(完整版)平方根和立方根知识点总结及练习
完整版)平方根立方根提高练习题
完整版)平方根立方根提高练习题平方根和立方根的练一、选择题（共8小题）1.4的平方根是±2，那么9的平方根是（B）。
2.若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（C）。
3.一个数的立方根是它本身，则这个数是（A）。
4.数n的平方根是x，则n+1的算术平方根是（C）。
5.如果y=6+2，那么xy的算术平方根是（D）。
6.若a-b=3，则xy的值为（B）。
7.已知：a-b=2，那么xy的算术平方根是（C）。
8.若a＜b＜c，化简3a-b+c的结果为（B）。
二、填空题（共8小题）9.已知a、b为两个连续的整数，且a＞b，则a+b=a+b。
10.若a的一个平方根是b，那么它的另一个平方根是-b，若a的一个平方根是b，则a的平方根是±b。
11.已知：a+b=3，ab=2，则a和b的值分别为1和2.12.设等式(x-1)(y-2)(z-3)=0在实数范围内成立，其中m，x，y是互不相同的值，则z=m+x+y-6.13.如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，___第一个数是n(n-1)+1.14.已知有理数a，满足|2016-a|+|2017-a|=1，则a的值为2016或2017.15.若两个连续整数x、y满足x＜y，则x+y的值是2x+1.16.一组按规律排列的式子：1，3，7，13，…则第n个式子是n²-n+1.三、解答题（共9小题）17.（1）已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b的值。
解：由2a-1的平方根是±3可得2a-1=9或2a-1=-9，解得a=5或a=-4.由3a+b-1的算术平方根是4可得3a+b-1=16，解得a=5，b=4.因此，a+2b=13.2）已知m是x²的整数部分，n是x的小数部分，求m-n的值。
解：由题意可得x²≤m<(x+1)²，即x≤√m<x+1.又因为n=x-√m，所以x=n+√m。
七年级下册数学期末考复习专题01平方根及立方根(知识点串讲)【含答案】
专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A．B．C．D．12±12-12116练习1_____．练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。
例3．（·_________的算术平方根是_________.练习1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.二. 立方根1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．3x a=2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．备注：①符号中的根指数“3”不能省略；②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（ ）A ．4B ．±4C ．8D ．±8练习1．（·淮南初一期中）下列说法中，不正确的是（ ）A ．8的立方根是2B ．﹣8的立方根是﹣2C ．0的立方根是0D ．64的立方根是±4练习2．（·北京市昌平区阳坊中学初二期中）的立方根是__________．8-例2．（合肥市第四十五中学初一期中）已知a +3和2a ﹣15是某正数的两个平方根，b 的立方根是﹣2，c 算术平方根是其本身，求2a +b ﹣3c 的值．练习1．（·淮南初一期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c 5a 2+3a b 1+-分．（1（求a ，b ，c 的值；（2）求的平方根．3a b c -+练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值.例3．（安徽初一期中）求下列各式中x 的值：（1）2x 2＝4； （2）64x 3 + 27＝0专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根A试题分析：A、B、C、D都可以根据平方根和算术平方根的定义判断即可．解：A、﹣5是25的平方根，故选项正确；B、25的平方根是±5，故选项错误；C、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误；D、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误．故选A．练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±B，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2±2，故选B．练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±C解：9的平方根是.3±故选：C.例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A ．B ．C ．D ．12±12-12116C 本题解析: ∵ ，211()24=∴的算术平方根为，1412+故选C.练习1 _____．2，的算术平方根是2，4 2.练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。
实数知识点总结及习题练习
实数知识点总结平方根、算数平方根和立方根（3— 10 分）1、平方根假如一个数的平方等于a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数 a 的平方根记做“ a ”。
2、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （ a0）a0a2a；注意 a 的两重非负性：- a（a <0）a03、立方根假如一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：3a 3 a，这说明三次根号内的负号能够移到根号外面。
实数（平方根）单元习题练习思想启动如图是一块由两个正方形并排放在一同而成的硬纸板，请你用两刀把它裁成四块，而后拼成一个正方形，拼后的正方形边长为多少？综合研究研究一由平方根和算术平方根的意义确立字母的取值范围1．2x中被开方数为___________ ，根号下的被开方数一定是_____________ 才存心义，所以可列出不等式______________，x的取值范围是______________．2．要使 1 x x 存心义，需要列出不等式组为________________ ．x 的取值范围是______________ ．3．若x 存心义，则 x 的取值范围是 ______________ ．x1答案： 1． 2x ，非负数， 2x 0 ， x 0 ．1 x 0,1．2．0 xx 0.3． x 1 ．研究二依据非负数性质求未知数的值已知 x 、 y 为实数，且x 1 3 y220 ．1．因为x 1 ， 3 y 2 22都是非负数，联合已知x 1 3 y 2 0 ，你能获得什么结论？_________________________________________________________________________ ．2．由 1，你能求出 x y 的值吗？_________________________________________________________________________ ．答案： 1 ．∵x1 0 ， 320 ， x 1 3 y 22x 1 0 ，y 20 ，∴20 ．3 y 2．由 1 得，x 1 0 ，x 1； y 2 0 ， y 2 ．∴ x y 1 2 1．2研究三 平方根与简单的一元二次方程1．由 x 2196 0 可得 _______________ ，2．据 1 得， x 是 196 的 _______________，所以 x______________ ．281 0 中的 x 值．3．由 1， 2 的启迪，请你试着求等式 16 x 2_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ．答案： 1． x 2 196 ．2．平方根， x 14 ．3．由 16 x 22281 9 1 17 81 0 ，得 x2，∴ x 2，∴ x或．16444研究四 由平方根的意义确立字母的值3a 22 和 2a 3都是m的平方根，求a和m的值．1．当3a 22与 2a 3 相等时，求a和m的值．______________________________________________________________________ ．2．当3a22 与 2a 3 互为相反数时，求 a 和 m 的值．_____________________________________________________________________ ．