) AiYci(cm3) Yc(cm ) Xci(cm ) AiXci(cm3) Xc(cm ) 槽钢20 32.837 10 328.37 -1.95 -64.03 等边角钢80*1015.126 2.35 35.546 2.35 35.54647.963363.927.6-28.49-0.6Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。
材料力学附录I-1
I.2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 2. 惯性矩
x 2 d A A I x y 2 d A A Iy
称为整个截面对y轴或x轴的惯性矩，亦称面积对轴 的二次矩，常用单位为m4或mm4。
图 I-5
I p 2 d A x2 d A y 2 d A I y I x
A A A
上式表明平面图形对任意两个互相垂直的轴的惯性矩之和等于该图 形面积对两轴交点的极惯性矩。 平面图形对过同一原点的任意两个互相垂直的轴的惯性矩之和是一个常量。
3. 惯性积
I xy
xy d A
A
称为整个截面图形A对x、y轴的惯性积。惯性积是对一对正交轴定义的，
因此也是面积的二次矩，可正、可负也可能为零，常用单位为m4或mm4。 若x、y轴中有一个轴为截面的对称轴，则整个截面对两轴的惯性积恒 等于零。可以证明，在对称轴两侧对称位置处的微面积对于两轴的惯性积 数值相等而符号相反，因此整个截面对两轴的惯性积必然等于零。若x、y 轴都为对称轴，则整个截面对两轴的惯性积自然为零。
S x S x I S xII
图 I-4 例题I-3图
由 S x I S xII 0 ，可得
S x I S xII
I.2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 1. 极惯性矩
I p 2 dA
A
定义为整个截面对O点的极惯性矩。 极惯性矩的数值恒为正，常用单位为m4或mm4。
图 I-5
S x y d A y d A1 y d A2 A A1 A2 S y x d A x d A1 x d A2 A A1 A2
或
S x yC A yC1 A1 yC 2 A2 yCi Ai i 1 n S y xC A xC1 A1 xC 2 A2 xCi Ai i 1
深度完美xpv附录Ⅰ
反移轴公式
(1)两对平行轴中必须有一对为形心轴。
(2)在应用惯性积平行移轴公式时，注意a、b 旳正负号。
求 I y1、Iz1、I y1z1
b z1
I y1
Iy
b 2
2
bh
hb3 hb3 12 4
h
C
z
hb3 3
y1
y
I z1
Iz
h 2
2
bh
bh3 bh3 12 4
bh3 3
（I-7）
（I-7）式表白：
任意截面对其所在平面内任一点旳极
惯性矩Ip，等于该截面对过此点旳一 对正交坐标轴旳惯性矩之和。
O
z
y
z dA
y
o
A
z1 z
y y1
I p I z I y I z1 I y1
四、常用截面惯性矩公式
例I-4 求矩形截面对其对称轴z和y轴旳惯性矩
解：
dA bdy
Iz
I y1z1
I yz
b 2
h 2
bh
0 b2h2 4
b2h2
4
例I-6 求图示截面对形心轴y、z旳惯性矩。
解：(1) 计算三部分对y、z 轴旳惯性矩
h
4
I yI
hb3 12
I zI
bh3 12
h 4
h
I yII
I yIII
d4
64
4 h
I zII
I zIII
d4
64
h 4
2
d 4
y2dA
A
h/ 2 by2dy bh3
h/2
12
h
即
Iz
材料力学 截面的几何性质
O1 O 2
O
x
O3
x 1
C
课堂练习
I.
&
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
B
A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴 在图示开口薄壁截面图形中，当（ 为一对主轴。
y
）时，y-z轴始终保持
A. y轴不动，x轴平移； B. x轴不动，y轴平移； C. x轴不动，y轴任意移动；
y b C 1x C 2x O a x
æ 1 öæ 2 ö æ 1 öæ h ö = ç bh ÷ç h ÷ + ç ah ÷ç ÷ è 2 øè 3 ø è 2 øè 3 ø
h 2 = (a + 2 b ) 6
形心位置
h
x = 0
h 2 (a + 2 b ) h a + 2 b S x y = = பைடு நூலகம்· = 6 A h 3 a + b (a + b ) 2
主惯性矩:
图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩
形心主轴:
过形心的主轴称为形心主轴
形心主矩:
图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩
课堂练习
I.
&
在下列关于平面图形的结论中，（
）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零； D.使静矩为零的轴必为对称轴。 在平面图形的几何性质中，（
y
dA y
ü2、惯性矩和极惯矩永远为正，
惯性积可能为正、为负、为零。
x 1
ü3、任何平面图形对于通过其形
材料力学 附录 截面的几何性质
(Properties of Plane Areas) 三、组合截面的静矩和形心 (The first moments ¢roid of a composite area)
由几个简单图形组成的截面称为组合截面.
