函数与方程压轴题精选(精华)

函数与方程

1．已知函数.

（1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；

（3）当时，试比较与的大小.

2．已知函数f(x)的导函数为 f ′(x)，且对任意x＞0，都有 f ′(x)＞．

（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；

（Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．

3．已知函数，.

(Ⅰ)求函数的单调递增区间；

(Ⅱ)设，，，为函数的图象上任意不同两点，若过，两点的直线的斜率恒大于，求的取值范围.

4．已知函数，；

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若函数在[1,2]上是减函数，求实数的取值范围；

(3)令，是否存在实数，当 (是自然对数的底数)时，函数

的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

5．已知函数f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）内有极值．

（I）求实数a的取值范围；

（II）若x1∈（0，），x2∈（2，+∞）且a∈［，2]时，求证：f（x1）﹣f（x2）≥ln2+．

6．已知函数在处取得极值．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）证明：当时，.

7．已知，其中为常数.

（Ⅰ）当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数在上的最小值；

（Ⅱ）若函数在上既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，过点作函数图象的切线，试问这样的切线有几条？并求这些切线的方程.

8．已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说

明理由；

（Ⅲ）设函数试判断函数在上的符号,并证明:

（）．

9．已知函数.

(Ⅰ)若函数在上是增函数，求正实数的取值范围；

(Ⅱ)若，且，设,求函数在上的最大值和最小值.

10．设.

(Ⅰ)若对一切恒成立,求的取值范围;

(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;

(Ⅲ)求证:.

11．已知函数（为常数，为自然对数的底）

（1）当时，求的单调区间；

（2）若函数在上无零点，求的最小值；

（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．

12．已知函数，其中是自然对数的底数，．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，求的单调区间；

（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围.

13．已知幂函数的图象与x轴，y轴无交点且关于原点对称，又有函数

f(x)=x2－alnx+m－2在(1，2]上是增函数，g(x)=x－在(0,1)上为减函数.

①求a的值；

②若，数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝p(a n)，（n∈Ｎ+），数列{b n}，满足

，，求数列{a n}的通项公式a n和s n.

③设，试比较[h(x)]n+2与h(x n)+2n的大小（n∈Ｎ+），并说明理由.

14．（Ⅰ）已知函数,若存在，使得,则称是函数的一个不动点，设二次函数.

(Ⅰ) 当时，求函数的不动点；

(Ⅱ) 若对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，求实数的取值范围；

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若函数的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围.

15．函数．

（1）当时，对任意R，存在R，使，求实数的取值范围；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

16．已知函数，

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在上是减函数，求实数的最小值；

（3）若，使成立，求实数取值范围.

17．设

求及的单调区间

设，两点连线的斜率为，问是否存在常数，且，当时有，当时有；若存在，求出，并证明之，若不

存在说明理由.

18．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)当时，判断和的大小，并说明理由；

(3)求证：当时，关于的方程：在区间上总有两个不同的解．

19．(本小题满分12分）已知函数=在处取得极值.

(1)求实数的值；

(2) 若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

(3) 证明：．参考数据：

20．（本题满分14分）已知．

（1）当时，求上的值域；

(2) 求函数在上的最小值；

(3) 证明: 对一切，都有成立

21．（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求的极值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

（3）已知，且，求证：.