3．议论总结：m 的值为____________．答案： 1 ．3a22 2a 3 ，得 a 19 ， 3a 22 3 19 22 35 ， 2a 335 ，m 3521225 ．2．3a 22 2a 3 0，得a 5 ，3a 22 3 5 227， 2a 32537，249 ．m7723．m的值为 1225 或 49．研究五利用被开方数非负性求未知数的值已知 x 、y都是有理数，且 yx3 3 x 3 ，求 y x 1的平方根．1．x 3 表示x 3 的_________________，则x的范围是______________．2．3x 表示x 3 的_________________，则x的范围是______________．．由，，得 x______________，y_______________．3124．议论总结：y x 1的平方根是多少？_________________________________________________________________ ．答案： 1．算术平方根，x 3 ．2．算术平方根，x 3．．x 3， y3．34．∵y x 13481，∴ y x 1的平方根为9．研究六算术平方根与绝对值相综合题已知 2009a a2010 a ，求 a 20092 15 的值．1．由式子a2010能够得出 a 的取值范围是什么？________________________________________________________________________ ．2．由 1，你能将等式2009 a a 2010 a 中的绝对值去掉吗？_______________________________________________________________________ ．3．由 2，你能求出a20092的值吗？_______________________________________________________________________ ．4．议论总结：求 a 2009215 的值．_______________________________________________________________________ ．答案： 1．∵a2010 0，∴a 2010 ．2．原式变形为a 2009a2010 a ，即 a 20102009 ．3．a201020092， a200922010 ．4．a2009215 2010152025 ，∴a2009215 45．研究七平方根的实质应用一个张口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个36cm2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是150cm2，求原正方形的边长是多少？1．由题意可知剪掉正方形的边长为______________cm．2．设原正方形的边长为x cm，请你用 x表示盒子的容积．________________________________ ．3．由 1， 2 的剖析，请你列出方程，并解答，求原正方形的边长．_________________________________________________________________________ ．答案： 1． 6．22．6 x6．225．∴ x 11或 x 1 （舍去）．即原正3．6 x 6150 ， x 625 ， x 6方形的边长为11cm．随堂反应1．25的平方根的数学表达式是（ ）121A ．25 5 25 5 25 512111B ．11C ．11121121 2． 9 的算术平方根是（ ）A ． 3B ． 3C ． 33．当 x 5 时， x 2 的值是（）A ． 5B ． 5C ． 525 5 D ．12111D ． 81D ． 254．正方形 M 的面积是正方形 N 的面积的 64 倍，那么正方形 M 的边长是正方形 N 的边长的（）A ．4 倍B ．8 倍C ．16 倍D ．2 倍5．一个数的算术平方根是它的自己，则这个数是 ______________．6．若x 44 y ，则 xy 的算术平方根为 ______________ ．7．代数式5a b 的最大值为 ______________ ．8．已知 a ， b 知足a 1b 3a 1 0 ，求 b 2 5a 的平方根．9．假如 a 为正数， 29 a 为整数，求 29 a 的最大值及此时 a 的值．10．已知 2a 1 的平方根为 3 ， 3a b 1的平方根为 4 ，求 a 2b 的平方根．参照答案1．D 2 ．B 3 ．A 4 ．B 5 ．0，1 6 ．4 7 ． 58 ． ∵ a10 ，b 3a 10 ，a 1b 3a 10 ，为4．∴ a 1 0，a 1 ；b 3a 10 ，10．由题意，得2a19,3a b解得1 16.b 3a 10 ，a 5,∴ b 2 ．∴b25a 9 ， b25a 的 b 2.平方根为3．∴ a 2b 9， a2b 的平方根为3．9．∵a为正数，∴ 29a29，29 a 5 ．所以29 a 的最大值为5，此时a的值平方根追踪练习（一）一、选择题1．以下各式中无心义的是（）A．7B．7 C.7D．722.1的算术平方根是（）4A．1B．1C．1D．1 168223.以下运算正确的选项是（）A． 3 3B．33C．93D．93二、填空题4.若一个正方形的面积为 13，则正方形的边长为 ___________.5.小明房间的面积为 10.8 米2，房间地面恰巧由120 块同样的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 _________.6.计算：⑴9 =_________;⑵52___________; ⑶22________;23)2.⑷－ 4 =_______;⑸(_______7．若以下各式存心义，在后边的横线上写出 x 的取值范围：⑴x________⑵5x_______8．若a 2 b 3 0 ，则a2b_________．9．一个正方形的面积扩大为本来的 4 倍，它的边长变成本来的倍， 面积扩大为本来的 9 倍，它的边长变成本来的倍，面积扩大为本来的 n 倍，它的边长变成本来的_______倍 .10._______ 的算数平方根是它自己 . 三、解答题11．求以下各数的算术平方根 :⑴ 169⑵ 0.0256⑶124⑷ 2 22512. 要种一块面积为 615.44 m 2 的圆形草地以美化家庭， 它的半径应是多少米？（π取 3.14 ）平方根追踪练习（二）一、选择题1．以下说法中不正确的选项是（）A.2是 2的平方根B.2是 2的平方根C.2 的平方根是 2D.2 的算术平方根是22． 1的平方根是（）4A.1B.1C.1D.1 168223．“ 4 的平方根是2”，用数学式子能够表示为（）2554 2 4 2 4 2 D.4 2A.5B.5C.52552525254．以下各式中，正确的个数是（）①0.9 0.3 ; ② 174 ③32 的平方根是－ 3;93 ;④52的算术平方根是－ 5; ⑤ 7 是113的平方根 .6 36A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 5. 若 a 是4 2 的平方根， b 的一个平方根是2，则代数式 a ＋ b 的值为（）A.8B.0C.8或 0D.4或－ 4二、填空题6. 假如某数的一个平方根是 -6 ，那么这个数为 ________．7. 假如正数 m 的平方根为 x1和 x 3 ，则 m 的值是．8． 162的平方根是 .的算术平方根是， 9 9．若 b1 aa 14 ，则 a b 的平方根是 .三、解答题10．求以下各式的值 :⑴ 225⑷0.1 2一、选择题 1． C ．2． C ．3． A ．二、填空题4． 135． 0.96． 3； 5； 2；－ 4； 3⑵0.0004⑶1214⑸⑹412 402追踪练习一答案7． x ≥ 0； x ≤ 58． 19． 2； 3； n 10.0 和 1 三、解答题11． 13； 0.16 ； 7； 2512． 14追踪练习二答案一、选择题1． C 2． D 3． B 4． A5.C二、填空题6． 36 7． 48.23 或 -3 9．2 或-2三、解答题10．⑴ 15⑵-0.02 ⑶7 2⑷-0.1 ⑸0.7 ⑹9。
【精品】初中数学 05平方根与立方根 讲义+练习题
