苏科版九年级数学下册 第6章 图形的相似 复习学案

苏科版九年级数学下册第6章图形的相似

图形的相似

找一找哪些才是相似图形？

【知识梳理】

6.1图上距离与实际距离： 比例的性质：

（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．

（2）常用的性质有：

①内项之积等于外项之积．若

d c b a =，则ad=bc ．②合比性质．若d c b a =，则d d c b b a +=+． ③分比性质．若

d

c b a =，则

d d c b b a -=-．④合分比性质．若d c b a =，则d c d c b a b a -+=-+ ⑤等比性质．若n m d c b a =⋅⋅⋅⋅==（b+d+…+n ≠0），则n

m n d b m c a =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ 比例线段： （1）对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a/b=c/d

（即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段

（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是

否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．

6.2 黄金分割：

（1）黄金分割的定义：

如图所示，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即ABAC=ACBC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．

其中AC=2

15-AB ≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．

黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：

21

5-

；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：

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5-

（3）黄金矩形：黄金矩形的长宽之比确切值为

21

5-

．

6.3 相似图形

平行线分线段成比例

（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

（2）定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

（3）定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例

相似图形

（1）相似图形

我们把形状相同的图形称为相似图形．

（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：

①相似图形的形状必须完全相同；

②相似图形的大小不一定相同；

③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．

（3）相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．

6.4 探索三角形相似的条件

相似三角形的判定

（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于

从复杂的图形中抽象出这些基本图形．

（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

6.5 相似三角形的性质

相似三角形的性质

相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；

相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．

（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．

射影定理

（1）射影定理：

①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．

②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．

（2）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD•DC；

②AB2=BD•BC；AC2=CD•BC．

位似定义：

（1）位似图形的定义：

如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行或在同一条直线上．

（2）位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．

作图-位似变换

（1）画位似图形的一般步骤为：

①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．

典型例题（图形的相似）