数值逼近误差计算.ppt to doc

第一章 绪论

逼近的目的，就是用简单的函数来逼近复杂的函数，数值逼近各种方法求得的数学问题的解，只是其一个近似解，与准确解之间存在着误差。 误差来源

模型误差：忽略许多次要因素，把模型“简单化”、“理想化”；

观测误差：受工具、方法、观测者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响； 截断误差：模型难于直接求解，其近似解与精确解之间的误差； 舍入误差：运算过程中，初始参数与中间结果都必须进行四舍五入。 例1 求 x e 时，可将x e 展开为级数形式：

在实际计算时，我们只取前面有限项（例如n 项）

计算部分和 ()n S x 作为x

e 的值必然产生误差，其误差为：1()(1)!

n n e R x x n ξ

+=+

这个误差就是“截断误差”。 误差来源分析

在本课程中，不分析模型误差；观测误差作为初始舍入误差；截断误差是主要讨论对象，是计算中误差的主要部分。在各种算法中，通过数学方法可推导出截断误差限的公式；舍入误差产生往往有很大的随机性，讨论比较困难，在问题本身呈现病态或不稳定时，它可能成为计算中误差的主要部分。

误差分析是一门专门的学科，经过训练的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能找出误差的来源，并采取相应的措施加以改进，甚至对模型进行修改。

误差的相关概念

误差、误差限、有效数字

相对误差限及与有效数字的联系 四则运算结果的误差限

在近似计算中应该注意的事项 误差的概念

定义1.1 设 x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，称x x -*为 x 近似值的绝对误差，简称误差。

注: ①误差是有量纲的量 ，它可正可负

② 绝对误差为正时，近似值偏大，叫强近似值 ③ 绝对误差为负时，近似值偏小，叫弱近似值 绝对误差限

212!!

n x

x x e x n =+++++

2()12!!

n

n x x S x x n =++++

通常我们并不知道准确值 x ,也不能算出误差的准确值，但能根据测量工具或计算情况相对误差估计出误差的绝对值的上限，这个上限称为近似值*x 的误差限，记为ε。

*x x ε-≤即：e ε≤在工程中常记为： *x x ε=± 相对误差：

定义1.2 误差与精确值的比值：

*

e x x x x

-= 称作近似值*x 的相对误差，记作r e 。

注：相对误差是无量纲的量，常用百分比表示，它可正可负。

相对误差限

相对误差也不能准确计算，而是用相对误差限来估计的：*r r x x e x x

ε

ε-=

≤= r ε就是相对误差限．

当 r ε较小时，可以忽略不计，所以以后我们就用*x ε

表示相对误差限。

有效数字位数

定义1.3 设 x 为准确值，*x 为x 的近似值，可表示为

m n a a a x 10.021*⨯±= （ m 为整数）

其中 11,0a a ≠～n a 为0,1,2…9 中一个数字。如果误差满足n m x x -⨯≤-102

1

||*

即*x 误差不超过某位的半个单位。称该位到*x 第一位非零数字为*x 的有效数字，即*x 有n 位有效数字，或者说*x 准确到该位。

如果误差满足：

*1

102

n x x --≤⨯

则说x* 近似表示 x 准确到小数后第n 位，并从这第n 位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的个数称为有效位数。

413.1416102π--≤⨯ 51

3.14159102

π--≤⨯

3.140.0015926π-= 有效数位为3位

3.14160.0000074

π-=-有效数位为5位

x

x *

x m n a a a x 10.021*⨯±= m

n a 9,,1,0 *

x

有效数字与误差限关系的定理

定理1.1 设近似12*0.10m n x a a a =±⨯ 0a 1≠，有n 位有效数字，则其相对误差限为11

1

102n r a ε-+≤

⨯

定理1.2 设近似值12*0.10m n x a a a =⨯ 的相对误差限为：111

102(1)

n a -+⨯+，10

a ≠则它有n 位有效数字。 四则运算结果的误差限

，则的近似数设*2*121,,x x x x )()()(*

2*1*2*1x e x e x x e +==± 2

*2*

2*1*1*2*2*1*2*1*1*2*2*1)

()()()()()()(x x e x x e x x x e x e x x e x x x e r r -=+=

在近似计算中应该注意的事项 1.避免两个相近的数相减；

x x x x x cos 1sin sin cos 10+=-→ x

x x x x ++=-+11

1很大

2.避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法；

⎩⎨⎧=+=+210001.0y x y x ⎩⎨

⎧=+=+10001.02

y x y x 解得：1,0==y x 解得：1,1==y x 3.要防止大数“吃掉”小数；

4位有效数字舍入运算：

0.4+0.3+0.2+0.1+1234=1235 ①事先预防 1234+0.4+0.3+0.2+0.1=1234 ②事后解决 4.尽可能减少运算次数；

5.要设法控制误差的传播。

3.14150.0000926

π-=有效数位为4位