抛物线解析式的求法

四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米， 它能否通过隧道？
解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，，∴A（-3.6，0），
B（3.6，0），P（0，3.6）。
又∵P（0，3.6）在图像上，
当x=OC=0.8时，
又易知C（-5，3），D(5,3) 所以3＝a(5＋10)(5－10)
1
所以a ＝－ 25 1 所以抛物线的解析式为y＝－ 25 x2＋4 当X=0时，Y=4 所以当正常水位时，拱桥的顶端离水面4米
知识拓展
题三：如图，将抛物线y=x2左右平移，平移后的抛物线与
直线y=
1 2
x+2交于点E，与y轴交于点F，若EF//x轴，
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时， 高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。 船的高度指船在水面上的高度）。（3）当水位是2米时， 高1米，宽为4米的船能否通过拱桥？请说明理由。
(3)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船 及水位的高度是否超过船的边缘所在位置拱桥的拱高。
解： 当船宽为4米时，船边缘所在位置拱桥的拱高为：
即当x=-4时，
=-0.1×(-4)2-1.2×(-4) =3.2 当水位为2米时， 水位+船高 =2+1 =3 ∵3＜3.2 ∴ 船能通过拱桥。
P
Q -4
3.2
2
二次函数的几种解析式及求法
前 言 思想方法
二次函数解析式
一般式 顶点式 交点式 平移式
如图一，已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。
顶点式（平移式）： y=a(x-d)2+h (a≠ 0）
如图二，已知抛物线上顶点坐标，通常选择顶点式。
交点式： y=a(x-x1)(x-x2) (a≠ 0）
如图三，已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。 y y y
A C
o
B
图一
x
o
x
A（d,h） 图二
（2）、再将
向下平移3个单位得
（上加下减）
即：所求的解析式为
三、应用举例
例3、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式； 解：（1）、由图可知：抛物线经过O（0，0），B（-12，0）。 设解析式为
即：
又 ∵A（-2，2）点在图像上， ∴ ∴ 即：
思维提炼
一般式
解析式表达形式
顶点式 交点式
利用待定系数法建立解析式模型
解析式求法
根据题目给定的信息求系数 函数与方程思想
解题思想
数形结合思想 转化思想
课后练习
1.已知二次函数的图像过原点，当x=1时， y有最小值为-1，求其解析式。 2.抛物线y=x2-2x-1的顶点为A,另一抛物 线与轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在 抛物线y=x2-2x-1的对称轴上， －2 (1)求点A与点C的坐标 (2)当四边形AOBC为菱形时，求另一抛物线 的解析式
刘炜跳投
探索:
如图，刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行 的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时, 达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中 心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米, 在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求 出手时,他跳离地面的高度是多少?
a = -0.1 F
E
（-2，2）
（-12，0）
三、应用举例
例3、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时， 高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。 船的高度指船在水面上的高度）。
y
C
A O
(5, 3)
D
(15, 3）
B x
(20, 0)
过C点作AB的垂线，垂足为O，以点O为坐标原点 建立平面直角坐标系
可设抛物线：y＝a(x＋5)(x－15) 或：y＝ax2＋bx
y
(0, 3) ＋3
C O x
D
(10, 3 )
来自百度文库
A
(－5, 0)
B
(15, 0)
y
(－5, 3)
C O
D
(5, 3)
二次函数常见的几种模型 一般式：y=ax2+bx+c (a≠ 0）
顶点式（平移式）：y=a(x-d)2+h (a≠ 0）
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠ 0）
知识探究:
题一：已知二次函数的图像如图所示，求其解析式。
（3，0）
抛物线解析式的合理选择 一般式： y=ax2+bx+c (a≠ 0）
四、尝试练习：
练习1.已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有 最小值为-1，求其解析式。 练习2.已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）, （1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。 练习3.将二次函数 的图像向右 平移1个单位，再向上平移4个单位，求其解析式。 练习4.如右图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这 个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车 高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？ 练习5.有一座抛物线形拱桥，在正常水位 时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时 ，水面CD的宽为10m． （1）建立如图直角坐标系， C 求点B、D的坐标。 （2）求此抛物线的解析式； A 练习6.探索：利用二次函数说 出x2-2x-3＜0的解集
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） ∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴ ∴ a = -1 ∴ 即：
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米， 它能否通过隧道？ 分析：卡车能否通过，只要看卡 车在隧道正中间时，其车高3米是否 超过其位置的拱高。 即当x= OC=1.6÷2=0.8米时， 过C点作CD⊥AB交抛物线于D点， 若y=CD≥3米，则卡车可以通过。
y D B
O
x
评析：
刚才采用一般式、顶点式和交点式求解， 通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用 一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、 一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、 解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成 训练，可事半功倍。 2007年中考数学命题趋势，贴近 学生生活，联系实际，把实际问题转化 为数学模型，培养学生分析问题、解决 问题的能力，增强学以致用的意识。
