行列式的计算方法与其在线性方程组的简单应用

本科生毕业论文
题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用姓名：
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摘要
《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。

行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。

计算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。

当看到一个貌似非常复杂的n阶行列式时，仔细观察，会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。

掌握住这些规律，选择合适的计算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种计算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。

行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。

它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。

关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组
ABST RACT
Algebra is a courses of mathematics specialized compulsory of the basic mathematic. The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation, alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours . There are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,and we will find that their elements are arranged in rows or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method,it can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an important theory in linear equations and it is an indispensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and promotion. It is not only the solution of linear equations of the important tool, but also in some other branch has a wide range of applications.
Key words: n order determinant calculation method induce linear equations
目录
引言 (1)
1 n阶行列式的定义 (3)
2 n阶行列式的性质 (3)
3 计算n阶行列式的具体方法与技巧 (4)
3.1 利用行列式定义直接计算 (4)
3.2 利用行列式的性质计算 (5)
3.3 化为三角形行列式 (6)
3.4 降阶法 (7)
3.5 逆推公式法 (8)
3.6 利用范德蒙德行列式 (9)
3.7 加边法（升阶法） (9)
3.8 数学归纳法 (10)
3.9 拆开法 (11)
4 行列式在线性方程组中的初步应用 (11)
4.1 克拉默（Gramer）法则 (12)
4.2 克拉默（Gramer）法则的应用 (12)
4.2.1 用克拉默（Gramer）法则解线性方程组 (13)
4.2.2 克拉默法则及其推论在几何上的应用 (14)
结论 (16)
参考文献 (17)
致谢 (18)
引 言
解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位.因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r ，它的两端的电位差v ，那么通过这段导线的电流强度i ，就可以有关系式
v ir =
求出来.这就是所谓解一元一次方程的问题.在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.
线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组
⎩⎨⎧=+=+22222
211
212111b x a x a b x a x a ，
当021122211≠-a a a a 时，次方程组有惟一解，即 211222112122211a a a a b a a b x --=
， 21
1222111122112a a a a b a b a x --=.
我们称21122211a a a a -为二级行列式，用符号表示为 21122211a a a a -=
22
211211a a a a
于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式 22
211211a a a a 0≠
时，该方程组有惟一解，即
.,22
2112112211
11222
21121122212
11a a a a b
a b a x a a a a a b a b x ==
对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++.
,,33
3323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
称代数式312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++为三级行列式，用符号表示为：
312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=33
323123222113
1211a a a a a a a a a .
我们有：当三级行列式
=d 33
323123222113
1211a a a a a a a a a 0≠ 时，上述三元线性方程组有惟一解，解为 d d x 11=，d d
x 22=，d
d x 33= 其中
333232322213
1211a a b a a b a a b d = ，33
3312322113
1112a b a a b a a b a d =，33231222211
12113b a a b a a b a a d =
在本论文中我们将把这个结果推广到n 元线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
22221211
1212111
的情形.为此，我们首先要给出n 阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是本论文的主要内容.
1 n 阶行列式的定义
n 阶行列式
nn
n n n
n
a a a a a a a a a (212222111211)
等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a ...2121（1）的代数和，这里j 1j 2…j n 是1,2,…,n 的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j 1j 2…j n 是偶排列时，（1）带正号，当j 1j 2…j n 是奇排列时，（1）带有负号.这一定义可以写成
nn
n n n
n
a a a a a a a a a ..................212222111211=∑Γ-n
n
n j j j nj j j j j j a a a ...21)
...(212121...)
1(
这里
∑
n
j j j ...21表示对所有阶排列求和.
定义表明，为了计算n 阶行列式，首先作所有有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积。

