几何体中的截面问题

F

1Q

1

几何体中的的截面问题

1．定义及相关要素

用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点． 2．作多面体的截面方法(交线法)：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．

题型一、截面的形状

1．P 、Q 、R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1、CC 1和DD 1上，试画出过P 、Q 、R 三点的

截面．

1解答：(1)连接QP 、QR 并延长，分别交CB 、CD 的延长线于(2)连接EF 交AB 于Ｔ，交AD 于S ．

(3)连接RS 、TP 。则多边形PQRST 即为所求截面。

2．已知P 、Q 、R 分别是四棱柱ABCD ―A 1B 1C 1D 1的棱CD 、DD 1和AA 1上的点，且QR 与AD 不平行，求作过这三点的截面．

2解答： (1)连接QP 并延长交DA 延长线于点I 。 (2)在平面ABCD 内连接PI 交AB 于点M 。 (3)连接QP 、RM 。则四边形PQRM 即为所求。

注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。

②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。 ③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。

3．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是

3答案：D

解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D 。

题型二、截面面积、长度等计算

4．过正方体1111D C B A ABCD 的对角线1BD 的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则

m in

m ax

S S 的值为 ( ) A ．

23 B ．

2

6 C ．

3

3

2 D ．

3

6

2 4答案：C

解析：设M 、N 分别为AA 1、CC 1的中点.易证截面BMD 1N 是边长为

5

2

的菱形(正方体棱长设为1),其面积S(min)=

6

2

. 而截面BB 1D 1D 是矩形,其面积S(max)=2． 5. 如图，已知球O 是棱长为1 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为 ． 5答案：

解析：平面ACD 1是边长为

的正三角形，且球与以点D 为公共点

A

C

B

D

的三个面的切点恰为三角形ACD 1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD 1内切圆的半径是×tan30°=

，则所求的截面圆的面积是

π×

×

=

．

6．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．2

6答案：C

解析：1O 与2O 的公共弦为AB ，球心为Ｏ，AB 中点为C ， 则四边形C OO O 21为矩形，12||||,O O OC =||2,OA = 所以22||1,||||||3AC AC OC OC OA AC =⊥∴=-=

7．已知正四棱锥P —ABCD 的棱长都等于a ,侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成二面角大小的正切值为 ． 7答案：

1

2

解析：过A 在平面ABCD 内作直线l BD //，连接AC,BD 交于O ，连接PO ，MN ．记PO 、MN 交于O‘．因为PB 、PD 的中点分别为

M 、N ，所以

MN l BD //l MN //A l ∈l ⊂l =O AO

'∠221tan 242

AO PO a O O a O AO ''==

⇒=⇒=1111ABCD A B C D -1CC 102CQ <<

12CQ =34CQ =11C D 1113C R =3

14

CQ <<1CQ =6

2

CQ DT PQ AT PQ AT T D D 22//1=⇒=且，则相交于设截面与对①，时当21

0.<

对②, 1 = DT ,2

1

.时当=CQ 重合与1,D T ，截面S 为四边形.,11Q D AP APQD =所以截面

S 为等腰梯形. 所以为真.

Ｏ２

Ｏ

Ｃ

Ｏ2

对③, 时当43.=CQ .3

1.21,23,411111====⇒R C T D DT QC 利用三角形相似解得所以为真. 对④, 2 DT 2

3

,143.<<<<时当

CQ .截面S 与线段1111C D ,D A 相交，所以四边形S 为五边形.所以为假.

对⑤,A G APC G D A S C CQ 111111,Q 1.即为菱形相交于中点与线段截面重合与时，当=.

对角线长度分别为.2

6

32的面积为，

和S 所以为真. 9．如图，1111D C B A ABCD -为正方体。任作平面α与对角线

C A '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到

的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（ ） A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值

9答案:B

解析:将正方体切去两个正三棱锥A A BD '-与C D B C '''-后，得到一个以平行平面A BD '与D B C ''为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A B ''剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形11A B B A ''，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中1E E '），显然11A A E E ''=，故l 为定值。

当E '位于A B ''中点时，多边形W 为正六边形，而当E '移至A '处时，W 为正三角形，易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为

2324l 与2

336

l ，故S 不为定值。