(完整版)一次函数的图像与性质

一次函数的性质和图像
目录
一、函数的定义
（一）、一次函数的定义函数。

（二）、正比例函数的定义
二、函数的性质
（一）、一次函数的性质
（二）、正比例函数的性质
三、函数的图像
（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置
（二）、一次函数的图像
1、一次函数图像的形状
2、一次函数图像的画法
（三）、正比例函数的图像
1、正比例函数图像的形状
2、正比例函数图像的画法
3、举例说明正比例函数图像的画法
四、k、b两个字母对图像位置的影响
K、b两个字母的具体分工是：
（一次项系数）k决定图象的倾斜度。

（常数项）b决定图象与y轴交点位置。

五、解析式的确定
（一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次
（二）用待定系数法确定解析式
六、两条函数直线的四种位置关系
两直线平行，k1= k2，b1≠b2
两直线重合，k1= k2，b1=b2
两直线相交，k1≠k2
两直线垂直，k1×k2=－1
（一）两条函数直线的平行
（二）两条函数直线的相交
（三）两条函数直线的垂直
一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数
这一节我们要学习正比例函数和一次函数。

一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。

因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。

正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。

在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因
而字母k就取名为比例系数。

确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。

但是，在一次函数y=kx+b和二次函数y=ax2+bx+c中，我们从观察解析式就可以看出，函数y与自变量x之间没有相直接对应的比例关系，因此这两种函数自变量x前面的k，就不能叫比例系数，只能叫常数。

若欲确定一次函数或二次函数的解析式时，题意仅已知常数k还不行，还需要其他常数如b、c等常数的协助。

函数是初中数学最难的内容，特别是四种函数都学完之后，把各种函数甚至几何图形综合出题，考查你对函数基本知识如概念、性质、图像等的掌握，对公式的记忆和你的综合分析能力，也是出题最后环节大应用题的精彩压轴戏。

尽管大纲要求降低对学生掌握函数难度的要求，但应试教育下函数仍应该引起同学们对函数学习的足够重视。

从上面初中数学代数知识结构框架图可以看出，初中所学函数包括一次函数、反比例函数和二次函数。

一次函数是入门课，而且在八年级下学习反比例函数，九年级下学习二次函数时，都还要解决这后面学习的两种函数与一次函数的交叉计算的问题，所以学好一次函数和正比例函数，对打好函数的基础十分重要。

一、函数的定义
（一）、一次函数的定义
一次函数定义
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数，当b=0时，即y=kx，这时就是正比例函数。

关键词：
①、自变量x的次数只能为1次；；
②、k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1
③、一次项系数k不为0，而且x不能为分母（那就成为反比例函数了），而且x也不能在根号里面。

一次函数解析式的判断
根据一次函数y=kx+b的定义来判断：①、判断是否能化成y=kx+b自变量次数为1的定义式。

②、看它是否符合定义的这些条件“k、b为常数，k≠0，自变量次数为1”；
判断一个函数是不是一次函数，首先对式子进行化简后，判断标准是：未知数的次数只能是1次，而且未知数x不能在分母或者根号里面。

自变量x
和因变量y有如下关系：y=kx+b，则此时称y是x的一次函数。

（二）、正比例函数的定义
正比例函数定义
一般地，形如定义式y=kx(k是常数，k≠0)，自变量x与函数y之间是k
倍关系的函数，叫做正比例函数。

其中，k叫做比例系数。

一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。

正比例函数是一次函数解析式b＝0（即所谓“y轴上的截距”为零）时的特殊情况。

当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.因此，正比例函数就是一次函数；一次函数不一定是一次函数。

正比例函数解析式的判断
根据正比例函数y=kx+b的定义来判断：①、判断是否能化成y=kx自变量次数为1的定义式。

②、看它是否符合定义的这些条件“k为常数且≠0，自变量次数为1”。

试判断下列函数中是正比例函数的是
答：①是反比例函数；②自变量系数为0，不是函数；③是一次函数；④是。

正比例函数是一次函数解析式b＝0（即所谓“y轴上的截距”为零）时的特殊情况。

当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.因此，正比例函数就是一次函数；一次函数不一定是一次函数。

（三）、一次函数与正比例函数的关系
正比例函数属于一次函数。

（四）、自变量x取值范围的确定
自变量X的取值范围应使解析式有意义。

整式，x取一切实数；
分式，x取分母不为零的数；
二次根式，x取使被开方数为非负数的数；
实际问题则需要根据实际情况来确定.
（五）、求函数y的取值范围：
根据自变量的取值范围确定函数的取值范围
1、解不等式法
2、图象法
二、函数的性质
（一）、一次函数的性质
当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，是增函数（即y 随着x的增大而增大）。