把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号.由定义立即看出，n 阶行列式是由n !项组成的.
2 n 阶行列式的性质
性质（1） 行列式与它的转置行列式相等；
性质（2） 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号；
性质（3） 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零； 性质（4） 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k ，等于数k 乘这个行列式；
性质（5） 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边；
性质（6） 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这行列式等于零；
性质（7） 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列
式等于零；
性质（8） 设行列式D 的第i 行的所有元素都可以表成两项的和：
D=nn
n n n
n
a a a a a a a a a (212222111211)
那么D 等于两个行列式D 1与D 2的和，其中D 1的第i 行的元素是in i i b b b ,,,21 ，D 2的第i 行的元素是in i i c c c ,,,21 ，而D 1与D 2的其他各行都和D 的一样.
同样的性质对于列来说也成立.
性质（9） 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变.
在深刻理解了n 阶行列式的定义及性质后，我们自然会想到，给出一个貌似复杂的n 阶行列式，怎样在有限的时间内准确地算出它的值呢？这是本论文的中心论点.
n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法.下面介绍几种常用的方法，并举例说明.
3 计算n 阶复杂行列式的具体方法与技巧
3.1 利用行列式定义直接计算
例1 计算行列式
010020
1
0000
00n D n n
=
-
解 D n 中不为零的项用一般形式表示为
1122
11!n n n nn a a a a n ---=.
该项列标排列的逆序数τ（n －1 n －2…1n ）等于
(1)(2)
2
n n --，故
(1)(2)
2
(1)
!.n n n D n --=-
3.2 利用行列式的性质计算
例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足
,,1,2,
,,ij ji a a i j n =-=
则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明： 方法1：
设其为2n+1阶行列式，每行提出（-1）后，D=)12()1(+-n 'D =)1(-)
12(+n D= -D,
所以D=0. 方法2：
由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,
,ii a i n ==，故行列式D n 可表示为
1213112
23213
233123000
n
n n n n
n
n
a a a a a a D a a a a a a -=----- 又由行列式的性质A A '=
1213112
23213
2331230000
n n n n n
n
n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112
23213
23312300(1)00
n n n n n
n
n
a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-
当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
3.3 化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为上三角形或下三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积乘以)1(-的逆序数次方.因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法.
例3 计算n 阶行列式
a
b b b b a b b
D b
b a b b
b
b
a
= 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得
(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b
a b b D a n b
b a b a n b
b b a
+-+-=+-+- 1
1
[(1)]1
1b b b a b b a n b b a b b b
a =+- 1
00
[
(1)]
000
b b
b a b a n b a b a b
-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--
对于形如 的所谓三角行列式，可直接展开得到两项递推公式
21--+=n n n D D D βα，然后采用如下一些方法求解.
方法 1 如果n 较小，则直接递推计算.
方法 2 用第二数学归纳法：即验证1=n 时结论成立，设k n ≤时结论成
立，若证明1+=k n 时结论也成立，则对任意自然数相应的结论成立.
方法 3 将21--+=n n n D D D βα变形为)(211----=-n n n n PD D q PD D ，其中 α=+q p ， β=-pq
由韦达定理知p 和q 是一元二次方程02=--βαx x 的两个根.确定p 和q 后，令
1)(--=n n pD D x f ，则利用)1()(-=n qf n f 递推求出)(n f ，再由)
(1n f pD D n n +=-递推求出n D .
方法 4 设n n x D =.代入021=----n n n D D D βα得021=----n n n x x x βα.因此有02=--βαx x （称之为特征方程），求出其根1x 和2x （假设21x x ≠），则
.2211n
n n x k x k D +=这里2,1k k 可通过取1=n 和2=n 来确定.
例4 求n 阶行列式的值
11011
011011
0 =n D
解：按第1行展开得2--=n n D D ，即02=+-n n D D .作特征方程012=+x ，解得i x =1，i x -=2，则
n n n i b i a D )(-•+•= )1(
当1=n 时，01=D ,代入式)1(得0=-ib ia ；当2=n 时，12-=D ,代入式)1(得
1-=--b a .联立求解得21=
=b a ，故].)([2
1
n n n i i D -+= 3.4 降阶法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开.
例5 计算n 阶行列式
0001
00
000000000100
0n a a a D a a
=
解 将D n 按第1行展开
1000000000000(1)000000000
100
n n a a a a D a a
a a
+=+-
12(1)(1)n n n n a a +-=+--
2n n a a -=-.
3.5 逆推公式法
逆推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与D 1-n , D n －2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n , D n －1, D n －
2等结构相同），再由递推公式求出
D n 的方法称为递推公式法.
例6 证明
122
110000100
0001n n
n n x
x D x a a a a a x
----=
-+
12121,(2)n n n n n x a x a x a x a n ---=+++
++≥
证明：将D n 按第1列展开得
1
2
3
2
110000
100
0001n n n n x x D x
x a a a a a x
-----=-+
11
00010
(1)0
1
n n
x a x
+--+--
1n n a xD -=+
由此得递推公式：1n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得
112()n n n n n n D a xD a x a xD ---=+=++
212n n n a a x x D --=++
111n n n n a a x a x x --=
=++
++
3.6 利用范德蒙行列式
例7 计算行列式
122221122
12
12121122
111
111n n n
n n n n n n n n
x x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=
++++++
解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式
1
22
2212
1
1
1112
1
11()n n i j n i j n n n n
x x x D x x x x x x x x ≥>≥---==
-∏
3.7 加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

