第二型曲面积分计算中常见的问题
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正 向 与 Ｚ轴 正 向成 锐 角 时 ， ｘ ｙ平 面 的投 影 区域 的 面 Ｓ在 ｏ 积 △ Ｓ 为 正 ． 之 ， ｓ 法 线 正 向 与 ｚ轴 正 向成 钝 角 时 ， 反 若 它 在 Ｊ ｙ平 面 的 投 影 区 域 的 面积 △ ｓ ｍ
～
∑ 关 ｏ 平 对称， ｘＹ ） 于ｘ 面 ｙ ｆ ， 为∑ 上的 （ ， 连续函 数， ∑ 为∑ 位于ｘ 平 上 曲 则 ｏ 面 部的 面， 有 ｙ
∑
［ 稿 日期 ３０ ０ ０ Ｏ 收 ２ １ ～１ —２ ［ 者简 介］ 邓 若 曦 （９ ７ ） 男 。 北 丹 江 口人 ， 汉理 ． 大 学 ２ １ 作 １８一 ， 湖 武 Ｙ － ０ ０级 硕 士 研 究 生 ， 要 从 事 信 息 安 全 与 图像 处 理 主
‘（ｙ） Ｑ， ） ｚＲ， ） ｆｘ，ｙ＋（ｙ ｄ ＋（ｙ ｄ Ｐ ， ｄ Ｘ，ｚ ｗ，ｘ ｚｄ ｚｄ ｚｄ
Ｓ
ห้องสมุดไป่ตู้关 ） 不 可 压 缩 流 体 在 单 位 时 间 内 流量 和计 算 通 过 曲 面 的 的
磁 通 量 的 重 要 方 法 ． 是 积 分 理 论 中 极 为 重 要 的 组 成 部 它
（ ， ＋Ｑ，）ｚｆ（ ， ｚ ｆ（ ， ＋Ｒ，） ，） ｆｘ ｚ ｆｘ ｚ ｙ捌 ｙ出
定 理 １ 设 Ｒ是 定 义 在 光 滑 曲 面 Ｓ： ２＝ ｚ ｘ ） （ ， （ ， ，ｚ ）∈ Ｄ 上 的 连 续 函 数 ， Ｓ的 上侧 为 正 侧 （ 时 Ｓ的 法 以 这 线方 向 与 轴 正 向 成 锐 角 ） 则 有 ，
ｓ ， ， 分 割 丁 的 细 度 ＪＴ ｌ 一 ｍａ ｛ 的 直 径 ｝ 以 ｚ… ｓ ， ｌ ｝ ｘｓ ，
１ ４ ≤
△ ｓ ， ｓ ， Ｓ 分 别 表 示 ５ 在 三 个 坐 标 面 上 的投 影 △ △ ，
区域 的 面 积 ， 们 的符 号 由 ｓ 的方 向来 确 定 ． ｓ 的 法 线 它 若
有关定理叙述如下 ： 定 义 ｌ 设 Ｐ， Ｒ 为 定 义 在 双 侧 曲 面 Ｓ 上 的 函数 ， Ｑ， 在 ｓ所 指 定 的 一 侧 作 分 割 Ｔ， 把 Ｓ分 为 个 小 曲 面 ｓ 它 ，
定理 ２ 设 空 间 区域 Ｖ 由分 片 光 滑 的 双侧 封 闭 曲面 Ｓ
邓 若 曦
（ 汉理 工 大学 ，湖北 武
［ 摘
武汉
４ ０ ７） ３ ０ ０
要 ］ 集 整 理 现 行 数 学 分析 、 收 高等 数 学教 材 及 研 究 生入 学 考 试 辅 导 资 料 中关 于 第二 型 曲 面 积 分 计 算
中容 易 出现 的 几 个 问题 ， 其错 误 进 行 初 步 的 分 析 ． 对
围成 ． 函 数 Ｐ， Ｒ 在 Ｖ 上 连 续 ， 有 一 阶连 续 偏 导数 ， 若 Ｑ， 且 则
ｊ ＋ 芸出 — ｄ＋ ｚ Ｉ ＋ ） ｚ ＋ 『 （
Ｐｄ
ｖ
Ｒｄｚｄｙ
，
其 中 Ｓ取 外 侧 ， 式 称 为 高斯 公 式 ． 上 定 理 ３ （ 一 型 曲 面 积 分 的 对 称 性 质 ）若 光 滑 曲面 第 ：
， ● ，●● ● ， ， ●
分 ． 由于 第 二 型 曲面 积 分 的定 义 较 长 而 且 所 涉 及 的概 念 但 较多 ， 之 第 二 型 曲 面 积 分 的 计 算 大 多 较 为 复 杂 ， 果 不 加 如 把 第 二 型 曲 面积 分 的概 念 掌 握 准 确 、 若 没 有 透 彻 理 解 高 倘 斯 公 式 的话 ， 么 在 第 二 型 曲 面积 分 计 算 的 时 候 将 会 出 现 那 这 样 或 那 样 的 问题 ． 文 就 是 作 者 在 备 战研 究 生 入 学 考 试 本