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截 面对于同一轴的静矩.
(Properties of Plane Areas)
§1-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of
an area)
一、静矩(The first moment of the area ）
截面对 y , z 轴的静矩为
z
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
dA z
静矩可正，可负，也可能等于零.
1
矩形 2
A2 10 80 800mm2
y2
10
80 2
50mm
z2 5mm
所以 y A1 y1 A2 y2 23mm A1 A2
z A1z1 A2z2 38mm A1 A2
y1
z1
2 z2
10
O y2
y
90
(Properties of Plane Areas)
方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
yC , zC￣ 过截面的形心 C 且与 y, z轴平行
的坐标轴(形心轴）
z
Iy , Iz , Iyz — 截面对 y, z 轴的惯性矩和惯性积.
zC
IyC , IzC , IyCzC￣ 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩
n
Ai zi
z
附录I-截面几何性质-习题答案
习题I −1 试求平面图形的形心位置。
解：由对称 m 3.0c =z m 357.02.04.04.02.02.06.07.02.04.04.04.02.01.02.06.0c =⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=y解：m 093.04.01.01.03.005.04.01.015.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=z m 193.04.01.01.03.03.04.01.005.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=yI −2 试求平面图形的形心坐标。
解：O(c)(a)z(b)l n n dzz zdzz z lnln2100c ++==⎰⎰()2c +=-=⎰⎰n ldzz ydyy l y nlnl n n解：由对称 r z =cπππ342322223222cr rr rydyy ry r==-=⎰I −3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。
（图中C 为截面形心）解：3c **mm 24000302040=⨯⨯==y A S zzO(d)(a)(b)解：3c **mm 422505.322065=⨯⨯==y A S zI −4 求以下截面对z 轴的惯性矩。
（z 轴通过截面形心） 解：()64646442414241d d d d I z -=-=πππ解：12121242414241a a a a I z -=-=I −5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。
解： 432bh y bdy h y I hz =⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎰I −6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。
其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。
(a)a(b)C解： 444m 3927.06422164211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππd I z由（I-2）知z 1、 z 0之间的距离π34cr y =所以由2c1Ay I I z z += 得 4222cm1098.0314213927.01=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯-=-=ππAy I I z z于是 4222m30.33141211098.00=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+=+=ππAaI I z zI −7 在直径D =8a 的圆截面中，开了一个2a ×4a 的矩形孔，如图所示。
附录Ⅰ 截面的几何性质
z0
z z
y0
0
O
2
y
I I
y
I z 4 I yz
2
I min
y
I z 4 I yz
2 2
三、形心主惯性轴，形心主惯性矩
特殊地：若坐标原点即为图形的形心 此时的主惯性轴称为形心主惯性轴 主惯性矩称为形心主惯性矩 形心主轴 形心主矩
y1
y
y1
dA
z α
z1
y1
α
y
O
z1
z
y1
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
y αz
dA
z1
y1
α y
I y1
A
z1 dA
2 2 2
z cos y sin 2 dA A
2 2 A
O
cos z dA sin y dA 2 sin cos yzdA
一、转轴公式 二、主惯性轴，主惯性矩 三、形心主惯性轴，形心主惯性矩
一、转轴公式
I 已知：I y ， z ，I yz ，α
求： I y , I z , I y
1 1
1 z1
z
z1
解： α 从老轴y转至新轴 逆时针转向为正
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
已求得 I y , I z , I y z
1 1 1 1
z1
1 1
z
y1 y
我们最感兴趣的是 I y , I z 取极值的情况。 由： 得：
附录1 截面的几何性质概论
一、惯性矩和惯性积的
y
转轴公式
y1
x1
dA y1
