量子力学基础(PPT)

8.1 量子力学的基本假设
The Postulates of Quantum Mechanics
1.算符 Operator
所谓算符,就是数学上的一些运算符号
2 2 例如： 2 2中的 ； 2中的 ； 2 中的 2 等 x x
（1）运算规则
ˆB ˆ f ( x) B ˆ f ( x) A ˆ f ( x) 加法： A ˆ －B ˆ f ( x )－B ˆ f ( x) A ˆ f ( x) 减法： A ˆB ˆ B ˆ f ( x )＝A ˆ f ( x) 乘法：A
1 将条件 ( 2 )代入，则 ( l )＝ C sin 2 mE t l 0 h 1 1 式中 C 不为零，则 sin 2 mE t l 0， 2 mE t l ＝ n h h n 2 2 h 2
2ml n 1时称基态，相应能量 E 0 称基态能或零点能； n 1时称激发态，相应能量 En n2 E0 Et
不确定原理的另一表达式：
h E t 4
不确定原理说明：微观的动量与坐标不能同时准确 确定，能量与时间也不能同时准确确定。 值得注意的是测不准关系式也同样适用于宏观粒子， 只不过这时的不准确量和动量都不起任何实际作用。如 P21例题所示。 研究微观粒子的运动需要一个崭新的理论，即量子 力学。
（4）微观粒子系统的运动方程由薛定谔方程描述
h ˆ H ＝－ i t
8.2 势箱中粒子的薛定谔方程求解
The Schrodinger E Equation of Particals
与时间无关的薛定谔方程(E不随t变化
h ˆ H E i t
积分可得
Ae iEt / h
式中 : A为积分常数,因其与时间无关, 相当于振幅, 令 ( q ) A 则 ( q , t ) Ae iEt / h ( q )e iEt / h 由于式中 ( q )不随时间变化, 即振幅不随时间变化, ( q , t )为一驻波. ( q )被称为不含时间的波函数 . ˆ E 则 H
2 h 2 ˆ H V ( x, y, z ) 总能量所对应的算符为 哈密顿算符 2m
2 2 2 其中： 2＝ 2 2 2 称拉普拉斯算符 x y z
补充假定：哈密顿算符的本征函数是波函数 与时间无关的能量算符即哈密顿算符，相应的本征方程
ˆ E H
各 i 具有正交性 按归一化条件有
* i j d 0 * i i d 1
i j
态的叠加
1 , 2 ,代表微观粒子系统各种可能的状态
c1 1 c 2 2 i c i i 仍是系统可能的状态
简并度:具有相同本征值的不同的本征函数的个数.
利用光子学说，可以解释光电效应 光的强度，是光子数量多少的反映，只能影响 击出电子的数目，而不能改变电子的动能。
3.氢原子光谱(Atomic Spectra)
1 1 ＝ ＝R H 2 2 n n 2 1 1
式中：
恚1／耄 恚c为波数，是在波的传播方向上单位长度内波的数目；
波的叠加原理：两个或多个波同时通过时，在空间某 区域状态可用几个波函数之和来描述
当波程差为波长的整数倍时，相互得到加强； 而波程差为波长的半整数倍时，相互抵消。
驻波：由振幅相同但方向相反的两个平面波叠加而 产生，与行波（向前传播着的波）相对。
驻波的形成
振幅最大的地方叫做波腹 那些不振动的点叫做节点
量子力学的实验基础
当将经典力学运用来解释与原子、 分子有关的实验事实时，有三类实验无 法得到圆满的结论，这些实验是： 黑体辐射 光电效应 原子光谱
1 黑体辐射(Black-body Rediation)
作简谐运动的微粒就叫作谐振子 （Harmonic Oscillator) Rayleigh -Jeans 方程
3.不确定原理(测不准原理)
在经典力学中,我们用粒子的坐标和速度来描述它 的状态.也可用坐标与动量来描述;微观粒子则根本不 具备同时准确决定位置和动量的性质
EG Fx 1 Fx 1 Ex 2 FG 若FG , 则Hx1 Ex1 / 2 这两个点发出的波在 x1处相互 抵消使得在 x1处合效应为零。 FG x sin
2i hx 或 ( x , t ) 0 cos Et h
2 i p x x Et 以动量 p 代入， ( x , t ) 0 cos h h 2 i pr Et 对于三维空间的简谐波 ， ( r , t ) 0 cos h
RH－里德堡常数。 n1、n2皆为正整数，且n2＞n1。 n1=1，黎曼（赖曼Lyman）线系； n1=2，巴尔末（Balmer）线系； n1=3，巴新（Paschen）线系。
4.电子衍射(The Diffraction of Electron)
德布罗意在1923年提出了一个非常大胆的假设： 波动性与粒子性的二重性不只限于光的现象， 微粒物质都有二重性。


