材料力学-简单的超静定问题
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力图。
A
FA 85kN
1.2m
60kN
FB 15kN
2.4m
C
40kN
1.2m
B
温度应力：超静定结构中，由于温度变化，使 构件膨胀或收缩而产生的附加应力。
工程中不容忽视的温度应力！！！ 高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节。 路、桥、建筑物中的伸缩缝设置。
温度应力的计算：
温度由
A
l
t1 t2 , t t2 t1
MC
D 2
I pBC
16Dl1 M
[D4l2 (D4 d 4 )l1 ]
（2）欲使许用力偶达到最大，有：
AB max BC max [ ]
l1 l2
1:1
§6-4 简单超静定梁
用“多余未知力”代替“多余”约束， 就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原 静不定梁的相当系统,亦称基本静定系。
解超静定问题必须找出求解所有未知约束反 力所缺少的补充方程。 关键：变形协调条件（几何相容条件）
§6-2 拉压超静定问题
拉压变形时的胡克定律
l FN l
EA 综合考虑变形的协调条件、虎克定律和静力 学平衡条件求解拉压超静定问题。
例 已知1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚度为E3A3， F的大小已知，求各杆内力。
综合考虑变形的几何方程、力和变形关 系可求解多余未知力。
超静定问题 A
基本静定系1 A
MA
基本静定系2 A
q
B
l
q
B FB
q
B
例：已知q、l，求图示静不定梁的支反力。
q
A
B
l
解法一：将支座B
看成多余约束，变形
协调条件为：
A
wB 0
FBl 3 ql 4 0 3EI 8EI
A
3ql FB 8
aF1 2aF2 0
物理方程
l1
F1l EA
变形协调条件
B
F1
F2
l2
F2l EA
(缩短)
2( l1) l2
F1
4EA
5l
(拉力)
F2
2EA
5l
(压力)
思考：图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距离 =
1mm，材料的弹性模量E=210GPa，上下两段杆的 横截面面积分别为600mm2和300mm2。试作杆的轴
超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之 差，也等于多余约束数。
多余约束：在结构上加上的一个或几个约束， 对于维持平衡来说是不必要的约束称多余约束。 对应的约束力称多余约束反力。
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变 形，在工程上应用非常广泛。
基本静定系：解除多余约束代之于未知力后的 结构。
●超静定问题的解法：综合考虑变形的几何相 容条件、物理关系和静力学平衡条件。
l GI p
例： 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受 外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力偶矩。
m
A
C
a
B
b
解：
A
m
C
ɑ
m
B
b
mA
mB
静力平衡方程为： mA mB m
变形协调条件为： AB AC CB 0
即： mA a mB b 0 GIp GIp
mb mA l
mB
m l
a
例：图示两端固定的结构，其中AB段为实心圆轴，直 径为D，BC段为内径为d，外径为D的圆筒，受集中力 偶M的作用。试求： （1）AB段和BC段的最大切应力； （2）欲使许用力偶[M]达到最大值，两段长度应满足 什么条件？
l3
l1 cos
FN1
F N3 F N2
A
l3
l1 l2
A
例 图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）刚度均 为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装到横梁后，求 两杆内力。
解: 装配后各杆变形
1杆伸长 l1
2杆缩短 l2
变形协调条件
A
2( l1) l2
1
l1
2
l2
B
解: 分析AB
A
FA
§6-1 超静定问题概述
静定问题：若未知力的个数等于独立的平衡 方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部 未知力，这类问题称为静定问题，相应结构称 静定结构。
超静定问题：若未知力的个数多于独立的平 衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定 全部未知力，这类问题为超静定问题。相应结 构称为超静定结构。
加固前后B点挠度的比值
wB1 wB0 wB 39
wB0
wB0
64
(3)加固前后AB梁最大弯矩的比值
加固前AB梁最大负弯矩 M0max 2Pa
加固后AB梁最大弯矩
P
A
X1
B D1
最大负弯矩 M1max M D1 Pa
(思考:为何最大负弯矩在D1处?)