x1
x1 x cos y sin
y1
x
sin
y
cos
y
C
E
D
oxB
x
I x1 A y12dA
x1 y1
x cos y x sin
s y
in cos
(x sin y cos)2dA A
I y sin2 Ix cos2 Ixy sin 2
形心位置为 “+” 。
y
10
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
120 10
负面积 C2 C1
80
图(b)
C1（0,0） C2（5,5）
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
5(70110) 20.3 1208070110
y
yi Ai
y 1
A1
y 2
A2
A
A1 A2
5(70110) 20.3
A
y 三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
Ixy xydA
A
如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0
x d yA
x
例：计算矩形截面对x，y轴的
惯矩 y
Ix y2dA
A
h
2 h
2
by2dy
bh3 12
x
I y x2dA
A
b
2 b
2
hx2dx
b3h 12
Ixy 0
附录 I§1-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
附录I 截面的几何性质
8附录I-截面的几何性质
y dA
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
I y A x d A
2
I x A y d A
2
y
由于 y x
2 2
（为正值，单位m4 或
2
mm4)
O
x
x
2 2 2 d A ( y x ) d A Ix Iy I 所以 p A A
（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原 点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）
（4）整个截面对于对称轴x的惯性矩：
I x I x1 2 I x 2 5333 104 2 3467 104 12270 104 mm4
§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
任意面元dA 在旧坐标系oxy 和新坐标系ox1y1的关系为：
B
a
D
Ip
πd 4 Iz Iy 2 64
§-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
组合截面的惯性矩和惯性积
1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C 为其形心， Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为 Oxy , 形心 C 在 y Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元 dA 在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
A dA
x1 x cos y sin
y
E
C
y1 y cos x sin
代入惯性矩的定义式：
D
O
x
B
x
I x1 y d A
A 2 1
材料力学-截面几何特性
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
材料力学 附录Ⅰ截面的几何性质
材料力学附录Ⅰ截面的几何性质随着材料科学的不断发展，材料力学成为研究材料内部结构和力学行为的重要学科之一。
在材料力学中，研究截面的几何性质是必不可少的一部分。
本文将着重介绍截面几何性质的相关知识，探讨其在材料力学中的应用。
一、截面的定义截面是指在任意平面上与某个物体相交的部分，一般用于描述杆件、梁、板等结构物体的断面形态。
材料力学中，截面的几何参数是研究杆件、梁、板等结构物体受力行为的重要基础。
二、常见截面形状和特征常见的截面形状包括矩形、圆形、三角形、梯形、T形等。
其几何参数如截面面积、惯性矩、位置矩、受压、受弯等，均是描述结构物体受力行为的重要指标。
对于矩形截面来说，其惯性矩最大的方向是短边方向，即截面中心距离短边较远的一侧。
圆形截面的惯性矩与位置矩均与截面对称轴有关。
对于三角形截面来说，其惯性矩与位置矩也是与截面对称轴有关的，而梯形截面和T形截面的惯性矩和位置矩则需要具体计算得出。
三、截面的常见计算公式在计算截面的几何性质时，需要用到一些公式。
以下是一些常见的公式：1、截面面积截面面积是截面内部曲线及其间距离所组成的面积。
不同截面形状的截面面积计算公式如下：矩形截面：A = bh圆形截面：A = πr²三角形截面：A = 1/2bh梯形截面：A = 1/2(a+b)hT形截面：A = (bh₁+ (b₂-h₂)h₂/2)2、截面惯性矩截面惯性矩是描述结构物体受弯作用时截面抵抗弯曲的能力的重要参数，其计算公式如下：Ixx = ∫(y²)dAIyy = ∫(x²)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
3、位置矩位置矩是描述结构物体受纵向荷载作用时截面的抵抗能力的参数，其计算公式如下：Qx = ∫(y)dAQy = ∫(x)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
四、截面几何性质在材料力学中的应用截面几何性质在材料力学中具有广泛的应用。
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三、组合截面的静矩计算
y
xc C(xc,yc)
n
n
Sx Sxi yci Ai
i 1
i 1
n
S x yc Ai
i 1
yc
n
yci Ai
n
xci Ai
o
x
yc
i 1 n
Ai
xc
i 1 n