讲义主题： 平方根与立方根一：课前纠错与课前回顾1、作业检查与知识回顾2、错题分析讲解（1）（2）（3）···二、课程内容讲解与课堂练习题模一：平方根例1.1.1±3是9的（ ）A ．平方根B ．相反数C ．绝对值D ．算术平方根 例1.1.2的平方根是（ ） A ．2 B ．±2 C ． D ．±例1.1.3若12-a 和5-a 是一个正数m 的两个平方根，则a ＝__________，m ＝__________．【讲透例题】题模一：平方根例1.1.1【答案】A【解析】∵（±3）2=9，∴±3是9的平方根，故选；A ．例1.1.2【答案】D【解析】∵=2，∴的平方根是±．例1.1.3【答案】2；9【解析】该题考查的是平方根的性质．∵一个数的平方根互为相反数∴2150a a -+-=，解得：2a =∴()()22212219m a =-=⨯-=【讲透考点】平方根平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．平方根的表示方法：若2x a =，则x 就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示 为“a ±”．平方根的特征：1．正数有两个平方根，且互为相反数；2．0的平方根是它本身；3．负数没有平方根．【相似题练习】随练81________．随练1.2若225a =，9b =a b +=（ ）A ．8B ．8±C ．8或2-D ．2或8-题模二：算术平方根例1.2.14的算术平方根是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D 2例1.2.229的算术平方根是__________．例1.2.3下列说法正确的是（ ）A 42B ．0和1的相反数都是它本身C ．将5、4、3依次重复写两遍得到的6个数的平均数是4D 2是分数例1.2.4一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）A ．a+1B ．a 2+1C 2a 1+D a 1+例1.2.5 若12-x 有意义，则x 的取值范围是__________．【讲透例题】题模二：算术平方根例1.2.1【答案】A【解析】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． ∵2的平方为4，∴4的算术平方根为2．故选A ．例1.2.2 29【解析】2929例1.2.3【答案】C【解析】A 42B 、1的相反数不是它本身，故本选项错误；C 、5、4、3依次重复写两遍得到的6个数的平均数是（5×2+4×2+3×2）÷6=4，故本选项正确；D 2是无理数，不是分数，故本选项错误． 故选C ．例1.2.4【答案】B【解析】∵一个自然数的算术平方根为a ，∴这个自然数是a 2．∴和这个自然数相邻的下一个自然数是a 2+1．故选B ．例1.2.5 【答案】12x ≥【解析】双重非负性可得210x -≥，解得12x ≥【讲透考点】二．算术平方根算术平方根的概念: 如果一个非负数x的平方等于a，即2x a=，那么非负数x是a的算术平方根．算术平方根的表示方法：a a a叫做被开方数．算术平方根的性质：双重非负性，在x a=0x≥，0a≥．【相似题练习】随练1.3一个数的算术平方根是2，则这个数是____．随练()28-）A．8-B．8C．8±D．8±题模三：开平方例()22-的平方根为( )A．2-B．2C．2±D．2±例1.3.2如果a是121的平方根，那么24a的算术平方根的相反数的倒数的是__________．例1.3.37例1.3.4 1.718721 1.31117.197609 4.147，那么0.0001718721-，1719760900=__________．【讲透例题】题模三：开平方例1.3.1【答案】D【解析】该题考查的是平方根的概念和根式的性质．一个正数有两个平方根．()222-=，2的平方根有两个，2所以本题的答案是D．例1.3.2 【答案】211-【解析】2212111442a ⎛⎫==± ⎪⎝⎭,24a 的算术平方根为112，112的相反数的倒数的是211-例1.3.3【答案】2和3之间 479273<<例1.3.4【答案】0.0311-，41470【解析】被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n ≥）．【讲透考点】开平方开平方的概念：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．开平方运算的性质：1．当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n ≥）．2．平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：（1）若0a ≥，则2(a a =；（2）不管a 2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系． 【相似题练习】随练1.5已知实数x 、y 231220x y x y ---+=，求85x y +的平方根．随练1.6已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是(___)(___)．题模四：立方根例2.1.127的立方根是__________．例2.1.2338的立方根是__________． 例2.1.36427-的立方根是__________． 例2.1.49的立方根是__________．例2.1.5下列说法正确的是（ ）A ．16的算术平方根是4-B ．25的平方根是5C ．1的立方根是1±D ．27-的立方根是3-【讲透例题】题模四：立方根例2.1.1【答案】3【解析】3273=例2.1.2 【答案】32 【解析】332733882⎛⎫== ⎪⎝⎭ 例2.1.3 【答案】43-【解析】3644273⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 例2.1.4 39 39例2.1.5【答案】D【解析】该题考查的是平方根和立方根的概念．A ：错误，16的算术平方根为4；B ：错误，25的平方根为5±；C ：错误，1的立方根为1；D ：正确，所以本题的答案是D ．【讲透考点】立方根立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； 若3,x a =则x 就叫做a 的立方根，一个数a 3a ，其中“3”叫做根指数，不能省略．立方根的特点：1．任意一个数都有立方根；2．正数立方根是正值；3．负数的立方根是负值；4．0的立方根是0．【相似题练习】随练2.1如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）A ．0B ．正整数C ．0和1D ．1随练2.2下列说法正确的是（ ）A ．如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零B ．一个数的立方根不是正数就是负数C ．负数没有立方根D ．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零随练2.3下列各式中，正确的是（ ）A ．93=±B ()222-=-C 393-=-D ．233-= 随练2.4()255--255±42=382-=-A ．3B ．2C ．1D ．0题模五：开立方例2.2.1求符合下列各条件中的x 的值．（1）2104x -=（2）31108x +=例2.2.2已知343的立方根是7，那么343000的立方根是__________．例2.2.3324a -343b -ab ． 例2.2.42n m -+是4322m +8的立方根，求1mn +的平方根【讲透例题】题模五：开立方例2.2.1【答案】（1）12x =±（2）2-=x 【解析】该题考查的是解高次方程．（1）2104x -=214x = 14x =±12x = （2）31108x +=38x =-2x =- 例2.2.2【答案】70．【解析】70．例2.2.3【答案】16【解析】两个数互为相反数，则他们的立方根也互为相反数，∴2443230a b a b -+-=-=， ∴32a b =．例2.2.4【答案】16【解析】该题考察的是代数式求值．算术平方根：若一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，则这个正数x 为a 的算术平方根 立方根：若一个数x 的立方等于a ，即3x a =，则这个数x 为a 的立方根．∵224=，∴2是424n m -+，即24n m -+=∵328=，∴2是833228m +228m +=∴5n =，3m =∴116mn +=【讲透考点】开立方开立方的概念：求一个数的立方根的运算．开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．开立方运算的性质：1．当被开方数（大于0）扩大（或缩小）3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍． 233a a =，33a a =． 【相似题练习】随练2.533(4)4k k -=－，则k 的取值范围为（ ）A ．4k ≥B ．4k ≤C ．4k =D ．k 为任意数随练2.6 求符合下列各条件中的x 的值．（1）3343x = （2）()3364x -=-随练2.733560x y -+-=，求x y +的值．三、课后练习（写出各题的主要解答过程。
