离散数学导论(第5版)-第二篇 集合论

• 字典次序关系：有限字母表∑ 上的偏序关系。
• 如建立∑＊上的次序关系：
•
设x=x1, x2,…xn , y=y1, y2,…ym ；x , y*；x1 , x2,…xn ,y1 ,17
• （1）x1≠y1且如x1≤y1则我们说xLy；如y1≤x1，则我们说yLx； • （2）如存在一个最大的K且K＜min (n，m)，使得x1＝y1，
x2＝y2，…，xk＝yk而xk＋1＝yk+1，如果xk＋1≤yk＋1 ，则我们 说xLy；如yk＋1≤xk＋1 ，则我们说yLx； • （3）如存在一个最大的K＝min (n，m)，使得x1＝y1，x2 ＝y2，…，xn＝yn ，此时如n≤m，则我们说xLy；如m≤n， 则我们说yLx。 •
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• • 四个次序关系间的关系： • • • R是拟序则r (R) = R • • • R是偏序则R－Q是拟序 • • • 字典次序关系必为线性次序关系 • • • R是拟序则必反对称 • 八个概念： • • 最大元素（最小元素） • • 极大元素（极小元素） • • 上界（下界） • • 上确界（下确界）
•
（3） 三种特殊的集合
•
• 空集
•
• 全集E
•
• 幂集（A）。
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• （4） 集合的三种表示法： • • 枚举法。即将集合元素一一列举。例：{1, 2, 3,…} • • 特性刻划法。即用元素的性质刻划集合。例：{x | p
(x)}
• • 图示法。即用A文氏图表示集A合及B集合间的关系。例：
•
•
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第二篇 集合论
•
本篇由集合论初步、关系、函数、有限集与
无限集等与集合论相关等四部分内容组成，它们间
是一个内容关联的整体。
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第1章 集合论初步
•
集合论是数学的基础，也是离散数学的基
础。故学好集合论十分重要，在本章学习中要掌
握：
•
• 集合中的一个基本概念
•
• 集合中的两种关系
•
• 集合中的三种特殊集合
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§2.2 关系基本概念
•
（1）一个主要的概念——二元关系的基
本概念：
•
关系定义：从集合A到B的关系R是A×
B的一个子集。
•
（2）两种表示方法：
•
• 集合表示法：有序偶的集合
•
• 图表示法：有向图
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Байду номын сангаас
§2.3 关 系 运 算
• （3）两种运算：
• • 关系的复合运算
• • 关系的逆运算
• （4）有关运算的五个公式：
• 复合运算的公式：
• (R S ) T＝R (S T)
• Rm Rn＝Rm+n
• (Rm)n＝Rmn
～ • 逆运算～的公～式：
• R＝ R
• (R S)＝ R S
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§2.4 关系重要性质
• （5）关系的五种性质 • • 关系的自反性 • • 关系的反自反性 • • 关系的对称性 • • 关系的反对称性 • • 关系的传递性
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§1.3 幂集
• • 幂集定义：集合A的所有子集所组成的集合，
可记为（A）。
•
• 幂集性质：|A|＝n 则| (A) |＝2 n
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第2章 关系
• 关系研究集合内元素间的关联及集合间元素关联，主要有：
•
• 一种预备知识
•
• 一个基本概念
•
• 两种表示方法
•
• 三种运算
•
• 九个公式
•
• 五种性质
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• 同一律： • A∪＝A • A∩E＝A • 零一律： • A∪E＝E • A∩＝ • 互补律： • A∪～A＝E • A∩～A＝ • 双补律： • ～（～A）＝A
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• E与 的互补： • ～E＝ • ～＝E • 等幂律： • A∪A＝A • A∩A＝A • 吸收律： • A∪（A∩B）＝A • A∩（A∪B）＝A • 狄·莫根定律： • ～（A∪B）＝～A∩～B • ～（A∩B）＝～A∪～B
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§2.7 相容关系
•
（8）相容关系
•
• 相容关系定义——X上自反、对称关系称相容关系
并用“≈”表示 。
•
• 相容关系的极大相容块——设有集合X上的相容关
系≈，设A是X的子集，如A中任何元素都互为相容，且X—A
中的任何元素没有一个与A中的所有元素相容，则称A是X中
的极大相容性分块。
§ 1.2 集合运算
• （5）集合的五种运算： • • 交运算：A∩B • • 倂运算：A∪B • • 差运算：A－B • • 补运算：～A • • 对称差运算：A＋B
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• （6）集合的21个公式： • 交换律： • A∪B＝B∪A • A∩B＝B∩A • 结合律： • A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C • A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C • 分配律： • A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∩C） • A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）
•
• 六种常用关系
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§2.1 关系的预备知识－ n元有序组与笛卡尔乘积
•
n元有序组是一种特殊的集合结构形式，它有两
个基本概念与一种基本运算（笛卡尔乘积）。
•
• 基本概念之一：有序偶。例：（a , b）
•
• 基本概念之二： n元有序组。例：（a1 , a2 ,…an ）
•
• 基本运算：笛卡尔乘积。例：AB
•
• 集合中的三种表示方法
•
• 集合中的五种运算
•
• 集合中的21个常用公式
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§1.1 集合论基本概念
• （1） 一个主要的概念——集合的基本概念：一些不 同确定的对象全体称集合，而这些对象称集合的元素。
•
（2）集合中的两个关系
•
• 集合间的比较关系：A＝B，A≠B，AB，
AB。
•
• 集合与元素间的隶属关系：aA，aA。
• t（R）＝i=1∪Ri
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§2.6 次序关系
• （7）次序关系
• • 四个定义：
• 偏序关系：X上自反、反对称与传递的关系称偏序关 系
• 并用‘≤ ’表示。
• 拟序关系：反自反、传递的关系称拟序关系并用‘< ’ 表示。
• 线性次序关系：X上偏序关系R如有x , yx必有x ≤y或y
• ≤ x则称R是X上线性次序关系。
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• （6）六种常用关系 • • 次序关系之一：偏序关系 • • 次序关系之二：拟序关系 • • 次序关系之三：线性次序关系 • • 次序关系之四：字典次序关系 • • 相容关系 • • 等价关系
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§2.5 闭包运算
• （1）关系的闭包运算 • • 自反闭包 r (R) • • 对称闭包 s (R） • • 传递闭包 t (R） • （2）闭包的公式： • r（R）＝R∪ Q • s（R）＝ R∪ Q