弹性应力-应变关系和单轴状态下材料的特征、模型

《弹塑性力学与有限元》
弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
弹性固体的应变能和余能密度
其中，W为单位体积的应变能或应变能密度，且δW为应变能密度的
增长率。
W ij ij
因为应变能W定义上讲只是ɛ的函数，所以微分形式为：
W
W
ij
ij
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弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
引言
本章假设材料特性是与时间无关的。 本章假设材料特性忽略力学与热学过程的相互作用。 弹性模型能很好描述处于工作荷载水平下的许多工程材
料的性能，因此弹性本构关系是在不同的工程问题中得 到广泛应用的弹性理论基础。
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弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
上式是在简单拉伸试验中所测得的应力-应变线性相关性的简单推广，
因此常将上式称为广义胡克（hooke）定律。
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弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
由于σij和ɛij都是对称的，固有如下对称条：
Cijkl C jikl Cijlk C jilk ij Cijkl kl
量之间存在一种简洁的分离形式，即：ij k k ij 2 ij
3p 3 2kk 3 2Gkk
K
3
2
3
p Kkk kk
在线弹性范围内，体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。
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各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
ij kkij 2 ij
因此，对于各向同性线弹性材料，材料弹性常量张量仅有2个独立的 材料常数λ和μ， 常称之为Lame常数。
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各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
➢ 材料对称性 5）线性弹性体的本构方程——各向同性材料的线弹性体（2个常数）
[C]
(1
E )(1
2)
[C]
1
1
对
1
称
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(1 2)/ 2
0
(1 2)/ 2
0
0
(1 2)/ 2
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各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
➢ 弹性常数的测定
1）静水压缩试验
0
0
z
使用物理关系，有弹性模量和泊松比：ij k k ij 2 ij
E x x
(2 3)
y x
2( )
相反，有
E
2(1 )
E (1 )(1
2)
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各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
➢ 材料对称性 3）线性弹性体的本构方程——正交各向异性材料（9个常数）
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各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
➢ 材料对称性 4）线性弹性体的本构方程——横向各向同性弹性体（5个常数）
ij
ij
ij
W
ij
以简单拉伸试验（单向应力状态）为例，唯一的非零应力分量是
σx=σ11，其相应的应变分量为ɛx=ɛ11，因此对任意应变ɛ11或应力σ11， W和Ω分别为 ：
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弹性固体的应变能和余能密度
W ij
11
x C11 x C12 y C13 z C14 xy C15 yz C16 zx
y
C21 x
C22 y
C23 z
C24 xy
C25 yz
C26
zx
z
C31 x
C32 y
C33 z
C34 xy
C35 yz
C36 zx
xy
C41 x
C42 y
C43 z
C44 xy
➢ 材料对称性 1）各向异性弹性体的本构方程（21个常数）
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各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
➢ 材料对称性 2）线性弹性体的本构方程——具有一个弹性对称面的线性弹性体（ 13个常数）
x
y
C11
z ) ,
xy
1 G
xy
y
1 E
y
( x
z ) ,
yz
1 G
yz
z
1 E
z
( x
y ) ,
zx
1 G
zx
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各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
➢ 材料对称性
5）线性弹性体的本构方程——各向同性材料的线弹性体（2个常数）
C12 C22
C13 C23
C14 C24
0 0
0 x
0
y
z xy
C33 C34 0
对
C44 0
0 z
0
xy
yz
zx
称
C55
C56 C66
yz zx
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各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
➢ 弹性常数的测定 3）纯剪切试验
0 xy 0
ij yx 0 0
0
0 0
G是剪切模量:
G
xy xy
xy 2 xy
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各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
➢ 应力-应变关系的分解
各向同性线弹性模型中，依据静水压力响应值和偏量（剪切）响应分
➢ 广义胡克（hooke）定律
一般情况下本构关系可表为: ij Fij(kl)
这里研究的是复杂应力状态下的弹性本构方程,对各向同性均匀材料，
其广义胡克定律为： ij Bij Cijkl kl
如果假设初始无应变状态对应于一个初始无应力状态，即Bij=0,则有:
ij Cijkl kl
x E x
x y
xzy
yz
zx
C11
C12 C22
对
C13 C12 C11
称
0 0 0 C44
0 0 0 0 C44
1 2
0 0 0 0 0
(C11
C13
)
x
y
xzy
yz
zx
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弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
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弹塑性力学与有限元 —弹性应力-应变关系和单轴状态下