(完整版)平方根与立方根知识点小结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）；（2）； （3）； ⑷ 642)3(-4915121(3)-例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.81±16-2592)4(-（5），（6），（7）（8）44.136-4925±2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ ； ⑶ 0.72910227-二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a 的平方根是±，即a 是非负数.a 例4、若求y x 的立方根.,622=----y x x 练习：已知求的值.,21221+-+-=x x y y x 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±，而a .0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.32+a 12-a m m 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.0≥a a 例4、已知：y=,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.)1(32++-b a ，求xyz 的值。
(完整版)平方根、立方根综合练习题
平方根、立方根综合练习题、填空题1 .如果x 9，那么x = ___________ 如果X 9，那么x ____________2 •如果x的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是__________ .3 .一个正数的两个平方根的和是 ___________ .一个正数的两个平方根的商是4. ________________________________________________________ 若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是 ______________________ ;5. _________________________________ 算术平方根等于它本身的数有___ 立方根等于本身的数有 ___________________ .6 .阿的平方根是__________ ，百的算术平方根是__________ , 10 2的算术平方根是_________ ; J16的平方根是_________ ；9的立方根是 _____ ; _______ 的平方根是H 037.若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是___________ ;8 .当m ______ 时，、3 m有意义；当m _______ 时，Vm 3有意义；9. ___________________________________________ 若一个正数的平方根是2a 1和a 2，则a __________________________________ ，这个正数是________ ;11. _________________________ a 1 2的最小值是_________ 此时a的取值是;10.已知2a 1 (b 3)212. 2x 1的算术平方根是2，则x= __________ ;13. _______________________________ .5 2的相反数是_______________ ;绝对值是 __________________________________14. 在数轴上表示______________________ .3的点离原点的距离是o二、选择题1. 9的算术平方根是（）A . -3B . 3C . ± 3D . 812 •下列计算不正确的是（）A. -.4=± 2 B . , （ 9）2.81=9C. 3 0.064 =0.4 D . \ 216 =-63.下列说法中不正确的是（ ）A . 9的算术平方根是3B . . 16的平方根是土 2C . 27的立方根是土D .立方根等于-1的实数是-14 . 3 64的平方根是（ A . ± 8 B . ± 4 5.-1的平方的立方根是81A . 4 B86 .下列说法错误的是（A. ,( 1)2 1B.313C.2的平方根是D.81的平方根是7 . ..( 3)2的值是(A. 38 .设x 、y 为实数，且y则x y 的值是（A. 1B. 9C. 49.下列各数没有平方根的是D. 5 ).10. 计算' 25 3 8的结果是()A.3B.7C.-3D.-711. 若a= \3 ,b=- I —. 2 I , c= VT2）3,则a、b、c的大小关系是（）A.a >b>cB.c >a>bC.b >a>cD.c > b> a12 .如果3x 5有意义，则x可以取的最小整数为（）.A. 0 B . 1 C . 2 D . 313. 一个自然数的算术平方根是x,则它后面一个数的算术平方根是（）A. x+1 B . x2+1 C . X+1 D . x2114. 若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（）A . -3B . 1C . -3 或 1D . -115 .已知x, y是实数，且.3x 4 + (y-3 ) =0,则xy的值是()9 9A . 4B . -4C . —D .--4 416 .若一个数的平方根是2m-4与3m-1,则m的值是()A . -3 B.1C.3 D . -117 .已知x, y是实数，且3x 4 +(y-3) 2=0, 则xy的值是（）A . 4 B.-4C9 D .--44三、计算、求值1 .求下列各数的平方根.9 15(1) 100； (2) 0; (3)旦;(4) 1; (5) 1竺;(6) 0 . 09 .25 49A . —( —2 )B .( 3)3C ..(_1)2D . 11.13、解方程(4)、(2x-1 ) 2-169=0;(5)、丄 2(x+3) 3=4.(6)、x 3 -10= 17(7) x 2 182(8) 2x3 5(9) - (x+3) 2=8.2四.比较大小，并说理由。
平方根和立方根复习
平方根和立方根复习知识点一：平方根(1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作。
(2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根。
0的算术平方根是0。
a(a≥0)的算术平方根记作。
巩固练习一：基础题知识点1 算术平方根1．(呼伦贝尔中考)25的算术平方根是( )A ．5B ．－5C ．±5D . 52．(杭州中考)化简：9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 3.14的算术平方根是( ) A .12 B ．－12 C .116 D ．±124．(南充中考)0.49的算术平方根的相反数是( )A ．0.7B ．－0.7C ．±0.7D ．05．(－2)2的算术平方根是( ) A ．2 B ．±2 C ．－2 D . 26．(宜昌中考)下列式子没有意义的是( )A .－3B .0C . 2D .（－1）27．下列说法正确的是( )A ．因为52＝25，所以5是25的算术平方根B ．因为(－5)2＝25，所以－5是25的算术平方根C ．因为(±5)2＝25，所以5和－5都是25的算术平方根D ．以上说法都不对8．求下列各数的算术平方根：(1)144； (2)1； (3)1625； (4)0.a a9．求下列各式的值：(1)64；（2）121225； (3)108；(4)（－3）2.知识点2 估计算术平方根10．一个正方形的面积为50平方厘米，则正方形的边长约为() A．5厘米B．6厘米C．7厘米D．8厘米11．(安徽中考)设n为正整数，且n＜65＜n＋1，则n的值为() A．5 B．6 C．7 D．812．(泉州中考)比较大小：用“＞”或“＜”号填空)．中档题16．设a－3是一个数的算术平方根，那么()A．a≥0 B．a＞0 C．a＞3 D．a≥3 17．(台州中考)下列整数中，与30最接近的是(B)A．4 B．5 C．6 D．7 18．(东营中考)16的算术平方根是()A．±4 B．4 C．±2 D．219．若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是()A．1 B．－1 C．0 D．0或120．下列说法中：①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10，记为±100＝10；③(－6)2的算术平方根是6；④a2的算术平方根是a.正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个21．(天津中考)已知一个表面积为12 dm2的正方体，则这个正方体的棱长为() A．1 dm B. 2 dm C. 6 dm D．3 dm22．若一个数的算术平方根是11，则这个数是．23．若x－3的算术平方根是3，则x＝．24．(青海中考)若数m，n满足(m－1)2＋n＋2＝0，则(m＋n)5＝．25．计算下列各式：(1)179； (2)0.81－0.04； (3)412－402.26．