精选幻灯片第二类曲线积分
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对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)PPT
L
AO
OB
0
1
1 x( x)dx 0 x 5
曲线积分与曲面积分
A(1,1) 12
(2) 化为对y的定积分，
x y2,
y从 1到1.
xydx xydx
L
AB
1 y2 y( y2 )dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
曲线积分与曲面积分
B(1,1)
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[ (t), (t), (t)] (t)
R[ (t), (t), (t)] (t)}dt
曲线积分与曲面积分
11
例1 计算 xydx,其中L为抛物线 y2 x上从 L
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.
y2 x
xydx xydx xydx
L
a
(2) L : x x( y) y起点为c，终点为d .
则
d
Pdx Qdy {P[x( y), y]x( y) Q[x( y), y]}dy.
L
c
曲线积分与曲面积分
10
x (t)
(3) 推广
:
y
(t
),
t起点 ,终点 .
z (t)
Pdx Qdy Rdz
{
P[
(t
),
曲线积分与曲面积分
6
4.推广
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n
P(
x,
y,
z)dx
lim
0
i 1
P ( i
,i
,
i
)xi
2 第二型曲线积分详细版.ppt
(1) 半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; (2) 从点 A(a,0) 沿 x 轴到点 B(a,0) 的直线段.
解
(1)
L
:
x y
a a
cos sin
,
从 0 变到，
原式 a2 sin2 (asin )d 0
B(a,0)
A(a,0)
精选
a3 (1 cos2 )d(cos ) 4 a3 .
0
3
(2) L : y 0,
x 从 a 变到 a，
原式
a
0dx 0.
a
B(a,0)
A(a,0)
问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同。积分值与路经有关。
精选
例7 计算 2xydx x2dy,其中L为 L
(1) 抛物线 y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (2) 抛物线 x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (3) 有向折线OAB，这里O, A, B依次是点(0,0) (1,0), (1,1).
精选
求和，得
n i 1
F
(
i
,i
)
ri，令
m1iaxn {si }
0，
则有限和的极限值为 F ( x, y) 沿曲线 L 从 A 到 B 的
第二型曲线积分，记作
lim
0
i
n 1
F
(
i
,i
)
ri
F ( x, y) dr
L
向量形式
上式也可以写成
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.
解
(1)
L
:
x y
a a
cos sin
,
从 0 变到，
原式 a2 sin2 (asin )d 0
B(a,0)
A(a,0)
精选
a3 (1 cos2 )d(cos ) 4 a3 .
0
3
(2) L : y 0,
x 从 a 变到 a，
原式
a
0dx 0.
a
B(a,0)
A(a,0)
问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同。积分值与路经有关。
精选
例7 计算 2xydx x2dy,其中L为 L
(1) 抛物线 y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (2) 抛物线 x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (3) 有向折线OAB，这里O, A, B依次是点(0,0) (1,0), (1,1).
精选
求和，得
n i 1
F
(
i
,i
)
ri，令
m1iaxn {si }
0，
则有限和的极限值为 F ( x, y) 沿曲线 L 从 A 到 B 的
第二型曲线积分，记作
lim
0
i
n 1
F
(
i
,i
)
ri
F ( x, y) dr
L
向量形式
上式也可以写成
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.
高等数学9-2第二类曲线积分课件(1).ppt
2.存在条件： 当P( x, y), Q( x, y)在光滑曲线弧L 上连续时, 第二类曲线积分存在.
3.组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy
L P( x, y)dx Q( x, y)dy LF ds.
其中 F Pi Qj , ds dxi dyj .
4.推广
(3) 原式 OA 2xydx x2dy AB 2 xydx x2dy
问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同.