［ 键 词 ］ 二 型 曲 面积 分 ； 关 第 曲面 的 侧 ； 斯 公 式 ； 侧 曲 面 高 双 ［ ｏ ｌ ． ９ ９ｊｉ ｎ １０ — ６ ７ ．０ ０ ０ ． ０ ｄ ｉ Ｏ ３ ６ ／．ｓ ． ０ ８ ０ ２ ２ １ ． ６ ０ ３ ］ ｓ
［ 图分 类 号 ］ １ ２ ２ 中 Ｏ ７ ．
２１ ０ ０年 １ 月 ２
郧 阳 师 范 高 等 专 科 学 校 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ａ ｇ Ｔｅ ｃ ｅ ｓ Ｃｏ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＹｕ ｙ ｎ ａ ｈ ｒ ｌ ｅ ｅ
Ｄｅ ． ２ ０ ｃ ０１
第 ３ Ｏ卷 第 ６期
Ｖｏ ＿ ０ ＮＯ ６ ｌ３ ．
第 二型 曲 面积 分 计算 中常 见 的 问题
／
（ｙ）ｄ一『 （ ｘ ，ｄ ｆ ，ｚｘ Ｒ
ｘ ｙ
）ｘ ）ｄ ｄ
复 习时， 遇到的第二 型曲面 积分计 算的 几个 常见 问题 ， 所
对 其 错 误 进 行 了初 步 分 析 ， 望 得 到 老 师 、 学 们 的 赐 教 ． 希 同 为 了说 明 问题 方 便 ， 先 把 第 二 型 曲 面积 分 的计 算 和 我
为 负 ． 各 个 小 曲 在
『 『
）
ｆ ｘ，，） （ Ｙ 为 的偶 函数
ｆ ｘ， ，） ｚ的奇 函数 （ Ｙ 为
面 ｓ 上 任 取 一 点 （ 聩， ） 若 ￡， ，
Ｐ（ ，ｉＺ ＋ Ｉ ８， ｇ）ｋＳ
｛ Ｉ
， ＃） ＆ 孕， Ｉ△
２ 问题 的 讨 论
［ 献标 识码 ］ 文 Ａ
［ 文章 编 号 ］０ ８ ６ ７ （０ ０ Ｏ 一 Ｏ ０ 一 Ｏ １ ０ － ０２ ２ １ ）６ Ｏ ７ ３
Ｒ 在 曲面 Ｓ所 指 定 的一 侧 上 的 第 二 型 曲 面 积 分 ， 记作
１ 引 言
第二型曲面 积分 是计 算 稳定 流 动 （ 速 与 时 间 ｔ 流 无
例 １ 计 算 下 列 第 二 型 曲 面积 分．
＋
ｉ 。
Ｒ（ ， Ａ Ｓ 存 在 ， 与 曲面 Ｓ的 分 割 丁 ８， 蚤） 且
和 （ ， ） Ｓ 上 的取 法 无 关 ， 称 此 极 限 为 函数 Ｐ， ｓ， 在 则 Ｑ，
１ ，中 是 球 ｚ ｊ 一 ． ． ｊ 其 ∑ 半 面 ， ２Ｒ． ｚ ＋ ＋ （ ） ≥
～
∑ 关 ｏ 平 对称， ｘＹ ） 于ｘ 面 ｙ ｆ ， 为∑ 上的 （ ， 连续函 数， ∑ 为∑ 位于ｘ 平 上 曲 则 ｏ 面 部的 面， 有 ｙ
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［ 稿 日期 ３０ ０ ０ Ｏ 收 ２ １ ～１ —２ ［ 者简 介］ 邓 若 曦 （９ ７ ） 男 。 北 丹 江 口人 ， 汉理 ． 大 学 ２ １ 作 １８一 ， 湖 武 Ｙ － ０ ０级 硕 士 研 究 生 ， 要 从 事 信 息 安 全 与 图像 处 理 主
‘（ｙ） Ｑ， ） ｚＲ， ） ｆｘ，ｙ＋（ｙ ｄ ＋（ｙ ｄ Ｐ ， ｄ Ｘ，ｚ ｗ，ｘ ｚｄ ｚｄ ｚｄ
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ห้องสมุดไป่ตู้关 ） 不 可 压 缩 流 体 在 单 位 时 间 内 流量 和计 算 通 过 曲 面 的 的
磁 通 量 的 重 要 方 法 ． 是 积 分 理 论 中 极 为 重 要 的 组 成 部 它
（ ， ＋Ｑ，）ｚｆ（ ， ｚ ｆ（ ， ＋Ｒ，） ，） ｆｘ ｚ ｆｘ ｚ ｙ捌 ｙ出
定 理 １ 设 Ｒ是 定 义 在 光 滑 曲 面 Ｓ： ２＝ ｚ ｘ ） （ ， （ ， ，ｚ ）∈ Ｄ 上 的 连 续 函 数 ， Ｓ的 上侧 为 正 侧 （ 时 Ｓ的 法 以 这 线方 向 与 轴 正 向 成 锐 角 ） 则 有 ，