（2）对易子
ˆ ，B ˆB ˆ ˆ ˆ －B ˆA A ＝A


若对易子为零，即 为可对易的一对算符
ˆ ，B ˆB ˆ ＝ 0，则称 A ˆ 和B ˆ ˆ－B ˆA ˆ A ＝A
（3）线性算符
（4）算符的本征方程、本征函数和本征值
（5）厄米算符（自厄算符） 厄米算符要具备两个特征：线性且自厄
2.二象性的统计性
虽然物质波的实质迄今为止沿有争论，但科学界大多 认为它是一种几率波。
波恩从统计力学的观点出发，对德布罗意波获得了如下解 释：实物微粒的运动并不服从宏观世界的牛顿定律，而是 服从量子力学的统计规律。 按照测不准原理，对于运 动着的这些微粒，不可能确 定它们某时刻在空间准确位 置。但也不是杂乱无章毫无 规律的运动
例如:若有三个波函数1, 2, 3具有相同的本征值Ei,则Ei,的简 并度为３
1.一维势箱中的粒子
一维平动粒子的薛定谔方程
h2 2 h 2 2 V ( x, y, z ) 0 E t 2 2m 2 m x 2 2mE t 0 2 h x
厄米算符的重要性质:
a.厄米算符的本征值是实数 这一点很重要，因为薛定谔方程中的本征值就是能量E，角动量 方程中的本征值就是角动量的平方M2，显然这类本征值均为实验 可测的物理量，当然只能是实数而不应是虚数。而厄米算符正符合 这一要求。 b.厄米算符的不同本征函数具有正交性。
2.量子力学的四个基本假定 (1)微观粒子系统的状态可用波函数来描述。
i i ＝ A exp 2 mE t x － exp h h e iy e iy 2 i sin y , 令 C ＝ 2 iA , 1 ＝ 2 i sin A h 2 mE t x 2 mE t x
波函数具有以下特点： a.波函数是坐标和时间的函数Ψ(q,t)。 b. Ψ具有单值、有限和连续可微的性质。 即是一个品优函数。 c. Ψ与共轭复数Ψ*的乘积Ψ Ψ *（或模的平方）代表 粒子出现的概率密度。
dP ＝ d
＊
2
（2）微观粒子系统的每个可观察的力学量F，都对 应着一 个厄米算符。
8k / T 3 d 3 e d c
该公式仅在 ／T ≥ 1011秒－1· K－1时适用
2.光电效应(the Photoelectric effect)
光照在电极上时，使金属中的电子获得能量脱出金属， 因而发生电流。这样发射的电子称为光电子
在A、C二极施加一负向电位差， 更可促进光电子奔向C极，使电流 强度增大。
第八章
量子力学基础
The Basis of Quantum Mechanics
引 言
Introduction
从经典力学到量子力学
经典力学:以牛顿三大定律为中心内容 适用于宏观物体的机械运动 质量比一般分子或原子大得多的物体在速度比 光 速小得多的情况下服从经典力学的定律.
量子力学:描述微观粒子运动规律的科学 适用于微观粒子的运动 如果某一物理量的变化是不连续的,而是以某一最 小单位作跳跃式增减,我们就说这一物理量是“量子化” 的. 波粒二象性是说微观粒子即有微粒的性质，又有波 动的性质，是微粒和波动性的矛盾统一体。
若施以正向电位差时，光电子奔 向C极的趋势就被阻挠了，G中电流 强度就会减弱。
用固定强度和频率的光照射所得光电流和两极 间电压的实验曲线
•爱因斯坦在1905年提出了光子学说，他认为光 子的能量E与频率ν成正比，即E＝h •质能联系定律E=mc2，则mc2 ＝ h •动量p应为：p=mc= h/c=h/
2
1 2 mE t x C sin h
n 1,2,3,(平动量子数)
按归一化条件(3)
1 将 h 1 n 2 mE t l ＝ n 2 mE t ＝ 代入 h l x 1 C sin 2 mE t x C sin n l h
h mc c
或
p
h

公式的左方是与粒子性相联系的动量p，右方包括与波 性相联系的波长，h为普朗克常数。 h h 对于微粒，动量p=m,则 m m
微观粒子运动的基本特征
1.波粒二象性
微观粒子既具有粒子性，又具有波动性。 作为粒子性，粒子有动量p及能量E
p m
作为波动性，有波长和频率，波的强度用波函数度量。
i 方程的解为： ＝ A exp 2mE t h 方程应满足以下三个条件： (1) x 0, ( x ) 0 ( 2) x l , ( x ) 1 ( 3) * d 1 i x B exp 2mE t h x
在条件(1)情况下，可得A＋B＝0，则
如果系统中只含一个微粒
h2 2 V ( x , y , z ) E 2m
如果系统中含N个微粒 h2 2 i V ( x1 , y1 , z1 , , x N , y N , z N ) E 2m i i
N
由上式可解得一系列本 征函数 1 , 2 , 3 及相应的本征值 E 1 , E 2 各E i 均为实数 .
2 m E＝m 0 c 2 0 2
具有一定波长和频率的波称为简谐波。沿x轴传播的平面简 谐波函数为：
x ( x , t ) 0 cos 2 t
式中：t为时间； 0为振幅；
i 1。
• 对于光子，
E ＝ h
则
x Et ( x , t ) 0 cos 2 h
（3）当在一定状态下测量某力学量F时，可能有 不同数值，其统计平均值
F＝
＊ ˆ F d ＊ d
ˆ E两边各以＊，得：＊H ˆ d ＊ Ed 将式H 则：E＝
＊ ˆ Hd ＊ d
E就是某时刻t微观粒子系统能量的统计平均值
d 8kT
2
Fra Baidu bibliotekc3
d
（9－10）
d 8kT
1

4
d
＝
c
（9－11）
频率与波长的关系：

, d
c

2
d
•λ很大时和实验测得的曲线相符，但在λ很小时， 却和实验曲线不符 •根据（9－11）式，当λ→ 0时， ρν → ∞， •而实验结果却是ρν → 0 •紫外灾难 •维恩（Wien W) 公式