例5 计算 2xydx x2dy,其中L为 L (1) 抛物线 y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧;
(2) 抛物线 x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (3) 有向折线OAB，这里O, A, B依次是点(0,0)
dl 3 y
例2. L为球面x2 y2 z2 R2在第一卦限与三个坐标
面的交线 , 求其形心 .
z
解: 如图所示 , 交线长度为
R L2
l 3 ds 3 2 R 3 R
L1
4
2
由对称性 , 形心坐标为
z y x 1
x ds
l L1 L2 L3
L3 o
R x
R y
L1
1 x ds x ds x ds 2 x ds
3
3
四、几何与物理意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
当 f ( x, y) 1时,
L弧长
ds;
L
z f (x, y)
(3) 当 f ( x, y)表示立于L上的 s 柱面在点( x, y)处的高时,
S柱面面积
第二型曲线积分 PPT课件
例1 计算 I yzdx xzdy 2z2dz 其中 C C 为螺旋线 x a cos t, y a sin t, z kt
上对应 t 0至 t 的有向弧段。
解 I yzdx xzdy 2z2dz C
0 a sin t kt (a sin t)dt
a cos t kt (a cos t)dt
C
® 有向线段 C分段光滑并可求长，A(M )在 C
上有定义；
第二型曲线积分是对坐标的线积分；
被积表达式是两向量的点积，A(M )可以有 一个或两个分量为零，如
R2 中 A ds P( x, y)dx Q( x, y)dy
C
C
或 C P( x, y)dx ， C Q( x, y)dy
Q[x(t), y(t), z(t)] y(t)dt
R[x(t), y(t), z(t)] z(t)dt
® 计算式中可能只出现一、二项，但仍是
二型线积分，不是定积分；
对应始终点的上下限, 并非一定是 ； 曲线 C 若给其它形式的方程，只要全力
找出它的等价参数方程，问题即可迎刃 而解。
沿AB弧
0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
[(cos sin )( sin ) (cos sin )(cos )]d
0
2
(cos 2 sin 2 )d
1 cos 2
/2
1
0
2
0
解(2) I ( x y)dx ( x y)dy 沿折线AOB
( x 0)dx ( x 0)dy (0 y)dx (0 y)dy uuur
解 C : x a cos t, y a sin t, (0 t 2 ).
( x y)dx ( x y)dy
上对应 t 0至 t 的有向弧段。
解 I yzdx xzdy 2z2dz C
0 a sin t kt (a sin t)dt
a cos t kt (a cos t)dt
C
® 有向线段 C分段光滑并可求长，A(M )在 C
上有定义；
第二型曲线积分是对坐标的线积分；
被积表达式是两向量的点积，A(M )可以有 一个或两个分量为零，如
R2 中 A ds P( x, y)dx Q( x, y)dy
C
C
或 C P( x, y)dx ， C Q( x, y)dy
Q[x(t), y(t), z(t)] y(t)dt
R[x(t), y(t), z(t)] z(t)dt
® 计算式中可能只出现一、二项，但仍是
二型线积分，不是定积分；
对应始终点的上下限, 并非一定是 ； 曲线 C 若给其它形式的方程，只要全力
找出它的等价参数方程，问题即可迎刃 而解。
沿AB弧
0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
[(cos sin )( sin ) (cos sin )(cos )]d
0
2
(cos 2 sin 2 )d
1 cos 2
/2
1
0
2
0
解(2) I ( x y)dx ( x y)dy 沿折线AOB
( x 0)dx ( x 0)dy (0 y)dx (0 y)dy uuur
解 C : x a cos t, y a sin t, (0 t 2 ).
( x y)dx ( x y)dy
10-2第二类曲线积分-40页PPT精选文档
L
L
4°对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
5° 变力沿曲线所作的功
W P(x,y)dxQ (x,y)dy
L
性质 (1) 线性性质：，R1
[αF1
(x,
y)
βF2(x,
y)]d r
L
α
F1(x,
y)d r
β
F2(x,
y)d r
L
L
L2
(2) 可加性： L由 L1和 L2组成
(其中 为 n 个小弧段的最大长度)
2. 定义10.2 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条
有向光滑弧, 在L 上定义了一个有界向量函数
F (x,y)(P (x,y),Q (x,y))
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n
λl im 0i1F(ξi,ηi)ri
第二节
第十章
第二类曲线积分
一、第二类曲线积分的概念及性质 二、两类曲线积分之间的联系 三、第二类曲线积分的计算
一、第二类曲线功.