Ai
i 1
i 1
组合截面形心的确定式
例1. 求截面图形的形心。
y 20
Ⅰ
解：1.建立参考坐标xy
200 160
Ⅰ C (xc,yc)
Ⅱ
20
20
160
2.求形心坐标 xc， yc
xc 0
x
yc
yc=130
yc1 A1 yc2 A2 A1 A2
1016 20 81216
16 20 1216
x′ 13cm
3.过形心作水平坐标轴x
200 160
y
Ⅰ C (xc,yc)
Ⅱ
20
20
160
4.求 Ix 和 Iy
dA
IP
2dA
A
x2 y2 dA
A
y A
IP Ix Iy
o
x
表明：截面对其所在平面内任一点的极惯性矩等 于此截面对通过该点的一对正交坐标轴的
轴惯性矩之和。
二、惯性积 y
x
dA
I xy
xydA
A
截面A对x、y轴的惯性积
o
注意：
y
A
① Ix、Iy和Ip永为正； Ixy可
x 为正，可为负，也可为零。
y
yc
xc
x
dA
已知截面的形心C(a,b)，过形 心C建立一个与原坐标系平行
的坐标系xcCyc如图：
aC
yc
y
xc
b
A
x xc a y yc b
o
x
Ix
y2dA
A
A
2
yc b dA
y
yc
Ix
y2dA
A
A
2
yc b dA
xc
x
dA
aC
yc
y
xc
b
A
A yc2 2byc b2 dA
材料力学
附录I 截面的几何性质
§I-1 截面的静矩和形心位置 §I-2 惯性矩 ·惯性积 ·惯性半径 §I-3 平行移轴公式 §I-4 转轴公式
§I-1 截面的静矩和形心位置
一、静矩 y
ydA —微面积dA对x轴的静矩
x
dA
Sx
ydA
A
o 注意：
y A
x
面积A对x轴的静矩
Sy
xdA
A
面积A对y轴的静矩
A yc2dA
b2dA 2b
A
A yc
dA
o
I xc b2 A
x
S xc 0
即
I x I xc b2 A
I y I yc a2 A
平行移轴公式
I xy I xcyc abA 注意：a、b的正负号。
二、组合截面的惯性矩和惯性积的计算
n
I x I xi i 1 n
I y I yi i 1
同理
hb 3 I y 12
2. 圆形截面 y
3. 圆环形截面 y
C
x
d
C
x
D
IP Ix Iy
1
D4
I x I y 2 IP 64
D
同理
Ix
Iy
1 2 IP
D4
64
14
其中： d
D
4. 常用型材的截面的几何性质 查：附录Ⅲ 型钢规格表
§I-3 平行移轴公式
一、平行移轴公式
o
该薄板平面图形的形心。 x
xc
xdA
A
Sy
AA
yc
A ydA Sx AA
Sx yc A 静矩的另一计算方法
S y xc A
y
yc
静矩的计算方法：
x
dA
xc C
xc
y
yc
A
o
x
Sx
ydA
A
①
Sy
xdA
A
Sx yc A
②
S y xc A
说明：截面图形对形心轴的静矩等于零。 （截面图形对某一轴的静矩若等于零，则该轴必 通过截面的形心。）
一、惯性矩 y
y2dA —微面积dA对x轴的轴惯性矩
x
dA
I x
y2dA
A
o
y A
截面A对x轴的轴惯性矩
I y
x 2dA
A
x
截面A对y轴的轴惯性矩
IP
2dA —截面A对O 点的极惯性矩
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注：轴惯性矩简称轴惯矩，又称为截面的二次轴矩
●轴惯性矩与极惯性矩之间的关系
y
2 x2 y2
x
② [ Ix、 Iy、Ip、Ixy ]=[ L4 ]；常用单位: cm4。
③ 如果截面有一对称轴，那么对包含于这一对称 轴的正交坐标轴的惯性积为零。
三、惯性半径
dA A y ix
x 即
Ix ix2A
I x
y2dA
A
A Ix A ix2dA ix2 A dA ix2 A
可调整 ix 的大小，使
20
y
Ⅰ
60 Ⅱ
C (xc,yc)
4.求 Ix 和 Iy
Ix IxΙ IxΠ
2 63 12
22
2
6
6 23 12
22
2
6
x 136cm4
20
yc=30 I y I yΙ I yΠ
60
x′
6 23 263
12 12
40cm4
例3.求截面对通过形心的水平及垂直坐标轴的惯性矩。
y
解：1.建立参考坐标x′y
① 静矩是对一定的轴而言，同一截面对不同的轴静 矩不同，静矩可为正，可为负，也可为零。
② 静矩的量纲:[ S ]=[ L3 ]。常用单位: cm3。
二、 形心（平面图形的几何中心）
y
由静力学可知：
均质平面薄板的重心公式
x
dA
xc C
y
yc
A
xdA
ydA
xc
A
A
yc
A
A
均质平面薄板的重心也是
I x I x
ix
Ix A
——惯性半径
注意：[ ix ]=[ L ]；常用单位: cm。
四、简单截面的惯性矩计算 （是指对通过截面形心的对称轴的惯性矩计算）
1. 矩形截面 y
dy
y
h
C
x
b
I x
y2dA
A
dA bdy
h
h
Ix
2 h
y 2bdy
b
2 h
y 2dy
2
2
bh3 I x 12
2.求坐标 xc， yc
xc 0
60 Ⅱ
20
C (xc,yc)
30
60
x
n
yc
yci Ai
i 1 n
Ai
yc1 A1 yc2 A2 A1 A2
i 1
50 20 60 10 20 60 30mm 20 60 20 60
● 求截面图形的形心
分割法 负面积法
负面积法
§I-2 惯性矩 ·惯性积 ·惯性半径
Ix IxΙ IxΠ
x
16 20 12
3
32
16 20
yc=130
1216 12
3
52
1216
x′ 4651cm4
y
Ⅰ C (xc,yc)
Ⅱ
Iy IyΙ IyΠ
2016 3 1612 3
x
12
12
yc=130 4523cm4
200 160
20
20 x′
n
I xy I xyi i 1
例2.求截面对通过形心的水平及垂直坐标轴的惯性矩。
20
y
Ⅰ
解：1.建立参考坐标x′y
2.求形心坐标 xc， yc
xc 0
60 Ⅱ
20
C (xc,yc)
x yc=30
60
x′
yc
yc1 A1 A1
yc2 A2 A2
526126 26 26
3cm
3.过形心作水平坐标轴x