材料的特征、模型
弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
主要内容
引言
各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义 Hooke定律）
弹性固体的应变能和余能密度
单轴应力-应变特性
单轴状态下的全量应力-应变模型
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弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
单轴应力-应变特性
弹塑性材料的大部分特征可从单轴材料特性看出，为此首先阐述弹 塑性材料单轴下的基本特征，进而，阐述一些弹塑性特性材料的模型。 ➢ 单调加载
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引言
前面分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡（微分）方 程和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关， 因而适用于任何连续介质。但仅用这些方程还不能求解土木工程 领域的实际力学（弹塑性）问题。 ➢ 静力学
➢ 几何学
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K E
3(1 2 )
G
E 3
,
1/ K
0
即材料弹性不可压缩，如橡胶ν=0.48。
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弹性固体的应变能和余能密度 n XTi
ij ij kl
A
V
z
y x
外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性体内部，这 种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，故称之为弹性变形能 或弹性应变能。
ij K kk ij 2Geij
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各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
➢ 弹性常数的测定_弹性常数的限制
实验结果表明，E、G、K总为正值； 1 0.5
大多数材料为正值，而ν=0.5，有
E 2(1 )
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本章学习要点：
掌握各向同性材料的广义Hooke定律 掌握弹性应变能密度函数的概念及计算 理解单轴应力-应变特性和初始屈服、后继屈服以及加卸
载的概念 理解单轴状态下的全量应力-应变模型
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弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
➢ 材料对称性 3）线性弹性体的本构方程——正交各向异性材料（9个常数）
x
y
C11
C12 C22
C13 C23
0 0
0 0
0 x
0
பைடு நூலகம்
y
z xy
C33 0 0
对
C44 0
0 z
0
xy
yz
zx
称
C55
0 C66
yz zx
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弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
ij
E
1
ij
E (1 )(1
2
) kkij
ij
1
E
ij
E
kk
ij
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弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
➢ 材料对称性 5）线性弹性体的本构方程——各向同性材料的线弹性体（2个常数）
x
1 E
x
( y
弹性固体的应变能和余能密度
ij
W
ij
另一方面有：
δTi和δFi在ui上做功的变化率与物体内能的增长率对任意体积积分成立 ，故有：
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弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
弹性固体的应变能和余能密度
ij ij
Ω称为余能（单位体积余能）或余能密度，
因为Ω按其定义仅为应力的函数，故有：
C45 yz
C46
zx
yz
C51 x
C52 y
C53 z
C54 xy
C55 yz
C56 zx
zx C61 x C62 y C63 z C64 xy C65 yz C66 zx
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各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
引言
为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系
式即是所谓的本构关系。本 构关系反映可变形固体材料
的固有特性，故也称为物理
关系，它实际上是一组联系 力学参数和运动学参数的方
相容性（几何）
程式，即本构方程，也就是
反映可变形固体材料应力和 应变之间关系的方程。
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弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
0
d 11 11
和
ij
d 11
0
11 11
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弹性固体的应变能和余能密度
一般三维情况下，应变能和应变余能可采用下列形式：
W(ij)
ij
0
dij ij
(ij )
d ij
0 ij ij
对任意非线性弹性，应变能
和应变余能之和为: ij ij
11
22
33
1 3
kk
体积模量K:
K
kk / 3 kk
3
2
3
2
3
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各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
➢ 弹性常数的测定 2）单轴拉伸试验
x 0 0
ij 0 0 0
0 0 0
x 0 0
ij 0 y 0
➢ 应力-应变关系的分解
为了得到偏量（剪切）响应关系，使用 sij ij pij
1 ij eij 3 kk ij
sij
kkij 2ij
1 3
3
2G kk ij
sij
kkij
2Geij
1 3
kk ij
1 3
3
2Gkkij
2Geij
在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形状改变。
各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
➢ 材料对称性 4）线性弹性体的本构方程——横向各向同性弹性体（5个常数）
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弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
➢ 材料对称性 5）线性弹性体的本构方程——各向同性材料的线弹性体（2个常数）