割补法在解题中的应用

巧用割补，化难为易

顾介远

割补法就是把图形切开，把切下来的那部分移动到其他位置，使题目便于解答；割补法是立体几何解题中的常用技巧，巧妙地对几何体进行分割与拼补，能够简化解题过程。

例如：已知正四面体的棱长为2，求其

内切球和外接球的表面积与体积。

分析：本题的解题关键是求出正四面体的

内切球和外接球的半径，用何种方法，怎样思

维就成了解决本题的关键。

由几何图形我们不难看出球和正四面体都是对称的几何体，所以

正四面体的外接球、内切球的球心与正四面体

的几何中心重合。将球心与正四面体的四个顶

点连线，就可将这个正四面体分割成四个正四

棱锥，这四个正四棱锥的底面分别是正四面体

的侧面和底面，高是该正四面体的内切球的半

径，侧棱为正四面体的外接球的半径，因此它

们的体积相等且这四个正四棱锥的体积的和为正四面体的体积，从而我们可以得出结论：

正四面体的外接球的半径是它的内切球的半径的3倍，它们的和等于该正四面的高。

令正四面体的高为h ，则h 2=SA 2-(

32AE)2 =(2)2-(233)2,所以h=332；故该正四面体的外接球的半径R=43h=2

3，其表面积为

S=3π；其体积为V=2

3π。该正四面体的内切

球半径r=41h=63，其表面积为s=3

1π，其体积v=18

3π。 如果把思维放开，这个正四面体可以看作是

一个棱长为1的正方体ABCD-A /B /C /D /，“切去”

四个“角”所对应的三棱锥得到正四面体C /-A /BD ，

则该四面体与正方体具有公共的外接球，此时外

接球的直径等于该正方体的体对角线的长，即2R=3，所以R=

2

3，再根据R ：r=3：1的关系，该四面体的内切球半径r 就很容易求得了。 高中数学学习的本质是提高学习者的思维品质，快快进行“头脑体操”的锻炼吧，它给你带来快乐和成就感一定会超过鸟叔的《江南style 》！