高数上册第三章微分中值定理和导数的应用习题答案
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《高等数学教程》第三章 习题答案
习题3-1 (A)
1. 34=
ξ 2. 14
-=
π
ξ
习题3-2 (A)
1. (1)31 (2) 8
1
- 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31
e e --∞
习题3-2 (B)
1. n a a a e e 21)8(1
)7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)1(--
2. 连续
4. )(a f ''
5. )0()1(g a '=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+''≠--+'='0
]
1)0([210
]c o s )([]s i n
)([)()2(2
x g x x x x g x x g x x f
(3) 处处连续.
习题3-3
1. 432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f
2. 193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f
3. )40(,)
(cos 3]2)()[sin sin(31tan 4
523<<++
+=θθθθx x x x x x x
4.
)10()]
4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(41243
2<<-+--
-+---+=θθx x x x x x
5. )10()
(!
)1(2132
<<+-++++=θn n
x
x O n x x x x xe
6. 645.1≈e
7. 430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--⨯<≈⨯<≈R R
8. 12
1)3(2
1)
2(2
3
)
1(-
习题3-4 (A)
1. 单调减少
2. 单调增加
3. .),2
3
()23,()1(内单调下降在内单调上升;在+∞-∞
.),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少;在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞
.),21
()21,()4(内单调增加
在内单调减少;在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降在上单调上升;,在+∞n n
7. (1) 凸 (2) 凹 (3)内凸内凹,在在),0[]0,(+∞-∞ (4)凹 8. )
,(内凹,拐点内凸,在)在(82),2[]2,(1-+∞-∞ )
,(内凹,拐点内凸,在)在(22
2),2[]2,(2e
+∞-∞ 内凹,无拐点)在(),(3+∞-∞
)
,(),(:内凹,拐点,内凸,在),,)在(2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞ )
,(内凸,拐点内凹,在)在(3arctan 2
1),21[]21,(5e +∞-∞ )
,(凹,拐点),、凸,在、)在(001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞ 9. 2
9
,32=-=b a
10. a = 3, b = -9, c = 8
11. a = 1, b = -3, c = 24, d = 16
习题3-4 (B)
1. .)1,2
1
(),1()21,0()0,()1(内单调增加在内单调减少;、、在∞+-∞
.]22,32[]32,2[)2(内单调下降
在内单调上升;在π
ππππππ+++k k k k .],32
[),[]32,()3(内单调下降
在内单调上升;、在a a a a ∞+-∞ 2. .1
)3(10)2(1)1(是有一个实根时有两个实根时无实根e
a e a e a =<<>
3. .)2
,
0(内只有一个实根在π
8. .9
3
20时及当=
≤k k 9. 在)(凹,拐点凹,在2,),[],(a b b b +∞-∞ 12. 8
2
±
=k 习题3-5 (A)
1. .1)2(,5)0()1(==y y 极小值极大值
.0)0(,4)2()2(2==-y e y 极小值极大值
.25)16(,1)4()3(==y y 极小值极大值
.205101
)512()4(=y 极大值
.4
5
)43()5(=y 极大值
.0)0()6(=y 极小值 (7) 没有极值. .)
()8(1
e e e y =极大值
.3)1()9(=y 极大值
.0)5()1(,188
81
)21()10(3==-=y y y 极小值极大值
2. .14)2(,11)3()1(-==y y 最小值最大值
.22)2ln 2
1
(,2)1()2(1=-+=-y e e y 最小值最大值
.2ln )4
1
(,0)1()3(-==y y 最小值最大值
3. 提示:可导函数的极值点必为驻点,.在题设条件下无驻点所以可证明y '
4. .29)1(-=y 最大值
5. .27)3(=-y 最小值
6. .3)3
2
(,2为极大值==f a
7. .2
1
,2-=-=b a
8. 长为100m ,宽为5m.
9. .1:1:;22,233
===h d v h v r π
π 10. .44π
πππ++a
a ,正方形周长为圆的周长为
11. .3
8
43a a h π时,最小体积为锥体的高为=
12. .22.1.77
6
小时时间为公里处应在公路右方
13. .6000)2(1000)1(==x x
14. .45060075.3元件,每天最大利润为元,进货量为定价为 15. .167080,101利润=p
习题3-5 (B)
1. 1,0,4
3
,41==-==
d c b a 2. x = 1为极小点,y (1) = 1为极小值
3. 当c = 1时,a = 0,b = -3,当c = -1时,a = 4,b = 5.
4. 296)(23++-=x x x x P
5. (1) f (x ) 在x = 0处连续;(2) 当e
x 1
=时,f (x ) 取极小值;当 x = 0时f (x ) 取极大值. 6. 3
10=
x 当时,三角形面积最小