用1.1.6旋转体的结构特征(圆柱、圆锥、圆台、球)

方法总结：解决圆 (2)如图所示，延长 BA，OO1，CD，交于点 S， 台问题，一般都需 设截得此圆台的圆锥的母线长为 l， 要把圆台恢复到圆 l－12 2 锥，然后利用轴截 则由△SAO1∽△SBO 可得 ＝ ， l 5 面和相似关系解决！ 解得 l＝20 cm.
即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm.
∴AB′＝ AB2＋BB′2＝ 4＋16π2 ＝2 1＋4π2. 所以蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋4π2.
题型三、球的轴截面 过球心的截面称为球的轴截面. 不过球心的截面称为球的一般截面. 右图中是球截面的一个很重要的轴截面，在 计算问题中常常用到里边的红色的Rt三角形.
O′ d R
R
r
O
例 已知球心到球的一个截面的距离为5,截面圆的半径为12,求球的半径. 解：如图，∵球O的一个截面的半径为12， 设截面的半径为r，r=12， 又∵球心O到这个截面的距离d=5， 则球的半径 R r 2 d 2 122 52 13. 故答案为：13． O′ R 5
侧面展开图
母线
相交于顶点
平行于底面 与两底面是平行且 平行于底面且半 半径相等的圆 的截面 径不相等的圆 轴截面 矩形 等腰三角形
与两底面是平行但 全体截 半径不相等的圆 面都是 圆 等腰梯形 圆
达 标 训 练
1.(2014•福建)以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正 方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ A ） A．2π B．π C．2 D． 1 2.（2013•江西一模）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1上、下底面中心 分别为O1，O2将正方体绕直线O1O2旋转一周，其中由线段BC1旋转所得图 形是（ ） D
A．
B．
C．
D．
3.下列说法一定正确的是（ D ） A．直角三角形绕其一边旋转形成圆锥 B．等边三角形绕其一边旋转形成圆锥 C．平面截圆锥所得的图形是圆 D．过圆锥顶点的截面图形是等腰三角形
达 标 训 练
4.圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、 下两段的比为 . 1: ( 2 1) 5.以下命题正确的是（C ） A．直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台 6.在图中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上 2 的两点，圆柱的高为3，底面半径为 ，若从M点绕圆柱体的侧 π 面旋转到达N点，则最短路程是（ D ） A．3 B．7 C．8 D．5
题型二、旋转体的侧面展开图 例 如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围 绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
[规范解答] 把圆柱的侧面沿 AB 剪开， 然后展开成为平面图形 ——矩形， 如图所示， 连接 AB′， 则 AB′即为蚂蚁爬行的最短距 离.4 分 ∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长， 且 AA′＝2π×1＝2π，6 分 ∴AB′＝ A′B′2＋AA′2＝ 4＋2π2＝ 2 1＋π2，10 分 所以蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋π2.12 分
A．
B．
C．
D．
9.用任一平面去截下列几何体，截面一定是圆面的是（ C ） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．圆台
达 标 训 练
10.经过旋转可以得到图中几何体的是下列图中的（ A ）
A．
B．
C．
D．
11.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是 ( B ) A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．以上都有可能 12.用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台的上、下底面 40 的半径之比是1：4，圆台的母线长10cm．求此圆锥的母线长 cm. 3 13.圆台的上、下底面面积分别为π和49π，过其轴的中点且平行两底的截 面面积为 . 16π 14.圆台的上、下底面半径分别为6和12，平行于底面的截面自上而下分母 线为2：1两部分，则截面的面积为 ． 100π
[解题过程] ①中以直角三角形的直角边为轴旋 转所得的旋转体是圆锥， 以斜边为轴旋转所得的旋 转体是两个圆锥的组合体．故①不正确． ②中以直角梯形中垂直于底边的腰为轴旋转所得 的旋转体是圆台， 以不垂直底边的腰为轴旋转所得 的旋转体是圆柱和圆锥的组合体，故②不正确． ③正确． ④中用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 得到一个 圆锥和一个圆台． 若截面不平行于底面， 则不能得 到一个圆锥和一个圆台，故④不正确．
达 标 训 练
7.下列命题正确的是（ A ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆半径 8.充满气的车轮内胎可由下面哪一个图形绕对称轴旋转得到（ D ）
练 2．给出下列四种说法： 习 ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是( C ) A．①② B．②③ C．②④ D．①③
R 12
O
练习 1.半径为5的球被一个平面截得的截面面积为9π，则 这个平面与球心的距离为（ B ） A．3 B．4 C． 5 D． 6 2.已知球的两个ห้องสมุดไป่ตู้行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心 的同一侧且距离为1，则球的半径是 3． 3.半径为10cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分 别为36π cm2，64πcm2，求这两个平行平面的距离． 2cm或14cm O′ O
练 3.判断下列说法是否正确，并说明理由． 习 (1)空间中到定点的距离等于定长r的点的集合，构成半径为r的球．× (2)空间中到定点的距离等于定长r的点的集合，构成半径为r的球面． √ (3)一个圆绕其直径旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球．√ (4)球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个．× (5)用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面．× 解析： (1)不正确，满足定长的点仅仅构成 一个球面，条件改为“小于等于 r”即可． (2)正确 (3)正确 (4)不正确．对称中心只有一个，即球心． (5)不正确．用平面去截球，无论平面角度如
性质1：平行于底面的截面都是圆.
