微分中值定理及定积分极限题型

第十二专题讲座-----积分中值定理及定积分极限题型2009

智 轩

一、完整的积分中值定理包含下列全部内容

1．函数平均值 [

]()1

b a

M f

f

x dx b a

=

-⎰

2．第一中值定理

()1如果函数在积分区间[],a b 上连续，则()()()b a

a b f x dx f b a ξξ∃≤≤⇒=-⎰

。（教材上的描述）

()2如果函数()(), f x x ϕ在积分区间

[],a b 上连续，且当a x b <<时，()x ϕ不变号，则

则()()()()b b

a

a

a b f x x dx f x dx ξϕξϕ∃≤≤⇒

=⎰

⎰。

3． 第二中值定理（★超纲内容，仅仅作为理解用）

()1若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b

<

<时，()x ϕ单调，则

()()()()()()00b b

a

a

f x x dx a a f x dx b f d b x x ξ

ξ

ϕξϕϕ∃≤-≤=++⇒

⎰

⎰⎰。

()2若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，

当且当a x b

<<时，()x ϕ单调递减（广义上），

且为非负数，则

()()()()0b a

a

a b f x x dx a f x dx ξ

ξϕϕ∃≤≤⇒

=+⎰

⎰。

()3若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，

当且当a x b

<<时，()x ϕ单调递增（广义上），

且为非负数，则

()()()()0b b

a

a b f x x dx b f x dx ξ

ξϕϕ∃≤≤⇒

=-⎰

⎰。

二、与积分有关的求极限问题 【例1】求极限1

10

lim 1n

n x

I dx x

→∞=+⎰

解：

110

110

10100111

lim

1n

n

n

n

n

n x

x

x x dx x dx x

x

n x

I dx x

→∞

≤≤⇒≤

≤⇒≤

≤

=

+++⇒==+⎰

⎰

⎰

【例2】求极限220

lim sin n

n I xdx π

→∞

=⎰

解：

对任意给定的0ε>，且设2

π

ε<

，则

220

20

220

0sin sin

sin 22sin 1lim sin 0

2220, sin 220sin

2lim

sin

n

n

n n n n n

n

n xdx xdx N n N xdx I xdx π

π

ε

π

π

ππ

εεεε

πππ

εεεππεεε

ε-→∞

→∞

⎛⎫⎛⎫≤

≤

+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<⇒--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇔∃>>--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⇒≤

≤⇒==⎰

⎰

⎰

⎰

当时， 有

【例3】求极限()3sin lim 0n p n

n x I dx p x

+→∞

=>⎰

解：当n x n p ≤≤+，有

3sin 1sin sin lim

0n p n p n

n

n x

x p x dx I dx x

n

x

n

x

++→∞

≤

⇒

≤

⇒==⎰

⎰

【例4】求极限142

lim 1

dx

I x εε→+=+⎰

解：

(

)

()

(

)

1142

2

10

1

lim

lim

1

1

1

arctan

lim

arctan

|lim

1

d

x

dx

I x x

x εεεεεεε

εε

εε

ε

→+→+→+→+==++===⎰

⎰

【例5】求极限()5

lim

b

a

f x I dx x

εε

ε→+=⎰，已知()[]0,1, 0, 0f

x C a b ∈>>。

解：应用第一中值定理