设一质点受如下变力作用
F (x,y)(P (x,y),Q (x,y))
L: A B, 求移动过程中变力
所作的功W. 解决办法:
eL(cos, cos)
er , 当a b时 er ，当a b时
其中 e r r(t ) |r(t) |
(2( t)( t )2(t), 2( t)( t )2(t))
d r eL d s (co ,cs o)d ss
L
y
B(1,1)
(1) 抛物线 L:yx2,x:0 1; x沿不y同2 的路径
第二类曲线积分 ppt课件
例 1：计算 I xdx ydy，其中 L : x2 y2 a2 L 沿逆时针方向。
解1：设 F {x ,y } ， 0 是 指 定 方 向 的 单 位 切 向 量 ，
因 为 F 0， 所 以 F 0 0 ， y
则ILxdxydy
F0ds L
o
x
0
事 实 上 ， 容 易 求 得 ： 0 1 { y ,x } a
设 A k(xk,yk), M k(k,k), 则
nr i A i 1 A i { x i nx i 1 ,y i y i 1 }记{xi,yi}
F(Mi)ri [P(i, i) xiQ (i, i) yi]
i1
i1
令 m i { s a i} x 0 ,其 s i为 中 A i 1 A i的弧
如何判断一个向量场是否是保守场，将在下一节讨论。
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例：求出 f (x, y) x2 y y3的梯度场，并在 f 的等高线上画 出梯度场，观察它们之间的关系。
解: f ( x , y ) 2 x y i ( x 2 3 y 2 ) j
从右图可以看出，梯度向量和 等高线正交。
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说明：
（1）变力沿定向曲线所做的功：W
L F (M ) dr
（2）若 L是封闭曲线，则沿 L的指定方向的第二类
曲线积分记为
L F (M ) dr
。
定理（第二类曲线积分存在的充分条件）：
设有向曲线 AB分段光滑，向量函数F(M )，的各
个分量函数在 AB上连续或分段连续，则F(M )沿曲线
上具有一阶连续导数, 且2(t) 2(t) 0 , 则曲
线积分 L P(x, y)dx Q(x, y)dy 存在，且
11.5第二类曲面积分PPT课件
类似地,可以定义S在 yOz及 zOx面上的投影。
2021/6/7
26
二、第二类曲面积分的概念与性质
1、实例: 流向平面一侧的流量.
(1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位时间 流过 A 的流体的质量(假定密度v为 1).
2021/6/7
A
n0
A
流量 v A cos v n0A v A
(1)曲面S用什么方程表示； (2)向哪个坐标面投影； (3)曲面S取哪一侧； (4)积分前取什么符号。
2021/6/7
39
例 1 计 算 曲 面 积 分 x 2 d y 2 d y z 2 d d z d 其 z x 中 是 x d 长
方体的整个表面的外侧 {(x y z)|0xa 0yb 0zc}
其中函数 P ,Q,R在 上有界,则有函数 A n P c Q o c s R o cs o
它A 在n d 上 的 第S ( P 一c 类曲 面o Q 积c 分s o R c s ) d o ，称为S s 函
数
A (x ,y ,z ) 在有向曲面 上的第二类曲面积分.
2021/6/7
内流向Σ指定侧的流体的
质量 .
o
y
2021/6/7
x
28
2021/6/7
29
2、第二类曲面积分的概念与性质
定处义的单设位法为向光量滑n 的 有c 向 曲i 面 o ,c 其上 j 任s o 一c 点(k x, s ,又o y,设z) s
A (x,y,z) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k ,
如果曲面的方程为xx(y z) 则曲面分为前侧与后 侧。当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的前侧当 cos0时，法向量指向的一侧是曲面的后侧
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二、第二类曲面积分的概念与性质
1、实例: 流向平面一侧的流量.