比较下列各组数的大小：(1)12与14；(2)－5与－7；(3)5与24；(4)24－12与1.5.27．求下列各式中的正数x的值：(1)x2＝(－3)2；(2)x2＋122＝132.28．兴华的书房面积为10.8 m2，她数了一下地面所铺的正方形地砖正好是120块，请问每块地砖的边长是多少？综合题30．国际比赛的足球场长在100 m到110 m之间，宽在64 m到75 m之间，为了迎接某次奥运会，某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7 560 m2，请你判断这个足球场能用作国际比赛吗？并说明理由．巩固练习二：基础题知识点1 平方根1．(黄冈中考)9的平方根是()A．±3 B．±13C．3 D．－32．(绵阳中考)±2是4的()A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根3．下面说法中不正确的是()A．6是36的平方根B．－6是36的平方根C．36的平方根是±6 D．36的平方根是64．下列说法正确的是()A．任何非负数都有两个平方根B．一个正数的平方根仍然是正数C．只有正数才有平方根D．负数没有平方根5．(怀化中考)(－2)2的平方根是()A．2 B．－2 C．±2 D. 2 6．下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．(1)(－3)2；(2)－42；(3)－(a2＋1)．知识点2 平方根与算术平方根的关系7．下列说法不正确的是()A．21的平方根是±21 B.49的平方根是23C．0.01的算术平方根是0.1 D．－5是25的一个平方根8．(武汉校级月考)下列式子中，计算正确的是()A．－ 3.6＝－0.6 B.（－13）2＝－13C.36＝±6 D．－9＝－3 9．求下列各数的平方根与算术平方根：(1)(－5)2；(2)0；(3)－2；(4)16.10．求下列各式的值：(1)225； (2)－3649； (3)±144121.11．下列说法正确的是()A．－8是64的平方根，即64＝－8B．8是(－8)2的算术平方根，即（－8）2＝8C．±5是25的平方根，即±25＝5D．±5是25的平方根，即25＝±512．(东营中考)81的平方根是()A．±3 B．3C．±9 D．913．(郾城区期中)若x2＝16，则5－x的算术平方根是()A．±1 B．±4C．1或9 D．1或314．如果某数的一个平方根是－6，那么这个数的另一个平方根是6，这个数是．15．若x＋2＝3，求2x＋5的平方根．16．已知25x2－144＝0，且x是正数，求25x＋13的值．17．求下列各式中的x：(1)9x2－25＝0；(2)4(2x－1)2＝36.21．已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．22．(1)一个非负数的平方根是2a －1和a －5，这个非负数是多少？(2)已知a －1和5－2a 都是m 的平方根，求a 与m 的值．知识点二：立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．a 的立方根记作3a 。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常基础且重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及应用于实际生活中都有着广泛的用途。
接下来，让我们一起深入地了解一下平方根和立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
即若 x²＝a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3）²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2，2 和－2 互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
例如，求 16 的平方根，即求±√16 的值。
因为 4²＝ 16，（－4）²＝ 16，所以±√16 ＝ ±4 。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
0 的算术平方根是 0。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3。
5、平方根的估值对于一些非完全平方数的平方根，可以通过估算来确定其大致范围。
比如，估算√7 的值。
因为 4 ＜ 7 ＜ 9，所以 2 ＜√7 ＜ 3。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2，记作³√8 ＝ 2 。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0。
也就是说，任意一个数都有且只有一个立方根。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结数字运算是数学中的基础内容，而平方根和立方根是其中常见且重要的概念。
它们用来求解数字的根号运算，能够帮助我们计算数字的次方根。
本文将对平方根和立方根进行知识点总结，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、平方根平方根是一个数学运算符号，用symbol √ 表示。
它表示一个数的平方根。
对于一个非负数 a，其平方根记作√a，表示满足 b² = a的正数 b。
例如，√25 = 5，因为 5² = 25。
1. 平方根的性质平方根有一些基本的性质，包括：（1）非负性质：一个非负数的平方根是非负的。
例如，√25 = 5，√0 = 0。
（2）保号性质：如果两个非负数 a 和 b 满足 a < b，则有√a < √b。
例如，√9 = 3 < √16 = 4。
（3）开方法则：对于任意非负数 a 和 b，有以下等式成立：√(a × b) = √a × √b。
例如，√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6。
2. 平方根的应用平方根在数学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：形的斜边长度等。
（2）物理学公式：平方根可以用于求解物理学公式中的问题，如求解速度、加速度等。
（3）统计学问题：平方根可以用于求解统计学问题，如计算方差、标准差等。
二、立方根立方根是另一种常见的根号运算，用 symbol ∛表示。
它表示一个数的立方根。
对于一个实数 a，其立方根记作∛a，表示满足 b³ = a 的实数 b。
例如，∛8 = 2，因为 2³ = 8。
1. 立方根的性质立方根与平方根一样，也有一些基本的性质。
其中包括：（1）非负性质：一个实数的立方根可以是正数、负数或零。
（2）保号性质：如果两个实数 a 和 b 满足 a < b，则有∛a < ∛b。
例如，∛1 = 1 < ∛8 = 2。
完整版)平方根与立方根典型题大全
完整版)平方根与立方根典型题大全平方根与立方根典型题大全一、填空题1.如果$x=9$，那么$x=$ 3；如果$x^2=9$，那么$x=$ 3 或$-3$。
2.若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是1.3.算术平方根等于它本身的数有 1，立方根等于本身的数有 1.4.若$x=3\sqrt{x}$，则$x=0$ 或 $x=9$；若$x^2=-x$，则$x=0$ 或 $x=-1$。
5.当$m3$时，$3m-3$有意义。
6.若一个正数的平方根是$2a-1$和$-a+2$，则$a=2$，这个正数是 3.7.$a+1+2$的最小值是 2，此时$a$的取值是 $-1$。
二、选择题8.若$x^2=a$，则 $|x|\geq 0$，即$x$可以是正数或零，选项B。
8.$(-3)^2=9$，选项D。
9.$y=4+5-x+x-5=-1$，$x-y=x+1$，选项A。
10.当$3x-5>0$时，$x>\frac{5}{3}$，最小整数为2，选项C。
11.一个等腰三角形的周长是 $2\times 5+3\sqrt{2}$，选项D。
12.若$x-5$能开偶次方，则$x\geq 5$，选项C。
13.$2n+1-1=2n$，选项D。
14.正数$a$的算术平方根比它本身大，即$\sqrt{a}>a$，移项得$\sqrt{a}-a>0$，两边平方得$a>1$，选项D。
三、解方程12.$(2x-1)=-8$，解得$x=-\frac{7}{2}$。
13.$4(x+1)^2=8$，解得$x=\pm\sqrt{2}-1$。
14.$(2x-3)^2=25$，解得$x=2$ 或 $x=-\frac{1}{2}$。