例：图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆 的抗拉刚度为EA，已知P、L、a。求CD杆所 受的拉力。
MCl2 GI pBC
0
(2)
由（1）、（2）式有：
MA
D4l2
D4l2M (D4 d 4 )l1
,
MC
(D4 d 4 )l1 M D4l2 (D4 d 4 )l1
（1）最大切应力：
AB max
M
A
D 2
I pAB
16Dl2 M
[D4l2 (D4 d 4 )l1 ]
,
BC max
q
B l
q
B FB
解法二：将支座A对截
q
面转动的约束看成多余
约束，变形协调条件为：A
B
A 0
M Al ql3 0 3EI 24 EI
MA
A
M
A
ql 2 8
l
q
B
例：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度， 用短梁CD加固。设二梁EI相同，求 (1) 二梁接触处的作用力； (2)加固前后B点挠度的比值； (3)加固前后AB梁最大弯矩的比值。
平衡方程
FA FB 0
FA
A l
变形相容条件
lt lF 物理方程 lt l t
B
FB
lt
Lt FBl
EA
பைடு நூலகம்
FB EAt
温度应力：
FB Et
A
碳素钢线膨胀系数为
12.5 10 6
1 C0
§6-3 扭转超静定问题
扭转变形计算公式
Tl
GI p
T ( x)dx
解: 1、分析A结点 一次超静定问题。
13
2
l
Fx 0,
FN1 FN 2
FN1 FN3 FN2
A F
A
F
Fy 0, (FN1 FN 2 )cos FN 3 F
2、考虑变形几何相容条件
由对称性知:
l1 l2
l1 l3 cos
3、物理关系
l1
FN 1l
E1A1 cos
13
2
l
A
A*
解：设A、C两端的约束反力偶
为MA、MC
MA M
MC
由平衡方程有：
M M A MC (1)
A l1
B l2
C
又 AC AB BC
AB
M Al1 GI pAB
,
BC
MCl2 GI pBC
其中
I pAB
32
D4
,
I pBC
(D4
32
d4)
AB
BC
M Al1 GI pAB
l3
FN 3l E3 A3
4、联解方程
F
FN 1
2 cos
E3 A3
E1 A1 cos2
FN 3
1 2
F E1 A1
cos3
E3 A3
装配应力的计算：超静定结构中由于加工误 差， 装配产生的应力。
平衡方程：
FN1 FN 2
13
2
l
FN 3 (FN1 FN 2 )cos
A
变形协调条件：
习题6-17
习题6-17
P
A B
C
a
D
a
解：(1)基本静定系如图
A
X1
D1
C
DX1
变形协调条件为： wD wD1
wD
X 1a 3 3EI
C
P
B
D
P
A
X1
B D1
A
X1
B
D1
P
A
B D1
wD1
X1a2 (2a) 6EI
Pa2 (5a) 6EI
X1a3 3EI
5Pa 3 6EI
wD wD1
wD
X 1a 3 3EI
w D1
D
a
C
A
L 2
L
B
2
P
解：变形协调条件为 wC lCD
D
a
wC
(P FC )L3 48 EI
C
lCD
FC L EA
FC
A
L 2
CL 2
FC
B
PL2 A 48I L2 A
P
本章作业
第四版
第五版
习题6-3 习题6-10 习题6-12
习题6-3 习题6-10 习题6-11
习题6-15（b,c） 习题6-15
X 1a 3 3EI
5Pa 3 6EI
X1
5 4
P
(2)加固前后B点挠度变化值（变小）
wB
X 1a 3 3EI
X1a 2 2EI
a
25 Pa3 24 EI
(2)加固后B点挠度的变化值（变小）
wB
X 1a 3 3EI
X1a 2 2EI
a
25 Pa3 24 EI
加固前B点挠度为： wB0
8Pa 3 3EI
A
FA 85kN
1.2m
60kN
FB 15kN
2.4m
C
40kN
1.2m
B
温度应力：超静定结构中，由于温度变化，使 构件膨胀或收缩而产生的附加应力。
工程中不容忽视的温度应力！！！ 高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节。 路、桥、建筑物中的伸缩缝设置。
温度应力的计算：
温度由
A
l
t1 t2 , t t2 t1
MC
D 2
I pBC
16Dl1 M
[D4l2 (D4 d 4 )l1 ]