(1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位时间 流过 A 的流体的质量(假定密度v为 1).
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A
n0
A
流量 v A cos v n0A v A
(1)曲面S用什么方程表示； (2)向哪个坐标面投影； (3)曲面S取哪一侧； (4)积分前取什么符号。
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39
例 1 计 算 曲 面 积 分 x 2 d y 2 d y z 2 d d z d 其 z x 中 是 x d 长
方体的整个表面的外侧 {(x y z)|0xa 0yb 0zc}
其中函数 P ,Q,R在 上有界,则有函数 A n P c Q o c s R o cs o
它A 在n d 上 的 第S ( P 一c 类曲 面o Q 积c 分s o R c s ) d o ，称为S s 函
数
A (x ,y ,z ) 在有向曲面 上的第二类曲面积分.
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内流向Σ指定侧的流体的
质量 .
o
y
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x
28
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29
2、第二类曲面积分的概念与性质
定处义的单设位法为向光量滑n 的 有c 向 曲i 面 o ,c 其上 j 任s o 一c 点(k x, s ,又o y,设z) s
A (x,y,z) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k ,
如果曲面的方程为xx(y z) 则曲面分为前侧与后 侧。当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的前侧当 cos0时，法向量指向的一侧是曲面的后侧
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说明：
（1）变力沿定向曲线所做的功： W
?
?? F(
M
)
?dr?
L
（2）若L是封闭曲线，则沿 L的指定方向的第二类
曲线积分记为
?? F(
M
)
?dr?
L
。
定理（第二类曲线积分存在的充分条件）：
设有向曲线
AB? 分段光滑，向量函数
? F(
M
)，的各
个分量函数在
? AB
rrr 三元函数 f ( x, y, z)的梯度为 gradf ? f x?i ? f y?j ? fz?k @? f
r 定义： 一个向量场 F 称为保守场，如果它是某个数量函数的
梯度，即存在一个函数
f
，使得
r F
?
? f ，此时
f 称为
r F
的势函数。
注意： 不是所有的向量场都是保守场，但这种向量场在物理
M
i
，做数量积： ?
F (Mi ) ??
r?i ，( i
?
1,2,?
n)，
? 求和：
n
? F
(
M
i
)
??
? ri
，令
i?1
?
?
max ??
i
si ??
0，若
曲线积分与曲面积分
机动 目录 上页 下页 返回 结1束1
此和式的极限存在（不依赖于曲线的分法和点
法），则称此极限值为向量函数
? F
(
M
) 沿曲线
对坐标的曲线积分的定义：
设 L是一条从点 A到点 B的定向光滑（或分段 光滑）曲线，向量函数F?(M )在 L上有定义。用分点
A ? A0 , A1 ,? An ? B 将 L按从 A到 B的方向任意分
成uAuiu?1unAur个 i ?小? r弧ri ，段(，i ?记1,每2,?个n小)，弧在段每的个弧小长弧为上任? s取i ，一并点记
中确实频繁出现。
比如，力场，速度场都是保守场，但磁场不是保守场。
如何判断一个向量场是否是保守场，将在下一节讨论。
曲线积分与曲面积分
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例：求出 f ( x, y) ? x2 y ? y3的梯度场，并在 f 的等高线上画
出梯度场，观察它们之间的关系。
解:
r
r
? f ( x, y) ? 2 xyi ? ( x2 ? 3 y2 ) j
Mi 的取 L从 A到
B的第二类曲线积分（也称对坐标的曲线积分），记作
? ? lim
?? 0
n i?1
? F (Mi
) ??
? ri
?
? F
(
M
)
?dr?