当b＞０时，直线必通过第二象限；当b＜0时，直线必通过第四象限
当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，是减函数（即y 随着x的增大而减少）。

当b＞０时，直线必通过第一象限；当b＜0时，直线必通过第三象限。

（二）、正比例函数的性质
一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.。

正比例函数y=kx(k≠0)的性质：
当k＞0时，函数图像经过第一、三象限；自变量x逐渐增大时，函数值y 也在逐渐增大；（也就是“提”的走向）
当k＜0时，函数图像经过第二、四象限；自变量x逐渐增大时，函数值y 反而减小。

（也就是“捺”的走向）
归纳为一句话，正比例函数图象的性质归根结底看k的符号。

即： k＞0 提（一、三，增大）；
k＜0 捺（二、四，减小）
三、函数的图像
（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置
正比例函数y=kx(k≠0)是经过(0,0),(1,k)两点的一条直线；
一次函数y=kx+b(k≠0)是经过(0,b),（-b/k，0）两点的一条直线。

因此，一次函数的图象和正比例函数的图象也称为直线y=kx，y=kx＋b。

理由是：
当直线经过x轴，与x轴相交时，y=0，则kx+b=0,则x= -b/k.点的坐标为(-b/k,0)当直线经过y轴，与y轴相交时，x=0，在kx+b=y中，b=y,则点的坐标为(0,b).
为什么一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是一条直线？因为坐标满足一次函数解析式的点都在直线上；而图象上点的坐标都满足一次函数解析式。

解释：A、当x=0，y当然就等于=b，所以第一个数对点是（0，b）
B、当y=0，x当然就等于= -b/k，所以第二个点是（-b/k，0）
一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-b/k,0)的一条直线
（二）、一次函数的图像
1、一次函数图像的形状
总结：一次函数y=kx+b的图象有以下特点：
分析：⑴、在函数y=2x+6中，k>0，y的值随x值的增大而增大；在函数y= -x+6中，y的值随x值的增大而减小。

⑵、由上可知，一次函数y=kx+b中，y的值随x的变化而变化的
情况跟正比例函数的图象的性质相同。

对照正比例函数图象的性质，可知一次函数的图象不同之处是不过原点，但是和两个坐标轴相交。

在作一次函数的图象时，也需要描两个点。

一般选取（0，b），（-b/k，0）比较简单.
2、一次函数图像的画法
一次函数y=kx＋b的图象的画法：根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。

一般情况下是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（-b/k，0）.即横坐标或纵坐标为0的点。

画一次函数的图象通通如下三个步骤：
（1）列表：画一次函数y=kx＋b(k≠0)图像先要列表只取两个点
x0-b/k
y b0
（2）描点：根据“两点确定一条直线”的原理描出两个坐标点,
（3）连线：将描出的两个坐标点连接连成一条直线。

参考课件：一次函数的图像（三）、正比例函数的图像
1、正比例函数图像的形状
正比例函数的图像
解析式图像图像分布函数变化情况
k.>0（提）k<0（捺）k>0（提）k<0（捺）
y=kx (k≠0)是经过原
点（0,0）和
（1，k）的
一条直线。

一、三
象限
二、四
象限
y随着的x
增大而增
大
y随着x的
增大而减
小
总结：正比例函数的图象有以下特点：
（1）正比例函数的图象都经过坐标原点。

（2）作正比例函数y=kx的图象时，除原点外，还需找一点，一般找（1，k）点。

（3）在正比例函数y=kx的图象中，当k>0时，k的值越大，如3，函数图象与x 轴正方向所成的锐角越大。

k的值越小，如1/3，函数图象与x轴正方向所成的锐角
越小。

（4）在正比例函数y=kx的图象中，当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小。

2、正比例函数图像的画法
例1：如果你不用两点法，而是想多描一些点，可以如下例。

但是，两点决定一条直线，有两点就够了，不过下面仅是为了举个例子
看一下，倒也无妨。

下面是实际中只用两个点画正比例图像的两个例子:例① y=x;例② y= -1/2。

画正比例函数的图象有如下三个步骤
（1）列表：画正比例函数y=kx＋0(k≠0)图像先要列表，像一次函数一样，只取两个点，但其中有一个点的坐标必须在原点
x01
y0k
（2）描点：根据“两点确定一条直线”的原理描出两个坐标点,
（3）连线：将描出的两个坐标点连接连成一条直线。

提示：根据正比例函数的图象是经过原点O（0，0）的一条直线及几何中知识：两点确定一条直线，所以画正比例函数的图象只需要确定出图象上两个点，其中有一个点是（0,0）的位置，过这两个点画出的直线就是正比例函数的图象。

