《二次根式PPT课件》
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2
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
1:从运算顺序来看,
a 先开方,后平方
2
2
a 先平方,后开方
a取任何实数
2
2.从取值范围来看,
a
2
a≥0
a2
3.从运算结果来看:
a =a
a
2
=∣ a ∣ =
a (a≥ 0)
-a (a＜0)
代数式
用运算符号（＋，－，×， ÷，乘方，开方）把数或者 表示数的字母连接而成的式 子叫做代数式
2
a a 2 (a ＜ 0) a a
2
(a≥0)
a a
2
a (a≥0)
-a (a＜0)
文字描述：一个数平方的 算数平方根等于它的绝对 值，当这个数是非负数 时，结果是它本身，当这
个数是负数时，结果是它 的相反数。
例3：化简
(1) 16 (2) (5)
2 2
(3) (5) ( 4) 5
读作： 根号a
规定：0的算术平方根是0
探究
a
即a≥0
1、a可以取任何数吗？被开方数a是非负数， 2、 a 是什么数？
a ≥0 （2） a 是非负数，即 也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。 负数不存在算术平方根，即当 a小于0 时， a 无意义。 如： - 6 无意义 。 非负数
a
≥0 （a≥0）
（1） 定义不同： “如果一个数X的平方 等于a，那么这个数X叫做a的平方根”， “如 果一个正数x的平方等于a,即 x =a,那么这个 正数x叫做a的算术平方根”。
2
（2）个数不同：一个正数有两个平方根， 而一个正数的算术平方根只有一个。 （3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示 为 a ，而正数a的平方根表示为 a
－ a
表示 a的算术平方根的相反数
a
2 x =
表示 a的平方根
a
X＝ a
平方根与算术平方根的联系与区别
术平方根，算术平方根是平方根的 一种 （2） 存在条件相同：平方根和算 术平方根的被开方数都具有非
联系 （1）具有包含关系:平方根包含算
负性 （3） 0的平方根和算术平方根 都是0。
• 区别
二次根式的定义:
形如 a ( a 0 ) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0 （双重非负性） .
(
4 )2 4
( 0.01) 2 0.01
1 1 2 ( ) 3
3
( 0 )2 0
a a
2
(a≥0)
文字描述：一个非负数的算术 平方根的平方等于它本身
2
解:
a 2005 0 a 2005 | 2004 a | a 2004 a 2004 a 2004
2
a 2005 a
a 2005 2004 a
a 2005
2
a a 2005 2005
例2：计算
(1)( 1.5)
2 2 2
(2)(2 5)
(3)(3 3)
4 4
2
0.01 0.01
2
1 1 3 3
2
0 0
2
a a (a≥0)
2
(4) 4
2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 0.01 (0.01) 3 3
2
2
a a (a ＜ 0)
2
练习： 1.计算 : 1 2. 7
2 2
1.
0 .3
2
3.
4.
10
2
练习2:
1
1 2
2
2
2 1
2 x 1
(x>0 )
x 1
2
2
3
x 2 xy y x y (x﹤y) yx
2 a 0，
而 2 a b2 0
2 a 0 ， b2 0
a 2 ， b 2
2 2
原式 a b 1 2 2 1 2 1 3
2 2
已知| 2004 a | a 2005 a, 求a 2004 的值 .
二次根式
一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即 x = a , 那么这个正数 x 叫做 a的 算术平方根 ， 即x = a , a 的算术平方根记为 a, 读作:“ 根号a ”，
2
a 叫做被开方数，
像正数
2 3 =9,
把正数3 叫做9的算术平方根…
请熟悉： 根指数
简写为： a
2
根号
a
被开方数
(4)-4的平方根是什么?为什么 没有平方根
议一议
从上面的回答中,你发现了什么?
（1）一个正数有几个平方根？它们是什么关系？
（2）0有几个平方根？ （3）一个负数呢？
平方根的性质
• 一个正数a有两个平方根, 它们互为相反数
• 0只有一个平方根，它 是0本身 • 负数没有平方根.
概念区分
a
表示 a的算术平方根
5的平方根表示为： 5，
25 25 25 5 的平方根表示为： 36 36 36 6
0 0的平方根表示为：
规定：
0 0.
0 0
所以， 0的平方根仍是 0
平方根有什么性质？
讨论
±12 0 ±8/11
试一试: (1)144的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? 64 (3) 121 的平方根是什么?
非负数
算术平方根具有双重非负性
算术平方根的性质
• 正数有一个正的算术平方根;
• 0的算术平方根，是0本身；
• 负数没有算术平方根.