四、解答题15.已知：实数$a$、$b$满足条件$a-1+(ab-2)^2=$试求$$\frac{1}{ab(a+1)(b+1)}+\frac{1}{ab(a+2)(b+2)}+\cdots+\frac{ 1}{ab(a+2004)(b+2004)}$$解：将$a-1$移到等式右边，得$$(ab-2)^2=-a+1+(ab-2)^2$$两边同时除以$(ab-2)^2$，得$$1=\frac{-a+1}{(ab-2)^2}+1$$移项得$$\frac{1}{ab-2}=\frac{-a+1}{(ab-2)^2}$$两边同时乘以$\frac{1}{ab}$，得$$\frac{1}{ab(ab-2)}=\frac{-1}{ab-2}+\frac{1}{ab}$$移项得$$\frac{1}{ab}=\frac{1}{ab-2}+\frac{1}{ab(ab-2)}$$将右边的式子通分，得$$\frac{1}{ab}=\frac{ab-2+1}{ab(ab-2)}+\frac{1}{ab(ab-2)}$$化简得$$\frac{1}{ab}=\frac{ab-1}{ab(ab-2)}$$两边同时乘以$\frac{1}{a+1}$，得$$\frac{1}{ab(a+1)}=\frac{b}{a+1}\cdot\frac{ab-1}{ab(ab-2)}$$将右边的式子通分，得$$\frac{1}{ab(a+1)}=\frac{b}{a+1}\cdot\frac{ab-1}{ab(a+2)(ab-2)}$$化简得$$\frac{1}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{b(ab-1)}{ab(a+2)(ab-2)(a+1)}$$同理，将左边的式子乘以$\frac{1}{a+2}$，得$$\frac{1}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{b}{a+2}\cdot\frac{ab-1}{ab(a+1)(ab-2)}$$将两个式子相加，得$$\frac{2}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{b}{a+1}\cdot\frac{ab-1}{ab(ab-2)(a+2)}+\frac{b}{a+2}\cdot\frac{ab-1}{ab(a+1)(ab-2)}$$通分并化简得$$\frac{2}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{(ab-1)(a+b+3)}{ab(a+1)(a+2)(ab-2)}$$移项得$$\frac{1}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{(ab-1)(a+b+3)}{2ab(a+1)(a+2)(ab-2)}$$所以$$\frac{1}{ab(a+1)(b+1)}+\frac{1}{ab(a+2)(b+2)}+\cdots+\frac{ 1}{ab(a+2004)(b+2004)}=\frac{1}{ab}\left(\frac{1}{a+1}+\frac{ 1}{a+2}+\cdots+\frac{1}{a+2004}\right)\left(\frac{1}{b+1}+\frac {1}{b+2}+\cdots+\frac{1}{b+2004}\right)$$$$=\frac{1}{ab(a+1) (a+2)}\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b+2}+\cdots+\frac{1}{b+200 4}\right)$$$$=\frac{(ab-1)(a+b+3)}{2ab(a+1)(a+2)(ab-2)}\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b+2}+\cdots+\frac{1}{b+2004}\r ight)$$。
(完整版)平方根和立方根经典讲义
内容基本要求略高要求较高要求平方根、算术平方根了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 会用平方运算求某些非负数的平方根立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方根运算求某些数的立方根 实数了解实数的概念会进行简单的实数运算实数可按下图进行详细分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数与数轴上的点一一对应.(以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a=，则x就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a”．算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为a ；有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.知识点睛中考要求平方根和立方根一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥0a .平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．通过验算我们可以知道：⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<1a 2a 之间，即：120a a a ≤<范围．立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表3a ，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的a 其实省略了根指数“2”2a a 3a “三次根号a ”2a “二次根号a ”a “根号a ”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．通过归纳我们可以知道：⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍． 33a a =，33()a a =⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<， 31a 32a 33312a a a < 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．重、难点难点：平方根的性质【例1】 判断下列各题，并说明理由819±． ( ) a ( ) ⑶2a 的算术平方根是a ． ( ) ⑷ 2()5a -，则5a =-. ( ) 93=±. ( ) ⑹ 6-是2(6)-的平方根． ( ) ⑺ 2(6)-的平方根是6-．( )⑻ 若236x =，则366x =±=±. ( ) ⑼ 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) ⑽ 如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ( ) ⑾ 算术平方根一定是正数． ( ) ⑿ 2a -没有算术平方根． ( ) ⒀ 64的立方根是4±． ( )⒁ 1-是16-的立方根． ( )⒂ 33x x ． ( ) ⒃ 互为相反数的两个数的立方根互为相反数． ( ) ⒄ 正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根． ( )【例2】 ⑴ 若22(2)a =-，则a = ；若22()(3)x -=-，则x = .⑵ 22x +，则(25)x +的平方根是 ；若25x =，则x = .⑶ 21a =-，则a ；若20a a =，则a . ⑷ 当0m <，2m 的算术平方根是 .⑸ 2()a b -算术平方根是a b -，则a b .⑹ 若一个自然数的一个平方根是m ，那么比它大1的自然数的平方根是 .⑺ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .例题精讲⑴21(51)30x --=； ⑵3(100.2)0.027x -=-3312573511164168---33321600010.125-【例4】 已知某正数的两个平方根是35a -与1a +，求这个正数．【例5】 已知3(2)27a b +=-235a b -=，求21(3)n a b ++的值(n 为正整数).【例6】 求22221995199519961996+⋅+的平方根.【例7】 (人大附单元测试)已知a 为实数，且满足200201a a a --=，求2200a -的值.【练习1】若22(3)x =-，33(2)y =-，求x y +所有可能值．【练习2】一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，求这个数．【练习3】(101数学实验班单元练习)已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的平方根．【练习4】(2007年成都)22(5)0a b -+=，那么a b +的值为 .【练习5】22111a ab -+-+=，求a ，b 的值.课堂作业【练习6】若a 、b 为实数，且|1|20a ab --，求1111(1)(1)(2)(2)(1993)(1993)ab a b a b a b +++++++++的值.1． ⑴ (安顺市中考题)16的平方根是 ；2( 2.5)-的平方根是 ；2(2)-的平方根是 .⑵ (威海中考题38的相反数是 ；64的立方根是 .⑶ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根 等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 . ⑷ (江西省中考题)20n n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 ⑸ (上海市中考题)12x -=的根是 . 31.815848 1.2231815848- _____. 2． 若一正数的平方根是36a +与29a +，求这个正数．3． 已知x y +的负的平方根是3-，x y -的立方根是3，求25x y -的平方根. 4． 243a b x a -+=+3a +的算术平方根，323b a y b -+=-3b -的立方根，求y x -的立方根.5．已知：|1|2340a b a b -+--．求：24a b +的立方根． 家庭作业。