3、举例说明正比例函数图像的画法
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四、k、b两个字母对图像位置的影响
K、b两个字母的具体分工是：
（一次项系数）k决定图象的倾斜度。

当k>0时，
k的值越大，如数字3，函数图象与x轴正方向所成的锐角越大。

k的值越小，如数字1/3，函数图象与x轴正方向所成的锐角越小。

当k＜0时，与上相反。

（常数项）b决定图象与y轴交点位置。

b
b=0直线正好与坐标交与原点；
b＞0，不论直线向哪边倾斜（无非只有两种倾斜角度），直线与y轴交于上
半轴。

当b＜0时，直线与y轴则交于下半轴。

K、b字母正负方向符号对直线位置的影响：
当k>0时,y随x的增大而增大.图像经过一、三象限.
当k<0时,y随x的增大而减小.图像经过二、四象限.
当b>0时,图象与y轴的交点在x轴的上方.
当b<0时,图象与y轴的交点在x轴的下方.
当k>0时,直线与x轴的正方向夹的角是锐角。

k的值越大,锐角的度数越大，
如3。

k的值越小，锐角的度数越小大，如1（见下图）。

如果k是分数，如1/3，
则与x轴的夹角就更小。

当k<0时,直线与x轴的正方向夹的角是钝角,k的值越大,钝角的度数越大。

（见下图）
或者还可以单独把b归纳：b 决定直线与y轴交点的位置,
当b＞0时，直线交y轴于在x轴的上方的正半轴，必通过一、二象限；
当b＜0时，直线交y轴于在x轴的下方的负半轴，必通过三、四象限；
当b=0时，直线通过原点当b=0时，直线通过原点。

典型例题对比分析
强烈地感到一次函数直线y=kx＋b中，决定这条直线位置的两个符号k和b的分工非常明确，各司其责。

k是管象限和倾斜度的（决定直线的方向，上升或时下降）。

系数k都相同，k都等于3，那就说明既然K的大小相同，那象限和倾斜度就都相同。

这时不管b的数字是多少，三条线肯定平行。

b是直线与y轴交点的纵坐标，是管上下的。

负责把直线在与y轴的交点上下移动。

b>0,交y轴正半轴；b<0交y轴负半轴；b=0.交于原点。

b符号决定直线与y轴交点的位置。

例如有三个一次函数①y=2x、②y=2x＋3、③y=2x -3图象比较如下：
①本题三条直线k都是正号，说明都在一、三象线；②系数k都是2，说明倾斜度都相同；③但b不相同，因此它们是互相平行的关系。

当然如果式子全相同这些直线就互相重合了。

直线与数轴有交点说明什么？
直线与x轴有交点，说明y=0，x有数值；
直线与y轴有交点，说明x=0，y有数值。

五、解析式的确定
（一）一个点坐标可以确定正比例函数，两个点坐标可以确定一次函数
待定系数法确定正比例函数、一次函数的解析式。

由坐标点变成解析
式，要靠
一个点决定正比，两个点决定一次。

一点，指一个坐标点。

两点，指两个坐标点（a、b）（c、d）
通常只知道一个点就可用待定系数法确定出正比例函数的解析式；知道
两个点便可确定一次函数解析式.
（二）用待定系数法确定解析式
确定一次函数解析式就是确定y=kx+b中k和b的值，确定一次函数解
析式最常用的方法就是待定系数法。

待定系数法解题步骤有四步：
①首先设出一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）。

②将数对（，）（，）代入，得出二元一次方程组。

③解方程组求出k和b的值。

④将k和b代入y=kx+b，列出解析式。

在具体题目中要根据所给条件，采取适当的方法灵活求解。

举例1 ：
举例2 (福州)如果直线y=ax+b经过第一、二、三象限,那么ab与0之间是什么关系？( 填“>”、“<”、“=”).
分析:已知直线y=ax+b经过第一、二、三象限,可根据直线y=kx+b 中当k>0直线过第一、三象限,b>0时交y轴于正半轴来判断.
解:由题意可画出草图,由图可知a>0,b>0,∴ab>0,故答案为>.
举例2 (青州)下列图形中,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m、n是常数且mn≠0)图象是( )
解析:对于两不同函数图象共存同一坐标系问题,常假设某一图象正确而后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题.例
如, 假设选项B中的直线y=mx+n正确则m<0,n>0,mn<0则正比例函数y=mnx则应过第二、四象限,而实际图象则过第一、三象限,∴选项B错误.同理可得A正确.。