谓词逻辑练习及答案

第二章谓词逻辑

练习一

1、指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并回答它们是否是命题：

（1）∀x(P(x)∨Q(x))∧R （R为命题常元）

（2）∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)

（3）∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))

（4）P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))

解（1）全称量词∀，辖域P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元，∀x(P(x)∨Q(x))∧R是命题。

（2）全称量词∀，辖域P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元。

存在量词∃，辖域S(x) ，其中x为约束变元。

T(x)中x为自由变元。∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)不是命题。

（3）全称量词∀，辖域P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y)，其中x为约束变元，T(y)中y为自由变元。存在量词∃，辖域B(x,y)∧Q(y)，其中y为约束变元。∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))是命题。

（4）全称量词∀，辖域∃x(P(x)∧B(x,y))，其中y为约束变元。

存在量词∃，辖域P(x)∧B(x,y)，其中x为约束变元。

不在量词辖域中的P(x)中的x为自由变元。P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))

不是命题。

2、对个体域{0，1}判定下列公式的真值, E(x)表示“x是偶数”：

（1）∀x(E(x)→┐x=1)

（2）∀x(E(x)∧┐x=1)

（3）∃x(E(x)∧x=1)

（4）∃x(E(x)→x=1)

再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。

解（1）∀x(E(x)→┐x=1) 真

∀x(E(x)→┐x=1) 可表示成命题公式（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）

其中E(0)→┐0=1真，E(1)→┐1=1也真，故（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）真。

（2）∀x(E(x)∧┐x=1) 假

∀x(E(x)∧┐x=1) 可表示成命题公式（E(0) ∧┐0=1）∧（E(1) ∧┐1=1）

其中E(0) ∧┐0=1真，但E(1) ∧┐1=1假，故（E(0) ∧┐0=1）∧（E(1) ∧┐1=1）假。

（3）∃x(E(x)∧x=1) 假

∃x(E(x)∧x=1) 可表示成命题公式(E(0)∧0=1) ∨(E(1)∧1=1)

其中E(0)∧0=1假，E(1)∧1=1也假，故(E(0)∧0=1) ∨(E(1)∧1=1)假。

（4）∃x(E(x)→x=1) 真

∃x(E(x)→x=1) 可表示成命题公式(E(0)→0=1) ∨(E(1)→1=1)

其中E(0)→0=1假，但E(1)→1=1真，故(E(0)→0=1) ∨(E(1)→1=1)真。

3、设整数集为个体域，判定下列公式的真值(*表示数乘运算)：

（1）∀x ∃y(x*y=x)

（2）∀x∃y (x*y=1)

（3）∀x ∃y(x+y=1)

（4）∃y ∀x (x*y=x)

（5）∃y ∀x (x+y=0)

（6）∀x ∃y(x+y=0)

解（1）∀x ∃y(x*y=x) 真

（2）∀x∃y (x*y=1) 假

（3）∀x ∃y(x+y=1) 真

（4）∃y ∀x (x*y=x) 真

（5）∃y ∀x (x+y=0) 假

（6）∀x ∃y(x+y=0) 真

4、量词∃! 表示“有且仅有”，∃!xP(x)表示有且仅有一个个体满足谓词P(x)。试用量词，∀, ∃,等号“=”及谓词P(x),表示∃! P(x)，即写出一个通常的谓词公式使之与∃!xP(x)具有相同的意义。

解∃!xP(x)可用以下具有相同的意义的谓词公式表示

∃x（P(x) ∧∀y（P(y)→y=x））

5、设个体域为整数集，试确定两个谓词P(x,y)，分别使得下列两个蕴涵式假：

（1）∀x ∃!yP(x,y) →∃!y∀x P(x,y)

（2）∃!y∀x P(x,y) →∀x ∃!yP(x,y)

解（1）当P(x,y)表示x+y=0时∀x ∃!yP(x,y) →∃!y∀x P(x,y)为假。

（2）当P(x,y)表示x*y=0时∃!y∀x P(x,y)→∀x ∃!yP(x,y) 为假(*表示数乘运算)。因为只有数0对一切整数x，有x*0=0，从而前件真；但对数0，可有众多y，使0*y=0，从而后件假。

6、指定整数集的一个尽可能大的子集（如果存在）为个体域，使得下列公式为真：

（1）∀x(x>0)

（2）∀x(x=5∨x=6)

（3）∀x ∃y(x+y=3)

（4）∃y ∀x (x+y<0)

解（1）对正整数集个体域，∀x(x>0)为真

（2）对{5，6}，∀x(x=5∨x=6) 为真

（3）对整数集，∀x ∃y(x+y=3) 为真

（4）使得∃y ∀x (x+y<0) 为真的整数集的尽可能大的子集不存在。

7、以实数集为个体域, 用谓词公式将下列语句形式化：

（1）如果两实数的平方和为零，那么这两个实数均为零。

（2）f(x)为一实函数当且仅当对每一实数x都有且只有一个实数y满足y = f(x)（不得使用量词∃!。“f(x)为实函数”可译为RF(f)）。

解（1）∀x∀y(x2+y2=0→x=0y=0) 。

（2）RF(f )↔∀x ∃y(y = f(x)∧┐∃z(z≠y∧z= f(x)))

8、用谓词公式将下列语句形式化：

（1）高斯是数学家，但不是文学家。

（2）没有一个奇数是偶数。

（3）一个数既是偶数又是质数，当且仅当该数为2。

（4）有的猫不捉耗子，会捉耗子的猫便是好猫。

（5）发亮的东西不都是金子。

（6）不是所有的男人都至少比一个女人高，但至少有一个男人比所有的女人高。

（7）一个人如果不相信所有其他人，那么他也就不可能得到其他人的信任。

（8）如果别的星球上有人，天文学家是不会感到惊讶的。

（9）党指向哪里，我们就奔向那里。

（10）谁要是游戏人生，他就一事无成；谁不能主宰自己，他就是一个奴隶。（歌德）

解（1）M(x) 表示“x是数学家”，A(x) 表示“x是天文学家”，g表示“高斯”,原句可表示为

M(g) ∧┐A(g)

（2）O(x) 表示“x是奇数”，E(x) 表示“x是偶数”,原句可表示为

┐∃x(O(x)∧E(x))

（3）O(x) 表示“x是奇数”，E(x) 表示“x是偶数”,原句可表示为

∀x(O(x)∧E(x) ↔x=2)

（4）C(x) 表示“x是猫”，M(x) 表示“x是老鼠”，G(x) 表示“x是好的”，K(x,y)表示“x会捉y”,原句可表示为