精选幻灯片第二类曲线积分

对坐标的曲线积分的定义：
设 L是一条从点 A到点 B的定向光滑（或分段 光滑）曲线，向量函数F?(M )在 L上有定义。用分点
A ? A0 , A1 ,? An ? B 将 L按从 A到 B的方向任意分
成uAuiu?1unAur个 i ?小? r弧ri ，段(，i ?记1,每2,?个n小)，弧在段每的个弧小长弧为上任? s取i ，一并点记
规定：定向曲线上各点处的切向量的方向总与曲线的
走向一致。
?x ? x(t)
设定向曲线
L
的参数方程为：
? ?
y
?
y(t
)
t:a ?
b
?? z ? z(t)
表示 L 的起点对应 t ? a ，终点对应 t ? b。
则 L 的切向量为： ?? ? ?{ x?(t) , y?(t) , z?(t) }
其中：当 a ? b时，取正号； a ? b时，取负号。
x
o
x
曲线积分与曲面积分
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r rr F ? ? yi ? xj
rr F ? zk
曲线积分与曲面积分
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梯度场和保守场
定义： 一个数量函数的梯度是一个向量场，称为梯度场。
二元函数 f ( x, y)的梯度为
rr gradf ? f x?i ? f y?j @? f
第二节
第十章
第二类曲线积分
一、向量场 二、第二类曲线积分的
概念与性质
三、第二类曲线积分的 计算
曲线积分与曲面积分
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一、向量场
曲线积分与曲面积分
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定义：设 D ? R2，R2上的向量场是一个函数， 这个函数将 D r
中的每个点 ( x, y)映射到一个二维向量 F ( x, y)。
定义：设 E ? R3， R3上的向量场是一个函数，这个函数将 E
中的每个点
(
x
,
y,
z)映射到一个三维向量
r F
(
x,
y,
z)。
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画向量场 y r rr F ? 2i ? j
o
r rr F ? xi ? yj
y
o
rr y F ? xi
x
o
x
r r ry F ? ? yi ? xj
M
i
，做数量积： ?
F (Mi ) ??
r?i ，( i
?
1,2,?
n)，
? 求和：
n
? F
(
M
i
)
??
? ri
，令
i?1
?
?
max ??
i
si ??
0，若
曲线Biblioteka Baidu分与曲面积分
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此和式的极限存在（不依赖于曲线的分法和点
法），则称此极限值为向量函数
? F
(
M
) 沿曲线
Mi 的取 L从 A到
B的第二类曲线积分（也称对坐标的曲线积分），记作
? ? lim
?? 0
n i?1
? F (Mi
) ??
? ri
?
? F
(
M
)
?dr?
L
其中有向曲线 L 称为积分曲线。
上式也称为第二类曲线积分的 向量形式。 第二类曲线积分也称为 向量场的线积分 。
曲线积分与曲面积分
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求和:
?n ?
W ? F (?i ,? i ,? i ) ?M i?1Mi
i?1
取极限 :
(?i ,? i ,? i )?
L Mi?1
M2
A M1
B
M i Mn?1
?n ?
W ?
?
lim
?? 0
i?1
F
(?i ,? i ,? i ) ?M i?1Mi
?
向量形式
?
?
? F (?i ,? i ,? i ) ? P (?i ,? i ,? i )i ? Q(?i ,? i ,? i ) j ? R(?i ,? i ,? i )k
说明：
（1）变力沿定向曲线所做的功： W
?
?? F(
M
)
?dr?
L
（2）若L是封闭曲线，则沿 L的指定方向的第二类
曲线积分记为
?? F(
M
)
?dr?
L
。
定理（第二类曲线积分存在的充分条件）：
设有向曲线
AB? 分段光滑，向量函数
? F(
M
)，的各
个分量函数在
? AB
中确实频繁出现。
比如，力场，速度场都是保守场，但磁场不是保守场。
如何判断一个向量场是否是保守场，将在下一节讨论。
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例：求出 f ( x, y) ? x2 y ? y3的梯度场，并在 f 的等高线上画
出梯度场，观察它们之间的关系。
解:
r
r
? f ( x, y) ? 2 xyi ? ( x2 ? 3 y2 ) j
?
?
?
Mi?1Mi ? (? xi )i ? (? yi ) j ? ? (? zi )k , 则
n
? W
?
lim
?? 0
[ P (?i ,? i ,? i )? xi
i?1
?
Q(?i ,? i ,? i )? yi
?
R(?i ,? i ,? i )? zi ]
坐标形式
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“分割, 近似, 求和, 取极限”
(?i ,? i ,? i )?
L Mi?1
M2
A M1
B
M i Mn?1
分割 A ? M0 , M1 , ? , Mn?1 , Mn ? B.
近似
?
? Wi ? F (?i ,? i ,? i ) ?Mi?1M i ,
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曲线积分与曲面积分
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例：求变力 F 沿曲线 L 所作的功。
解: 设曲线 L : A ? B , 变力
?
?
?
?
F ( x, y, z) ? P ( x, y, z)i ? Q( x, y, z) j ? R( x, y, z)k
已知常力 F 沿直线所作的功 ?
W ? F ?AB. 求变力沿曲线所作的功，利用
rrr 三元函数 f ( x, y, z)的梯度为 gradf ? f x?i ? f y?j ? fz?k @? f
r 定义： 一个向量场 F 称为保守场，如果它是某个数量函数的
梯度，即存在一个函数
f
，使得
r F
?
? f ，此时
f 称为
r F
的势函数。
注意： 不是所有的向量场都是保守场，但这种向量场在物理
从右图可以看出， 梯度向量和 等高线正交。
梯 度 向量 在 等高 线 密的 地方 长，在等高线稀的地方短。
这是因为，梯度向量的长度等于 f 的方向导数的值，等高线越密的地 方，意味着高度变化越快。
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二、对坐标的曲线积分
定向曲线与切向量：
定向曲线：带有确定走向的一条曲线。