(完整版)平方根和立方根知识点总结及练习

A、－2 与 (2)2
B、－2 和 3 8
C． 0.7
）
C、－ 1 与 2 2
D． 0.49
D、︱－2︱和 2
知识点二：计算类题型 1、25 的算术平方根是_______；平方根是_____. -27 立方根是_______.
___________，
___________，
___________.
次方根），即如果 x3 a ，那么 x 叫做 a 的立方根
（2）一个数 a 的立方根，记作 3 a ，读作：“三次根号 a ”，
其中 a 叫被开方数，3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
（3） 一个正数有一个正的立方根； 0 有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根。
误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小
（5） x 2 a (x≥0) <—> x a
a 是 x 的平方
x 的平方是 a
x 是 a 的算术平方根
a 的算术平方根是 x
（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （ a 0）
a 0
4
64
（2）
Hale Waihona Puke Baidu
（3）
知识点三：利用平方根和立方根解方程
1、（1）（2x-1）2-169=0；
(x 2)3 125
（2） 4x2 121
（3）
知识点四：关于有意义的题
a 本身为非负数，有非负性，即 a ≥0； a 有意义的条件是 a≥0。 要使 1 有意义，必须满足 a 0.
a
1、若 a 的算术平方根有意义，则 a 的取值范围是（ ）
【基础知识巩固】
一、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数 x 的平方等于 a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根．即：
如果 x 2 a ，那么 x 叫做 a 的平方根．
（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数 必须是非负数才有意义。
也就是，在等式 x 2 a (x≥0)中，规定 x a 。
a ，读作“根号
（2） a 的结果有两种情况：当 a 是完全平方数时， a 是一个有限数；
当 a 不是一个完全平方数时， a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小） a 倍，例如错
A、一切数
B、正数
C、非负数
D、非零数
2、要使 2x 6 有意义，x 应满足的条件是
x 1 3、当 x ________时，式子 x 2 有意义。
知识点五：有关平方根的解答题 1、一个正数 a 的平方根是 3x―4 与 2―x，则 a 是多少？
2、若 5a＋1 和 a－19 是数 m 的平方根，求 m 的值。
是5的
3 、 下 列 说 法 中 ： ① 3 都 是 27 的 立 方 根 ， ② 3 y3 y ， ③ 64 的 立 方 根 是 2 ，
④ 3 82 4 。其中正确的有
A、1 个 B、2 个
C、3 个
D、4 个
（）
4、 0.72 的平方根是（
）
A． 0.7
B． 0.7
5、下列各组数中，互为相反数的组是（
3、已知 x、y 都是实数，且 y x 3 3 x 4 ，求 y x 的平方根。
知识点六：非负性的应用 1、已知实数 x，y 满足 x 2 +(y+1)2=0，则 x-y 等于
解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0， 解得 x=2，y=-1， 所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．
（6） 3 a 3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
【典型例题分析】
知识点一：有关概念的识别
1、下列说法中正确的是（ ） A、 的平方根是±3 B、1 的立方根是±1 C、 =±1 D、 平方根的相反数
2、下列语句中，正确的是（ ） A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．一个实数的立方根不是正数就是负数 D．立方根是这个数本身的数共有三个
（3）平方与开平方互为逆运算： 3 的平方等于 9，9 的平方根是 3
（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算
（5）符号：正数 a 的正的平方根可用 a 表示， a 也是 a 的算术平方根；
正数 a 的负的平方根可用- a 表示．
2、 (4)2
； 3 (6)3
； ( 196 )2 =
. 3 8=
.
3、① 2 +3 2 —5 2
② 7( 1 - 7) 7
③ | 3 2 | + | 3 2 |- | 2 1 |
④ 3 8 (2)2 1 4
4、（ 1 ） 3 27 ＋ (3)2 － 3 1
3 27 0 1 3 0.125 3 1 63
a2 a
；注意 a 的双重非负性：
- a （ a <0）
a 0
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：
区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根
的相反数。
3、立方根
（1）立方根的定义：如果一个数 x 的立方等于 a ，这个数叫做 a 的立方根（也叫做三
2、已知 a、b 满足 2a 8 b 3 0 ，解关于 x 的方程 a 2x b2 a 1。
3、若 x 1 (3x y 1)2 0 ，求 5x y2 的值。
（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关 系，检验其正确性，
求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即
3 a 3 a a 0 。
（5） x3 a <—> x 3 a
a 是 x 的立方 x 是 a 的立方根
x 的立方是 a a 的立方根是 x
（6） x 2 a <—> x a
a 是 x 的平方
x 的平方是 a
x 是 a 的平方根
a 的平方根是 x
2、算术平方根
（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x 2 a ，那么这
个正数 x 叫做 a 的算术平方根．a 的算术平方根记为
a”，a 叫做被开方数． 规定：0 的算术平方根是 0.