例8 计算n 阶行列式
D n =n D (n 阶)
解： 1
100
n
n n
a a D D =
(n+1阶)
121
100
2,
,11
001
0n
i a a a x i n x x
-=+--第行减第1行
（箭形行列式）
121
10000000
n
j
n j a a a a x
x x x
=+=
∑
11n j
n
j a x x =⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
∑
3.8 数学归纳法
例9 计算n 阶行列式
122
11
000
100
0001n n
n n x x D x a a a a a x
----=
-+
解：用数学归纳法. 当n = 2时
21221
1
()x D x x a a a x a -=
=+++ 212x a x a =++
假设n = k 时，有
12121k k k k k k D x a x a x a x a ---=+++
++
则当n = k +1时，把D k +1按第一列展开，得
11k k k D xD a ++=+
1111()k k k k k x x a x a x a a --+=++
+++
12111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++
由此，对任意的正整数n ，有
12121n n n n n n D x a x a x a x a ---=++
+++
3.9 拆开法
把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算.
例10 计算行列式 n D =
11
2122
1
2n n n n
a a a a a a a a a λλλ+++
解：n D =
1
212212
n n
n n
a a a a a a a a a λλ++1
222
00
n n n n
a a a a a λλλ++
+
1
2200
n n
n
a a a a λλ=
11n D λ-+
1211n n a D λλλ-=+
……
12
11n
i
n i i a λλλλ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
∑ 上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法.学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算方法.
4 行列式在线性方程中的初步应用
在中学代数和解析几何里，我们已经遇到两个未知量和三个未知量的线性方程组。

但是许多从理论和实际问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等。

因此我们将更深入的讨论含有任意个未知量任意个方程的线性方程组.
线性方程组组的一般形式是：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++=++=++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)
222212********* 其中n x x x ,...,,21代表未知量，ij a (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)代表未知量的系数，b 1,b 2,…,b m 代表常数项.
我们将在复数域C 上讨论线性方程组。

这就是说，方程组中未知量的系数和常数项都认为是复数，并且以后谈到数时，也总指的是复数（若是把复数域换为其他的任一数域，讨论还是可以同样进行）
4.1 克拉默（Cramer ）法则
如果线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++=++=++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)
222212********* （其中n x x x ,...,,21代表未知量，ij a (i=1,2,…,m ;j=1,2,…,n )代表未知量的系数，m b b b ,,,21 代表常数项.）的系数行列式D ≠0，那么，这个方程组有解，并且解是唯一的。