L
其中有向曲线 L 称为积分曲线。
上式也称为第二类曲线积分的 向量形式。 第二类曲线积分也称为 向量场的线积分 。
曲线积分与曲面积分
机动 目录 上页 下页 返回 结1束2
从右图可以看出， 梯度向量和 等高线正交。
梯 度 向量 在 等高 线 密的 地方 长，在等高线稀的地方短。
这是因为，梯度向量的长度等于 f 的方向导数的值，等高线越密的地 方，意味着高度变化越快。
曲线积分与曲面积分
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二、对坐标的曲线积分
定向曲线与切向量：
定向曲线：带有确定走向的一条曲线。
x
o
x
束4
r rr F ? ? yi ? xj
rr F ? zk
曲线积分与曲面积分
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梯度场和保守场
定义： 一个数量函数的梯度是一个向量场，称为梯度场。
二元函数 f ( x, y)的梯度为
rr gradf ? f x?i ? f y?j @? f
?
?
?
Mi?1Mi ? (? xi )i ? (? yi ) j ? ? (? zi )k , 则
n
? W
?
lim
?? 0
[ P (?i ,? i ,? i )? xi
i?1
?
Q(?i ,? i ,? i )? yi
?
R(?i ,? i ,? i )? zi ]
坐标形式
曲线积分与曲面积分
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第二节
第十章
第二类曲线积分
一、向量场 二、第二类曲线积分的
概念与性质
三、第二类曲线积分的 计算
曲线积分与曲面积分
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一、向量场
曲线积分与曲面积分
机动 目录 上页 下页 返回 结束2
定义：设 D ? R2，R2上的向量场是一个函数， 这个函数将 D r
中的每个点 ( x, y)映射到一个二维向量 F ( x, y)。
“分割, 近似, 求和, 取极限”
(?i ,? i ,? i )?
L Mi?1
M2
A M1
B
M i Mn?1
分割 A ? M0 , M1 , ? , Mn?1 , Mn ? B.
近似
?
? Wi ? F (?i ,? i ,? i ) ?Mi?1M i ,
曲线积分与曲面积分
机动 目录 上页 下页 返回 结束9
定义：设 E ? R3， R3上的向量场是一个函数，这个函数将 E
中的每个点
(
x
,
y,
z)映射到一个三维向量
r F
(
x,
y,
z)。
曲线积分与曲面积分
机动 目录 上页 下页 返回 结束3
画向量场 y r rr F ? 2i ? j
o
r rr F ? xi ? yj
y
o
rr y F ? xi
x
o
x
r r ry F ? ? yi ? xj
曲线积分与曲面积分
机动 目录 上页 下页 返回 结束8
例：求变力 F 沿曲线 L 所作的功。
解: 设曲线 L : A ? B , 变力
?
?
?
?
F ( x, y, z) ? P ( x, y, z)i ? Q( x, y, z) j ? R( x, y, z)k
已知常力 F 沿直线所作的功 ?
W ? F ?AB. 求变力沿曲线所作的功，利用
求和:
?n ?
W ? F (?i ,? i ,? i ) ?M i?1Mi
i?1
取极限 :
(?i ,? i ,? i )?
L Mi?1
M2
A M1
B
M i Mn?1
?n ?
W ?
?
lim
?? 0
i?1
F
(?i ,? i ,? i ) ?M i?1Mi
?
向量形式
?
?
? F (?i ,? i ,? i ) ? P (?i ,? i ,? i )i ? Q(?i ,? i ,? i ) j ? R(?i ,? i ,? i )k
规定：定向曲线上各点处的切向量的方向总与曲线的
走向一致。
?x ? x(t)
设定向曲线
L
的参数方程为：
? ?
y
?
y(t
)
t:a ?
b
?? z ? z(t)
表示 L 的起点对应 t ? a ，终点对应 t ? b。
则 L 的切向量为： ?? ? ?{ x?(t) , y?(t) , z?(t) }
其中：当 a ? b时，取正号； a ? b时，取负号。