（2）欲使许用力偶达到最大，有：
AB max BC max [ ]
l1 l2
1:1
§6-4 简单超静定梁
用“多余未知力”代替“多余”约束， 就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原 静不定梁的相当系统,亦称基本静定系。
解超静定问题必须找出求解所有未知约束反 力所缺少的补充方程。 关键：变形协调条件（几何相容条件）
§6-2 拉压超静定问题
拉压变形时的胡克定律
l FN l
EA 综合考虑变形的协调条件、虎克定律和静力 学平衡条件求解拉压超静定问题。
例 已知1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚度为E3A3， F的大小已知，求各杆内力。
综合考虑变形的几何方程、力和变形关 系可求解多余未知力。
超静定问题 A
基本静定系1 A
MA
基本静定系2 A
q
B
l
q
B FB
q
B
例：已知q、l，求图示静不定梁的支反力。
q
A
B
l
解法一：将支座B
看成多余约束，变形
协调条件为：
A
wB 0
FBl 3 ql 4 0 3EI 8EI
A
3ql FB 8
aF1 2aF2 0
物理方程
l1
F1l EA
变形协调条件
B
F1
F2
l2
F2l EA
(缩短)
2( l1) l2
F1
4EA
5l
(拉力)
F2
2EA
5l
(压力)
思考：图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距离 =
1mm，材料的弹性模量E=210GPa，上下两段杆的 横截面面积分别为600mm2和300mm2。试作杆的轴
超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之 差，也等于多余约束数。
多余约束：在结构上加上的一个或几个约束， 对于维持平衡来说是不必要的约束称多余约束。 对应的约束力称多余约束反力。
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变 形，在工程上应用非常广泛。
基本静定系：解除多余约束代之于未知力后的 结构。
●超静定问题的解法：综合考虑变形的几何相 容条件、物理关系和静力学平衡条件。
l GI p
例： 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受 外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力偶矩。
m
A
C
a
B
b
解：
A
m
C
ɑ
m
B
b
mA
mB
静力平衡方程为： mA mB m
变形协调条件为： AB AC CB 0
即： mA a mB b 0 GIp GIp
mb mA l
mB
m l
a
例：图示两端固定的结构，其中AB段为实心圆轴，直 径为D，BC段为内径为d，外径为D的圆筒，受集中力 偶M的作用。试求： （1）AB段和BC段的最大切应力； （2）欲使许用力偶[M]达到最大值，两段长度应满足 什么条件？
l3
l1 cos
FN1
F N3 F N2
A
l3
l1 l2
A
例 图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）刚度均 为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装到横梁后，求 两杆内力。
解: 装配后各杆变形
1杆伸长 l1
2杆缩短 l2
变形协调条件
A
2( l1) l2
1
l1
2
l2
B
解: 分析AB
A
FA
§6-1 超静定问题概述
静定问题：若未知力的个数等于独立的平衡 方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部 未知力，这类问题称为静定问题，相应结构称 静定结构。
超静定问题：若未知力的个数多于独立的平 衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定 全部未知力，这类问题为超静定问题。相应结 构称为超静定结构。
加固前后B点挠度的比值
wB1 wB0 wB 39
wB0
wB0
64
(3)加固前后AB梁最大弯矩的比值
加固前AB梁最大负弯矩 M0max 2Pa
加固后AB梁最大弯矩
P
A
X1
B D1
最大负弯矩 M1max M D1 Pa
(思考:为何最大负弯矩在D1处?)