定义
一般的，如果一个数x的平方等于a,即x2＝a,
那么这个数x叫做a的平方根或二次方根
a的平方根表示为
a
读作：正，负根号a
求一个数a的平方根
的运算叫做开平方
例如：4的平方根表示为： 4， 4 2
化简下列各式:
(1)(3 2 ) (2 3 )
2
2
(2) (5) ( 5 )
2 2
2
(3) m 16m 64(m 8) (4) a b (a 0, b 0)
2 2
若a.b为实数,且
2 2
2 a b2 0
b2 0
求 a b 2b 1 的值
解:
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
1:从运算顺序来看,
a 先开方,后平方
2
2
a 先平方,后开方
a取任何实数
2
2.从取值范围来看,
a
2
a≥0
a2
3.从运算结果来看:
a =a
a
2
=∣ a ∣ =
a (a≥ 0)
-a (a＜0)
代数式
用运算符号（＋，－，×， ÷，乘方，开方）把数或者 表示数的字母连接而成的式 子叫做代数式
2
a a 2 (a ＜ 0) a a
2
(a≥0)
a a
2
a (a≥0)
-a (a＜0)
文字描述：一个数平方的 算数平方根等于它的绝对 值，当这个数是非负数 时，结果是它本身，当这
个数是负数时，结果是它 的相反数。
例3：化简
(1) 16 (2) (5)
2 2
(3) (5) ( 4) 5
读作： 根号a
规定：0的算术平方根是0
探究
a
即a≥0
1、a可以取任何数吗？被开方数a是非负数， 2、 a 是什么数？
a ≥0 （2） a 是非负数，即 也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。 负数不存在算术平方根，即当 a小于0 时， a 无意义。 如： - 6 无意义 。 非负数
a
≥0 （a≥0）
（1） 定义不同： “如果一个数X的平方 等于a，那么这个数X叫做a的平方根”， “如 果一个正数x的平方等于a,即 x =a,那么这个 正数x叫做a的算术平方根”。
2
（2）个数不同：一个正数有两个平方根， 而一个正数的算术平方根只有一个。 （3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示 为 a ，而正数a的平方根表示为 a
－ a
表示 a的算术平方根的相反数
a
2 x =
表示 a的平方根
a
X＝ a
平方根与算术平方根的联系与区别
术平方根，算术平方根是平方根的 一种 （2） 存在条件相同：平方根和算 术平方根的被开方数都具有非
联系 （1）具有包含关系:平方根包含算
负性 （3） 0的平方根和算术平方根 都是0。
• 区别
二次根式的定义:
形如 a ( a 0 ) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0 （双重非负性） .
(
4 )2 4
( 0.01) 2 0.01
1 1 2 ( ) 3
3
( 0 )2 0
a a
2
(a≥0)
文字描述：一个非负数的算术 平方根的平方等于它本身
2
解:
a 2005 0 a 2005 | 2004 a | a 2004 a 2004 a 2004
2
a 2005 a
a 2005 2004 a
a 2005
2
a a 2005 2005
例2：计算
(1)( 1.5)
2 2 2
(2)(2 5)
(3)(3 3)
4 4
2
0.01 0.01
2
1 1 3 3
2
0 0
2
a a (a≥0)
2
(4) 4
2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 0.01 (0.01) 3 3
2
2
a a (a ＜ 0)
2
练习： 1.计算 : 1 2. 7
2 2
1.
0 .3
2
3.
4.
10
2
练习2:
1
1 2
2
2
2 1
2 x 1
(x>0 )
x 1
2
2
3
x 2 xy y x y (x﹤y) yx
2 a 0，
而 2 a b2 0
2 a 0 ， b2 0
a 2 ， b 2
2 2
原式 a b 1 2 2 1 2 1 3
2 2
已知| 2004 a | a 2005 a, 求a 2004 的值 .
二次根式
一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即 x = a , 那么这个正数 x 叫做 a的 算术平方根 ， 即x = a , a 的算术平方根记为 a, 读作:“ 根号a ”，
2
a 叫做被开方数，
像正数
2 3 =9,
把正数3 叫做9的算术平方根…
请熟悉： 根指数
简写为： a
2
根号
a
被开方数
(4)-4的平方根是什么?为什么 没有平方根
议一议
从上面的回答中,你发现了什么?
（1）一个正数有几个平方根？它们是什么关系？
（2）0有几个平方根？ （3）一个负数呢？
平方根的性质
• 一个正数a有两个平方根, 它们互为相反数
• 0只有一个平方根，它 是0本身 • 负数没有平方根.
概念区分
a
表示 a的算术平方根
5的平方根表示为： 5，
25 25 25 5 的平方根表示为： 36 36 36 6
0 0的平方根表示为：
规定：
0 0.
0 0
所以， 0的平方根仍是 0
平方根有什么性质？
讨论
±12 0 ±8/11
试一试: (1)144的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? 64 (3) 121 的平方根是什么?
非负数
算术平方根具有双重非负性
算术平方根的性质
• 正数有一个正的算术平方根;
• 0的算术平方根，是0本身；
• 负数没有算术平方根.
定义
一般的，如果一个数x的平方等于a,即x2＝a,
那么这个数x叫做a的平方根或二次方根
a的平方根表示为
a
读作：正，负根号a
求一个数a的平方根
的运算叫做开平方
例如：4的平方根表示为： 4， 4 2
化简下列各式:
(1)(3 2 ) (2 3 )
2
2
(2) (5) ( 5 )
2 2
2
(3) m 16m 64(m 8) (4) a b (a 0, b 0)
2 2
若a.b为实数,且
2 2
2 a b2 0
b2 0
求 a b 2b 1 的值
解: