§1 归纳与类比(1)

（2）应用归纳推理获得的新结论不一定正确, 一般只能作为猜想, 虽然猜想 是否正确还有待严格的证明, 但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.
例如, 人们在数论研究中, 希望得到生成素数的公式. 1640年, 著名数学家费马对形如 22n 1的数进行计算时, 发现当n=1, 2, 3时 对应的22n 1都是素数, 224 1 65 537也是素数. 于是, 他归纳出一 个猜想: “所有形如 22n 1(n 1, 2, 3,L ) 的数都是素数.”
答案：归纳：an
1 n
.
【说明】归纳推理的一般步骤:
（1）通过观察个别情况发现某些相同性质; （2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性质命题(猜想).
【练习1】 1 1 1 1 , 写出n=1, 2, 3, 4的值,
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n(n 1)
归纳并猜想结果.
答案：归纳： 1 1 1 L 1 n .
合情推理的意思是“合乎情理”的推理. 在日常生活中, 律 师对案情的论证分析就是合情推理, 数学中的合情推理多种多 样, 但最常见的就是归纳和类比.
1.归纳推理 根据一类事物中部分事物具有某种属性, 推断该类事物中每
一个事物都有这种属性, 我们将这种推理方式称为归纳推理.
【说明】（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;
对于大一点的n, 验证这个猜想是很难的事情. 直至近百年的 1732年瑞士数学家欧拉发现 225 1 6416 700 417不是素数, 从而 否定了这个猜想.
三、例题与习题
【例1】已知数列{an}的第1项a1=1,
且
a n1
a n
1a
(n 1,2,3, ),
n
试归纳出这个数列的一个通项公式.
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n(n 1) n 1
【例2】观察下列各数运算，试给出这些数的一个运算规律。
5*5=25 15*15=225 25*25=625 35*35=1225
45*45=2025 55*55=3025 65*65=4225 通过观察上述的运算，你能快速得出下列的答案吗？
75*75=_____? 85*85=_____? 95*95=_____? 规律总结：100以内一个以5结尾的的正整数的平方，等于个 位数乘以个位数加1后添25。例：25*25=625【（2*3）25】 问题探究：100以外的一个以5结尾的的正整数的平方，是 否符合上述规律呢？ 练习2/P55 /练习1,2
第一章 推理与证明
一、问题引入 在日常生活中, 人们常常需要进行各种推理. 例如, 医生诊断病人病症, 警察侦破案件, 气象专家预测天
气的可能状态, 考古学家推断遗址的年代, 数学家论证命题的 真伪等, 其中都包含了推理活动.
推理一般包括合情推理和演绎推理, 它们都是日常生活、 学习、工作和科学研究中常见的思维过程.
“因为……所以……”, “根据……可知……”, “如果……那
么……”. 合情推理 3.推理的分类：
归纳推理 类比推理
演绎推理
（二）合情推理 前提为真时, 结论可能为真的推理叫合情推理, 它是根据已
有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实 践的结果, 以及个人的经验和直觉推测某些结果的推理过程.
【例】探索凸n边形的内角和.
解：三角形内角和为 180O (3 2) 180O ,四边形内角和为 360O (4 2) 180O , 五边形内角和为 540O (5 2) 180O , … … 所以探索凸n边形的内角和为 (n 2) 180O.
以上推理, 前提为真时, 结论也为真, 是合情推理. 【概念拓展】
合情推理和演绎推理有什么特征？有什么区别？有什么作 用？我们将通过本章的学习, 认识和体会这些问题.
§1 归纳与类比 二、概念讲解
（一）推理的概念
1.定义：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断, 这种思 维方式叫推理.
2.推理的构成： 推理一般由前提和结论组成.
推理的一般形式常用联结词将前提和结论逻辑的连接, 常用
练习3
（1）数列2, 5, 11, 20, x, 47, …中的x等于
A. 28
B. 32
C. 33
D. 27
（2）下列关于归纳推理说法正确的是
A. 从一般到一般
B. 前提蕴含结论
C. 结论是或然的
D. 从个别到一般
( B) (C)
三、课堂小结
1.合情推理
前提为真时, 结论可能为真的推理叫合情推理, 它是根据已有的事实 和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果, 以及个人的 经验和直觉推测某些结果的推理过程.
（1）归纳推理:
根据一类事物中部分事物具有某种属性, 推断该类事物中每一个事 物都有这种属性, 我们将这种推理方式称为归纳推理.