平方根与立方根及实数知识点总结
“平方根”与“立方根”知识点小结例 2求以下各式的值一、知识重点 （ 1）81 ；（ 2） 16 ；（3）9； （ 4） (4)2 .1、平方根 ：25⑴、定义：假如 x 2=a ，则 x 叫做 a 的平方根，记作“a ”1.44 ，（ 6）36 ，（7）2525) 2（ a 称为被开方数） 。
（ 5） （ 8） (49⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是 0；负数没有平方根。
例 3、求以下各数的立方根：⑶、算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平⑴ 343；⑵10；⑶2方根，记作“ a ”。
272、立方根 ：二、巧用被开方数的非负性求值.⑴、定义：假如 x 3=a ，则 x 叫做 a 的立方根， 记作“ 3 a ” 大家知道，当 a ≥ 0 时， a 的平方根是± a ，即 a 是（ a 称为被开方数） 。
非负数 .⑵、性质：正数有一个正的立方根； 0 的立方根是0；负例 4、若 2 xx2 y 6, x的立方根 .求 y 数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方） ：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方） 。
二、规律总结：1、平方根是其自己的数是0；算术平方根是其自己的数是 0 和 1；立方根是其自己的数是 0 和± 1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，此中正的那个是算术平方根；任何一个数都有独一一个立方根，这个立方根的符号与原数同样。
3、a 自己为非负数，即 a ≥ 0； a 存心义的条件是 a ≥ 0。
4、公式：⑴ ( a )2=a （ a ≥ 0）；⑵ 3 a =3a （ a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于 0，则每 一个非负数都为 0（此性质应用很广，务必掌握） 。
例 1 求以下各数的平方根和算术平方根（ 1） 64 ；（ 2） ( 3) 2； （ 3） 115； ⑷1 49( 3)2练习：已知 y1 2x2x 1 2, 求 x y 的值 .三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值 .我们知道，当 a ≥ 0 时， a 的平方根是±a ，而 (a) ( a ) 0.例 5、已知：一个正数的平方根是2a-1 与 2-a ，求 a 的平方的相反数的立方根.练习：若 2a3 和 a 12 是数 m 的平方根，求 m 的值 .四、巧解方程例 6、解方程（ 1）（ x+1）2=36（2） 27(x+1) 3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.(3) 15的整数部分为a,小数部分为 b,则 a=____, b=____我们已经知道 a 0 ,即a=0时其值最小,换句话(4)实数包含 ____________ 或 __________________；34 ，(5)以下各数： 3 5 ，，， 0，，说 a 的最小值是零.例 4、已知： y= a 2 3(b 1) ,当a、b取不一样的值0.121121112L ， 3 ，22．此中无理数有（）个7时，y 也有不一样的值a七、实数大小比较的方法. 当 y 最小时 , 求b的非算术平方根 .比较3和一、平方法 3 的大小2练习①已知x 3 y 3 (z 2)20 ，求xyz的值。
初中数学知识点归纳与习题答案
1.（1）只有非负数才有平方根和立方根；（2）如果a ，那么a ；（3）如果a ，那么；（4）立方根等于它本身的数有0，1，-1 ;（5）一个正数的平方根一定大于它的立方根。
A．1个 B 2个 C3个 D4个2.a．一个正数a的立方根，用符号“________”表示，其中a叫做________，根指数是________．b．平方根等于它本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．c．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根3.数轴：a.利用数轴可以比较有理数的大小，数轴上从左往右的点表示的数就是按从小到大的顺序。
b.利用数轴求不等式组的解p1-11 p3-194. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，其中的一个数叫做另一个数的相反数。
a的相反数是-a，0的相反数是0。
P1-1 p1-9 p3-205.绝对值：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离就叫做这个数的绝对值。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数。
0的绝对值是0。
公式|a|=? P1-2 p3-11 p3-226.科学计数法：a×10的n次幂的形式。
将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|<10，n表示整数，这种记数方法叫科学记数法。
1348=7.近似值与有效数字：a.四舍五入法：把3.15482分别保留一位、两位、三位小数b.对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.如：8.35=8.350=8.3500 p1-138.实数及分类： b.无理数是无限不循环小数。
不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
如圆周率、√2. P1-89.实数的运算：实数混合运算的顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常基础且重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及应用于实际生活中都有着广泛的用途。
下面就让我们来详细了解一下平方根与立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
即若 x²＝a，则 x 叫做 a 的平方根，记作 x ＝±√a。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、开平方求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。
开平方与平方互为逆运算。
例如，因为 5²＝ 25，所以√25 ＝ ±5。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3。
5、平方根的表示方法正数 a 的平方根表示为±√a，其中“√”读作“根号”，“±”表示正负两个值。
6、常见平方根（1）√1 ＝ 1，√4 ＝ 2，√9 ＝ 3，√16 ＝ 4，√25 ＝ 5 等。
（2）一些常见的无理数平方根，如√2 ≈ 1414，√3 ≈ 1732 等。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 x ＝³√a。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2，即³√8 ＝ 2。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方，其中 a 叫做被开方数。
开立方与立方互为逆运算。
4、立方根的表示方法数 a 的立方根表示为³√a。
(完整版)平方根与立方根及实数(综合提高).doc