动脑想一想
思考题2: 过圆柱，圆锥，圆台的旋转轴的截面是什么图形？
性质2：过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、全等的等腰三角形、全等的 等腰梯形. (这些图形称为它们的特征图形，在做题中经常用到.)
四、球的结构特征
1.球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形 成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球。
母线
S
直角三角形
O
A
2.圆锥的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO。 3.圆锥与棱锥统称为锥体。
S 轴 侧面 母线
棱锥 椎体 圆锥
B
O
A 底面
动脑想一想
棱锥可以被截成棱台， 那么，圆锥呢？
三、圆台的结构特征
1.定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间 的部分，这样的几何体叫做圆台。
与两底面是全等 的多边形 平行四边形
梯形 延长线交于一点
与两底面是相似 的多边形
相交于顶点
与底面是相似 的多边形 三角形
过不相邻两 侧棱的截面
梯形
圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较
结构特征 定义 底面 两底面是平行且半 径相等的圆 矩形 平行且相等 圆 扇形 两底面平行但半 径不相等 扇环 延长线交于一点 无 不可 展开 无 圆柱 圆锥 圆台 球
O1
矩 形
O
A’ A’ O’
母 （4）无论旋转到什么位置,不垂直于轴 线
B’
轴
的边都叫做圆柱的母线。
A O
侧 面
底面
B
2.圆柱的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO1。
3.圆柱与棱柱统称为柱体。
O
母 线
棱柱 柱体 圆柱
侧 面
O1
轴 底面
二、圆锥的结构特征 1.定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 （1）旋转轴叫做圆锥的轴。 侧面 （2） 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥 的底面。 （3）不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥 的侧面。 （4）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫 做圆锥的母线。 底面 轴
1.1.6旋转体的结构特征
——圆柱、圆锥、圆台、球
旋转一周。。。
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
圆柱
圆锥
圆台
球
一、圆柱的结构特征
圆柱定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴， 其余三边旋转形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱。 （1）旋转轴叫做圆柱的轴。 （2） 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫 做圆柱的底面。 （3）平行于轴的边旋转而成的曲面 叫做圆柱的侧面。
D
O
E
(y-10):y=O′D:OB=1：4， ∴4(y-10)=y，
40 y (cm) 3 40 答：圆锥的母线长为 cm. 3
10cm
B
O
C
A
D
O
E
B
O
C
题型一、旋转体的概念 ③ ．(填序号) 例 下列叙述中正确的是________ ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； ③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
性质3：用一个平面去截球体得到的截面是一个圆。
圆柱、圆锥、圆台、球性质小结
性质1：平行于底面的截面都是圆. 性质2：过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、全等的等 腰三角形、全等的等腰梯形.(这些图形称为它们的特征图形， 在做题中经常用到.) 性质3：用一个平面去截球体得到的截面是一个圆。
题型一、旋转体的概念 1.把一个圆锥截成 圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线 长为10cm，求圆锥的母线长。 A 解：设圆锥的母线长为 y ，则有
[规律总结 ]
解此类题的关键要清楚几何体的
侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理 的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展 开图：
练 习
1.若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行的 最短距离是多少？
解析： 可把圆柱展开两次，如图，则 AB′ 即为所求，AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π，
课堂小结
以上我们学习了柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征.
简单几何体的结构特征
柱体
棱柱 圆柱 棱锥
锥体 圆锥
台体 棱台 圆台
球
棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较
结构特征 定义 底面 侧面 侧棱 平行于底面 的截面 两底面是全等 的多边形 棱柱 棱锥 棱台
多边形
三角形
两底面是相似的 多边形
平行四边形 平行且相等
圆台的第二定义：以直角梯形的垂直底边的腰所在直线为旋转轴， 其余三边边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆台。
2.圆台的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆台OO′ 3.圆台与棱台统称为台体。
棱台 台体 圆台
O' 底面 轴 侧面 母线 底面
O
动脑想一想
思考题1：平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的截面是什么图形？
何变换、截面总是圆面．
练 习
4.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长． 分析：在圆台的轴截面是等腰梯形，注意轴截面中的相似关系．
解析： (1) 圆 台 的 轴 截 面 是 等 腰 梯 形 ABCD(如图所示)． 由已知可得上底一半 O1A＝2 cm， 下底一半 OB＝5 cm. 又因为腰长为 12 cm， 所 以 高 AM ＝ 122－5－22 ＝3 15(cm)．
（1）半圆的半径叫做球的半径。 （2）半圆的圆心叫做球心。 （3）半圆的直径叫做球的直径。 （4）半圆弧旋转所成的曲面叫球面. 半径
轴 直径
O
球心
球面的第二定义:空间中,到定点的距离等于定长的所有点围成的几何 体.
2.球的表示：用表示球心的字母表示，如球O.
A
直径 半径
O
球心 B
想 用一个平面去截球体得到的截面是 一 想 什么图形？ ？