可以表示为
D D x D D x D D x n n ===,,,2211
其中D I 是把D 中的第i 列换成常数项b 1,b 2,…,b n 得到的n 阶行列式. 这个定理有三个结论,方程组(2)有解,解是唯一的,解由公式(3)给出.
4.2 克拉默（Cramer ）法则的应用
克拉默法则只是使用于方程个数和未知量个数相等的特殊情形，当线性方程组的系数行列式不为零时，克拉默法则给出了该方程组的三个结论：（1）有解（解的存在性）；（2）有唯一解；（3）用行列式表示了方程组的不可取，但其理论上的作用必须重视.
由克拉默法则得到“方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组有非零解
时，其系数行列式等于零”的结论，其实它还是充分必要条件，以后将多次用到.
4.2.1 用克拉默法则解非齐次线性方程组
例11 求解线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---n n n n n n n n n n a
x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x 13
2212
1
23222211
11321211
其中).,,2,1,;(n j i j i a a j i =≠≠
解：方程组的系数行列式为n 阶范德蒙德行列式的转置.由j i a a ≠可知 ∏≥≥≥≠-=
1
0)(j i n j
i
a a D
故由克拉默法则法则知，方程组有惟一解.又有
,
01
2
1
22
22211
2111)1(==
---n n
n n n n n a a a a a a a a a a a a D D a a a a a a a a a D
n n
n n n n ==
---1
2
2
22
2211
211)
2(111
),,4,3(01111
2
1
2222
2211
1121
1)
(n k a a a a a a a a a a a a a a a D
n n
k
n n k n
n n k
k n k k k
===
------
从而方程组的解为
=1x ,0)1(=D D ,1)2(2==D D x ,0)3(3==D D x … ,0)(==D D x n n 例12 下列方程组中n a a a ,,,21 各不相同，求证下面方程组有惟一解，并把它的解求出来.
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---1
222
1112
211211
n n n n n n n n b x a x a x a b
x a x a x a x x x
解：其系数行列式D 为范德蒙德行列式，且由n a a a ,,,21 互不相同知
∏≥≥≠-=
1
0)(j i n j
i
a a D ，由克拉默法则法则知原方程有惟一解，且其解为
)
())(()()
())(()(111111k n k k k k k n k k k a a a a a a a a b a b a a b a b x --------=
+-+- ),,2,1(n k =
4.2.2 用克拉默法则及其推论在几何上的应用
例13 已知xOy 平面上两点),(111y x M 和),(222y x M ，建立用行列式表示的过这两点的直线方程.
解：设所求直线方程为0=++c by ax ，其中),(y x M 是所求直线上的任意一点.因为直线通过给定点1M 和2M ,故有
011=++c by ax ， 022=++c by ax
与原直线方程联立，可以得到以a ，b ，c 为未知数的齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
0022
11c by ax c by ax c by ax
因为过1M ,2M 点的直线存在，对任意动点),(y x M 该方程组对未知数a ，b ，c 均有不全为零的解，即有非零解，故由克拉默法则的推论知其系数行列式的值为零. 且其行列式的式子)1(是关于x ，y 的一次方程，代表一条直线.又分别取1x x =，
1y y =和2x x =，2y y =时，)1(式成立，故它是过点1M 和2M 的直线方程.
例14 求空间的四个平面0=+++i i i i d z c y b x a )4,3,2,1(=i 相交于一点的条件.
解：四个平面相交于一点，即线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=++-=++4
44433332
2221
111d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a
有惟一解，设为),,(000z y x .将方程组改写为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++0
004444333322221111u d z c y b x a u d z c y b x a u d z c y b x a u d z c y b x a
则这个4元齐次方程组有非零解)1,,,(000z y x .由克拉默法则的推论：齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式等于零.有此可得空间的四个平面交于一点的条件是：这个齐次线性方程组的系数钜阵行列式的值等于零.
结论
用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式是本论文的重点之一.掌握行列式的计算方法和技巧是本论文的难点.除了利用行列式的性质化为三角形式和按行（列）展开公式使行列式降阶这些常用的方法外，要根据行列式的特点采用特殊方法，如递推法、数学归纳法、加边法（升阶法）、拆开法，以及范德蒙德行列式的结论，等等.都是我们学习过程中的重点、难点.要熟练的掌握这些方法，就得经常亲自动笔去计算很多典型的、具有代表性的题目.
其实，行列式的计算在解线性方程组中也有不可忽视作用.在克拉默法则中，能快速的算出行列式的值，就能很有效高速的应用克拉默法则.
参考文献
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