平方根与立方根知识点小结及练习一、知识要点1、平方根 ： ⑴、定义：如果x 2=a ，则 x 叫做 a 的平方根，记作“a ”（ a 称为被开方数） 。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a”。
2、立方根 ：⑴、定义：如果x 3=a ，则 x 叫做a 的立方根，记作“3a”（a 称为被开方数） 。
⑵、性质：正数有一个正的立方根； 0 的立方根是 0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方） ：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方） 。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是 0 和 1；立方根是其本身的数是 0 和± 1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3、 a 本身为非负数，即 a ≥0； a 有意义的条件是 a ≥ 0。
4、公式：⑴ ( a )2=a （ a ≥ 0）；⑵ 3a =3a （ a 取任何数） 。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于 0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握） 。
例 1 求下列各数的平方根和算术平方根（ 1） 64 ；（ 2） ( 3) 2 ； （ 3） 115； ⑷1； （5） 100； （ 6） 25（ 7） 0.2549( 3) 2 121例 2 求下列各式的值（ 1）81 ； （ 2）16 ； （3）9； （ 4） ( 4) 2 .25（ 5） 1.44 ，（6）36 ，（7）25（8）( 25)2 49例 3、求下列各数的立方根：⑴ 343；⑵ 2 10；⑶ 0.729；（ 4） 343 ；（ 5）8 ；（ 6） -0.0064 ；（ 7） -729 27 216二、巧用被开方数的非负性求值.当 a≥ 0 时， a 的平方根是± a ，即a是非负数.例 4、若 2 x x 2 y 6, 求y x的立方根.练习： 1、已知y 1 2x2x 12, 求 x y的值.2、已知x 3 y 3 (z 2)20 ，求xyz的值。
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（6） x 2 a <—> x a
a 是 x 的平方
x 的平方是 a
x 是 a 的平方根
a 的平方根是 x
2、算术平方根
（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x 2 a ，那么这
个正数 x 叫做 a 的算术平方根．a 的算术平方根记为
a”，a 叫做被开方数． 规定：0 的算术平方根是 0.
3、已知 x、y 都是实数，且 y x 3 3 x 4 ，求 y x 的平方根。
知识点六：非负性的应用 1、已知实数 x，y 满足 x 2 +(y+1)2=0，则 x-y 等于
解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0， 解得 x=2，y=-1， 所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．
4
64
（2）
（3）
知识点三：利用平方根和立方根解方程
1、（1）（2x-1）2-169=0；
(x 2)3 125
（2） 4x2 121
（3）
知识点四：关于有意义的题
a 本身为非负数，有非负性，即 a ≥0； a 有意义的条件是 a≥0。 要使 1 有意义，必须满足 a 0.
a
1、若 a 的算术平方根有意义，则 a 的取值范围是（ ）
2、已知 a、b 满足 2a 8 b 3 0 ，解关于 x 的方程 a 2x b2 a 1。
3、若 x 1 (3x y 1)2 0 ，求 5x y2 的值。
（6） 3 a 3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
【典型例题分析】
知识点一：有关概念的识别
1、下列说法中正确的是（ ） A、 的平方根是±3 B、1 的立方根是±1 C、 =±1 D、 平方根的相反数
2、下列语句中，正确的是（ ） A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．一个实数的立方根不是正数就是负数 D．立方根是这个数本身的数共有三个
次方根），即如果 x3 a ，那么 x 叫做 a 的立方根
（2）一个数 a 的立方根，记作 3 a ，读作：“三次根号 a ”，
其中 a 叫被开方数，3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
（3） 一个正数有一个正的立方根； 0 有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根。
a2 a
；注意 a 的双重非负性：
- a （ a <0）
a 0
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：
区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根
的相反数。
3、立方根
（1）立方根的定义：如果一个数 x 的立方等于 a ，这个数叫做 a 的立方根（也叫做三
误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小
（5） x 2 a (x≥0) <—> x a
a 是 x 的平方
x 的平方是 a
x 是 a 的算术平方根
a 的算术平方根是 x
（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （ a 0）
a 0
是5的
3 、 下 列 说 法 中 ： ① 3 都 是 27 的 立 方 根 ， ② 3 y3 y ， ③ 64 的 立 方 根 是 2 ，
④ 3 82 4 。其中正确的有
A、1 个 B、2 个
C、3 个
D、4 个
（）
4、 0.72 的平方根是（
）
A． 0.7
B． 0.7
5、下列各组数中，互为相反数的组是（
也就是，在等式 x 2 a (x≥0)中，规定 x a 。
a ，读作“根号
（2） a 的结果有两种情况：当 a 是完全平方数时， a 是一个有限数；
当 a 不是一个完全平方数时， a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小） a 倍，例如错
（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关 系，检验其正确性，
求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即
3 a 3 a a 0 。
（5） x3 a <—> x 3 a
a 是 x 的立方 x 是 a 的立方根
x 的立方是 a a 的立方根是 x
（3）平方与开平方互为逆运算： 3 的平方等于 9，9 的平方根是 3
（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算
（5）符号：正数 a 的正的平方根可用 a 表示， a 也是 a 的算术平方根；
正数 a 的负的平方根可用- a 表示．
2、 (4)2
； 3 (6)3
； ( 196 )2 =
. 3 8=
.
3、① 2 +3 2 —5 2
② 7( 1 - 7) 7
③ | 3 2 | + | 3 2 |- | 2 1 |
④ 3 8 (2)2 1 4
4、（ 1 ） 3 27 ＋ (3)2 － 3 1
3 27 0 1 3 0.125 3 1 63
【基础知识巩固】
一、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数 x 的平方等于 a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根．即：
如果 x 2 a ，那么 x 叫做 a 的平方根．
（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数 必须是非负数才有意义。
A、一切数
B、正数
C、非负数
D、非零数
2、要使 2x 6 有意义，x 应满足的条件是
x 1 3、当 x ________时，式子 x 2 有意义。
知识点五：有关平方根的解答题 1、一个正数 a 的平方根是 3x―4 与 2―x，则 a 是多少？
2、若 5a＋1 和 a－19 是数 m 的平方根，求 m 的值。
A、－2 与 (2)2
B、－2 和 3 8
C． 0.7
）
C、－ 1 与 2 2
D． 0.49
D、︱Байду номын сангаас2︱和 2
知识点二：计算类题型 1、25 的算术平方根是_______；平方根是_____. -27 立方根是_______.
___________，
___________，
___________.