ｓ ， ， 分 割 丁 的 细 度 ＪＴ ｌ 一 ｍａ ｛ 的 直 径 ｝ 以 ｚ… ｓ ， ｌ ｝ ｘｓ ，
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有关定理叙述如下 ： 定 义 ｌ 设 Ｐ， Ｒ 为 定 义 在 双 侧 曲 面 Ｓ 上 的 函数 ， Ｑ， 在 ｓ所 指 定 的 一 侧 作 分 割 Ｔ， 把 Ｓ分 为 个 小 曲 面 ｓ 它 ，
定理 ２ 设 空 间 区域 Ｖ 由分 片 光 滑 的 双侧 封 闭 曲面 Ｓ
邓 若 曦
（ 汉理 工 大学 ，湖北 武
［ 摘
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４ ０ ７） ３ ０ ０
要 ］ 集 整 理 现 行 数 学 分析 、 收 高等 数 学教 材 及 研 究 生入 学 考 试 辅 导 资 料 中关 于 第二 型 曲 面 积 分 计 算
中容 易 出现 的 几 个 问题 ， 其错 误 进 行 初 步 的 分 析 ． 对
围成 ． 函 数 Ｐ， Ｒ 在 Ｖ 上 连 续 ， 有 一 阶连 续 偏 导数 ， 若 Ｑ， 且 则
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其 中 Ｓ取 外 侧 ， 式 称 为 高斯 公 式 ． 上 定 理 ３ （ 一 型 曲 面 积 分 的 对 称 性 质 ）若 光 滑 曲面 第 ：
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分 ． 由于 第 二 型 曲面 积 分 的定 义 较 长 而 且 所 涉 及 的概 念 但 较多 ， 之 第 二 型 曲 面 积 分 的 计 算 大 多 较 为 复 杂 ， 果 不 加 如 把 第 二 型 曲 面积 分 的概 念 掌 握 准 确 、 若 没 有 透 彻 理 解 高 倘 斯 公 式 的话 ， 么 在 第 二 型 曲 面积 分 计 算 的 时 候 将 会 出 现 那 这 样 或 那 样 的 问题 ． 文 就 是 作 者 在 备 战研 究 生 入 学 考 试 本
［ 键 词 ］ 二 型 曲 面积 分 ； 关 第 曲面 的 侧 ； 斯 公 式 ； 侧 曲 面 高 双 ［ ｏ ｌ ． ９ ９ｊｉ ｎ １０ — ６ ７ ．０ ０ ０ ． ０ ｄ ｉ Ｏ ３ ６ ／．ｓ ． ０ ８ ０ ２ ２ １ ． ６ ０ ３ ］ ｓ
［ 图分 类 号 ］ １ ２ ２ 中 Ｏ ７ ．
２１ ０ ０年 １ 月 ２
郧 阳 师 范 高 等 专 科 学 校 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ａ ｇ Ｔｅ ｃ ｅ ｓ Ｃｏ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＹｕ ｙ ｎ ａ ｈ ｒ ｌ ｅ ｅ
Ｄｅ ． ２ ０ ｃ ０１
第 ３ Ｏ卷 第 ６期
Ｖｏ ＿ ０ ＮＯ ６ ｌ３ ．
第 二型 曲 面积 分 计算 中常 见 的 问题
／
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２ 问题 的 讨 论
［ 献标 识码 ］ 文 Ａ
［ 文章 编 号 ］０ ８ ６ ７ （０ ０ Ｏ 一 Ｏ ０ 一 Ｏ １ ０ － ０２ ２ １ ）６ Ｏ ７ ３
Ｒ 在 曲面 Ｓ所 指 定 的一 侧 上 的 第 二 型 曲 面 积 分 ， 记作
１ 引 言
第二型曲面 积分 是计 算 稳定 流 动 （ 速 与 时 间 ｔ 流 无
例 １ 计 算 下 列 第 二 型 曲 面积 分．
＋
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