例：图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆 的抗拉刚度为EA，已知P、L、a。求CD杆所 受的拉力。
MCl2 GI pBC
0
(2)
由（1）、（2）式有：
MA
D4l2
D4l2M (D4 d 4 )l1
,
MC
(D4 d 4 )l1 M D4l2 (D4 d 4 )l1
（1）最大切应力：
AB max
M
A
D 2
I pAB
16Dl2 M
[D4l2 (D4 d 4 )l1 ]
,
BC max
q
B l
q
B FB
解法二：将支座A对截
q
面转动的约束看成多余
约束，变形协调条件为：A
B
A 0
M Al ql3 0 3EI 24 EI
MA
A
M
A
ql 2 8
l
q
B
例：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度， 用短梁CD加固。设二梁EI相同，求 (1) 二梁接触处的作用力； (2)加固前后B点挠度的比值； (3)加固前后AB梁最大弯矩的比值。
平衡方程
FA FB 0
FA
A l
变形相容条件
lt lF 物理方程 lt l t
B
FB
lt
Lt FBl
EA
பைடு நூலகம்
FB EAt
温度应力：
FB Et
A
碳素钢线膨胀系数为
12.5 10 6
1 C0
§6-3 扭转超静定问题
扭转变形计算公式
Tl
GI p
T ( x)dx
解: 1、分析A结点 一次超静定问题。
13
2
l
Fx 0,
FN1 FN 2
FN1 FN3 FN2
A F
A
F
Fy 0, (FN1 FN 2 )cos FN 3 F
2、考虑变形几何相容条件
由对称性知:
l1 l2
l1 l3 cos
3、物理关系
l1
FN 1l
E1A1 cos
13
2
l
A
A*
解：设A、C两端的约束反力偶
为MA、MC
MA M
MC
由平衡方程有：
M M A MC (1)
A l1
B l2
C
又 AC AB BC
AB
M Al1 GI pAB
,
BC
MCl2 GI pBC
其中
I pAB
32
D4
,
I pBC
(D4
32
d4)
AB
BC
M Al1 GI pAB
l3
FN 3l E3 A3
4、联解方程
F
FN 1
2 cos
E3 A3
E1 A1 cos2
FN 3
1 2
F E1 A1
cos3
E3 A3
装配应力的计算：超静定结构中由于加工误 差， 装配产生的应力。
平衡方程：
FN1 FN 2
13
2
l
FN 3 (FN1 FN 2 )cos
A
变形协调条件：
习题6-17
习题6-17
P
A B
C
a
D
a
解：(1)基本静定系如图
A
X1
D1
C
DX1
变形协调条件为： wD wD1
wD
X 1a 3 3EI
C
P
B
D
P
A
X1
B D1
A
X1
B
D1
P
A
B D1
wD1
X1a2 (2a) 6EI
Pa2 (5a) 6EI
X1a3 3EI
5Pa 3 6EI
wD wD1
wD
X 1a 3 3EI
w D1
D
a
C
A
L 2
L
B
2
P
解：变形协调条件为 wC lCD
D
a
wC
(P FC )L3 48 EI
C
lCD
FC L EA
FC
A
L 2
CL 2
FC
B
PL2 A 48I L2 A
P
本章作业
第四版
第五版
习题6-3 习题6-10 习题6-12
习题6-3 习题6-10 习题6-11
习题6-15（b,c） 习题6-15
X 1a 3 3EI
5Pa 3 6EI
X1
5 4
P
(2)加固前后B点挠度变化值（变小）
wB
X 1a 3 3EI
X1a 2 2EI
a
25 Pa3 24 EI
(2)加固后B点挠度的变化值（变小）
wB
X 1a 3 3EI
X1a 2 2EI
a
25 Pa3 24 EI
加固前B点挠度为： wB0
8Pa 3 3EI