（2）求当正常水位时，拱 桥的顶端离水面有多少米？
y
A
(－10, 0)
B x
(10, 0)
y＝a(x＋10)(x－10)
A
y C A O
(5, 3)
C
O
D B
x
y＝ax2
D
(15, 3）
B x
(20, 0)
y
(0, 3)
y＝ax2＋bx 或y＝a(x － 20)(x－0)
C O x D A
(－5, 0)
y
o
－1 －1 －2 A 1 2 3
x
二次函数常用的几种解析式的确定技巧
1、一般式
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。 2、顶点式
已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 3、交点式 已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。 4、平移式 将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐 标， 可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减， 上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。
四、尝试练习
1、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为 -1，求其解析式。 解：设二次函数的解析式为 ∵ x = 1, y= -1 , ∴顶点（1，-1）。 ∴ 又（0，0）在抛物线上， ∴ ∴ a =1 ∴ 即：
四、尝试练习
2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）, （1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。
x1
o
x2 x
图三
知识巩固：
题二：如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B 的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m． （1）建立合适的直角坐标系，求点A、B、C、D的坐 标，并设出抛物线的解析式。
C A
D B
以AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系
可设抛物线：y＝a(x＋10)(x－10)
y
(－5, 3)
C
O
D
(5, 3)
A
(－10, 0)
B x
(10, 0)
以CD的中点为坐标原点建立平面直角坐标系
可设抛物线：y＝a(x＋5)(x－5)
y
(－5, 0)
C
A
(－10, －3)
O
D
(5, 0
x B
(10, －3)
以A点为坐标原点建立平面直角坐标系
可设抛物线：y＝a(x
－
20)(x－0)
求平移后的抛物线的解析式。 y
F E (2b,b＋2) E
2b
y=(x－b)2
y
F (0,b2)
y=
1 x+2 2
O
x
b
O
x
解：不妨设抛物线的解析式为y=（x-b）2， 对称轴直线x＝b，则F（o，b2） 因为EF∥X轴 ∴E、F关于直线x＝b对称 1 ∴点E的横坐标为2b，且点E在直线y= 2 x+2上 ∴E（2b，b+2） ∴b2= b+2 解之有b1= -1，b2=2 ∴平移后抛物线的解析式为y=（x+1）2或y=（x-2）2 即：y=x2+2x+1或y= x2－4x+4
知识回顾：
（1）开口向下且过（0，3）的抛物线可能是 （ A ） A、y=-x2+x+3 B、y=x2+3x+2 C、y=x+3 D、y=-x+3 （2）开口向下，顶点为（-1，2）的抛物线可能是（ A ） A、y=-2(x+1)2+2 B、y=-2(x-1)2+2 C、y=(2x+1)2+2 D、y=x2+1 （3）开口向上，且与x轴交于（-3，0）；（2，0）的抛物 线可能是 （ B ） A、 y=3(x-3)(x+2) B、 y=2(x+3)(x-2) （4）将抛物线y=x2向右平移5个单位后的解析式是 y=(x－5)2 。
（3，0）
三、应用举例
例1、已知二次函数的图像如图所示，求其解析式。 解法三： 一般式 易得 B（3，0） 又由题可知，抛物线经过 A (-1,0)、C （1，4） 设解析式为 ∴ 即：
（3，0）
三、应用举例
例2、将抛物线 向左平移4个单位， 再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。 解法：将二次函数的解析式 转化为顶点式得： (1)、由 向左平移4个单位得： （左加右减）
三、应用举例
例1、已知二次函数 的图像如图所示，求其解析式。 解法二：交点式
由题可知，抛物线与x 轴的两个交点 坐标 为 A (-1,0)、B（3，0） 不妨设解析式为 即 y = a (x+1) (x- 3) 又 C（1，4）在抛物线上 ∴ 4 = a (1+1) (1-3) ∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3) 即：
例1 例2 练习1 练习2 练习3 练习4 一般式 顶点式 应用 交点式
应用举例
例3 平移式
尝试练习 小 结
二次函数是初中代数的重要内 容之一，也是历年中考的重点。这 部分知识命题形式比较灵活，既有 填空题、选择题，又有解答题，而 且常与方程、几何、三角等综合在 一起，出现在压轴题之中。 因此， 熟练掌握二次函数的相关知识，会 灵活运用一般式、顶点式、交点式 求二次函数的解析式是解决综合应 用题的基础和关键。
(10, 3 )
B
(15, 0)
y＝ax2＋bx ＋ 3
或y＝a(x＋5)(x－15)
y
(－5, 3)
C O
D
(5, 3)
A
(－10, 0)
B x
(10, 0)
解：以AB的中点为坐标原点，以AB所在的直线为x轴 建立平面直角坐标系 可知，A(-10,0)，B(10,0) 可设抛物线：y＝a(x＋10)(x－10)
∴卡车能通过这个隧道。
四、尝试练习
4、将二次函数 的图像向右平移1个单位， 再向上平移4个单位，求其解析式。 解：∵ 二次函数解析式为
（1）、由
向右平移1个单位得：
（左加右减）
（2）、再把
向上平移4个单位得： （上加下减）
即：所求的解析式为
5. 刘炜在距离篮下4米处跳 起投篮,篮球运行的路线是抛 物线,当球运行的水平距离为 2.5米时,达到最高度3.5米,然 后准确落入蓝筐.已知蓝筐中 心到地面距离为3.05米.如果 刘炜的身高为1.9米,在这次 跳投中,球在头顶上方0.15米 处出手,问求出手时,他跳离 地面的高度是多少?
(2)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时， 船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。
解： ∵ ∴
P
Q
2.5
∴顶点（-6，3.6）, PQ是对称轴。
当水位为2.5米时， 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 ＞ 3.6
∴ 船不能通过拱桥。
三、应用举例
例3、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。