交大大物第四章习题答案

习题

4-1. 如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：

（1）质点所受合外力的冲量I ；

（2）质点所受张力T 的冲量I T 。

解：

（1）根据冲量定理：⎰⎰∆==t

t P P d dt 00

P P F 其中动量的变化：0v v m m -

在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以本题中质点所受合外力的冲量I 为零

（2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。 重力产生的冲量=mgT=2πmg /ω；所以拉力产生的冲量=2πmg /ω，方向为竖直向上。

4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度 =4ms 。已知其中一力F 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：

（1）力F 在1 到3 间所做的功；

（2）其他力在1 到 间所做的功。

解：

（1）由做功的定义可知：

J S v Fdt v Fvdt Fdx W x 6.1253

131x 21=⨯====⎰⎰⎰椭圆 （2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F 做的功为125.6J 时，其他的力的功为-125.6J 。

4-3.质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为j i r t b t a ωωsin cos +=，求：

（1）质点在任一时刻的动量；

（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。

解：（1）根据动量的定义：(sin cos )P mv m a t b t ωωωω==-+i j

（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。

4-4.质量为M =2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m =20g 的子弹以0v =600ms 的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小v =30ms ，设穿透时间极短。求：

（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；

（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。

解：

（1）解：由碰撞过程动量守恒可得： 10Mv mv mv +=

代入数据 123002.060002.0v +⨯=⨯ 可得：s m v /7.51=

根据圆周运动的规律：T-G=2v M R

2184.6v T Mg M N R =+= （2）根据冲量定理可得： s N mv mv I •-=⨯-=-=4.1157002.00

4-5. 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为m /s kg 102.122⋅⨯-，中微子的动量为236.410kg m/s -⨯⋅，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为

kg 108.526-⨯，求其反冲动能。

由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式：

ααcos sin 21m m =

ααsin cos 21m m P +=

所以221.410/P kg m s -=⨯• 9.151=-=απθ

（2）反冲的动能为：2180.17102k P E J m

-==⨯

4-6. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为3/1044005t F ⨯-=，子弹从枪口射出时的速率为m/s 300。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：

（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t ；

（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I ；

（3）子弹的质量。

解：（1）由3/1044005t F ⨯-=和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到：03/1044005=⨯-=t F 算出t=0.003 。

（2）由冲量定义：

0.0030.0030.003552000400410/3400210/30.6I Fdt t dt t t N s ==-⨯=-⨯=•⎰

⎰（）

（3）由动量定理：0.003

00.60.6/3000.002I Fdt P mv N s m kg

==∆==•==⎰所以：

4-7. 有质量为m 2的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为c x 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。

解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为x c 。 112212c m x m x x m m +=+ 因为12m m m ==，12

c x x = 故 2223,42

c c c mx mx x x x m +=

= 4-8. 两个质量分别为1m 和2m 的木块B A 、，用一劲度系数为k 的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A 紧靠墙。今用力推B

块，使弹簧压缩0x 然后释放。（已知m m =1，m m 32=）求：

（1）释放后B A 、两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；

（2）弹簧的最大伸长量。

解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B 木块的动能，然后B 带动A 一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。

2

020222

121kx v m = v v 2）（2102m m m += 所以m

k x v 3430= （2）

221220222

12121v m m kx v m ）（++= 那么计算可得：021x x = 4-9. 二质量相同的小球，一个静止，一个以速度0与另一个小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数5.0=e .

解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得

（1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：mv mv 20= 所以：02

1v v = （2）假设碰撞是完全弹性的，

210mv mv mv +=

2221202

12121mv mv mv += 两球交换速度， 01=v 02v v =