电容电量计算

[关键词] 电容 电容器 电容的分类 电容的作用 电容量的理论计算
[正文]
[引言] 作者本人是大一学生，写作本文时正在学习《电磁学》，深感其中有关各种类型电
容器，即有无电介质，电介质参杂混用的电容器之电容量的计算问题众多且杂乱。实际上， 有关电容量的计算涉及静电场、电路等部分的很多重要原理、定理，其计算过程又涉及很多 微积分在物理上的应用，因此，计划将其整理归纳。本着梳理知识的目的，同时也希望对有 兴趣于此部分内容或需要相关知识的人以帮助。
1 4 0
q r2
dr

q 4 0

1 RA

1 RB

q RB RA 40 RARB
于是电容为：
C q 40RARB U AB RB RA
同轴圆柱形电容器
电容器由两个同轴的柱形导体 A，B 组成。半径分别为 RA 和 RB ,长度
为 L。利用高斯定理， E ，其中 q 是每个电极在单位长度内电
化电荷的电场
' E
的矢量和：
E

E0

' E
。

实验表明，对于大多数常见的各向同性的线性电介质， P 与 0 E 方向相同，且数


量上成简单的正比关系，即 P e0 E 。比例常数 e 叫做极化率，它与场强无关，
与电介质的种类有关，是介质材料的属性。
（2）具体计算
5. 电容量的有关理论计算
（1）知识准备
电容器的描述参量部分
微积分
U PQ
Q
E
d
l
P
高斯定理：通过一个任意闭合曲面 S 的电通量 E 等于该面所包围的所有电量的代
数和 q 除以 0 ，与闭合面外的电荷无关。即：
E

S
Ed S

S
E
cos dS
性能较差。
无 CBB 电 2 层聚乙烯塑料和 2 层金属箔 有感，其他同上。
容
交替夹杂然后捆绑而成。
不适合做大容量， 价格比较高，耐热
性能较差。
无 瓷片电
薄瓷片两面渡金属膜银 体积小，耐压高，价格 易碎！容量低
容
而成。
低，频率高（有一种是
高频电容）
无 云 母 电 云母片上镀两层金属薄膜
容易生产，技术含量
电容器及电容量简要理论计算
孙浩凯 0710245
[摘要] 本文内容围绕电容器展开，主要包含电容器的定义、电容器的描述参量、电容器的
分类、电容器的作用以及电容量的简单理论计算。但受限于本人的知识水平，理论计算部分 或许略显粗糙，不过，对于物理系及非物理系大学生及高中竞赛生处理有关电容器的若干问 题还是有所裨益的。
2. 电容器的描述参量。
电容量 C ： C= Q （其中，Q 是电容器所带的电量，U 是导体间的电势差）。 U
电容器储存的能量 W ： W 1 CU2 1 QU
2
2
n 个电容器串联：
电容器串联分压，所以：
1 1 1 1
C C1 C2
Cn
n 个电容器并联 电容器并联分电量，所以：
所以，
CAB
q U AB
0S d
同心球电容器
电容器由两个同心球型导体 A，B 组成，设半径分别为 RA 和 RB（ RA RB ）
设
A，B
分别带电荷 q ，利用高斯定理知， E

1 4 0
q r2
，方向沿径矢。
两极板的电势差为：
U AB
B
E
d
l

A
RB RA
体积大，容量
容
低。
小 ，（ 几 乎 没 有 用
了）
无 独石电
体积比 CBB 更小，有
容
感，其他同 CBB。
有 电 解 电 两片铝带和两层绝缘膜相互 容量大
高频特性不好。
容
层叠，转捆后浸泡在电解液
（含酸性的合成溶液）中。
有 钽电容 用金属钽作为正极，在电解质 稳定性好，容量大，高 造价高。（一般用于
外喷上金属作为负极。 频特性好。
瓷介电容是在一块瓷片的两边涂上金属电极而成，普遍为扁圆形。其电容量较小，都 在 pμF(皮微法)数量级。又因为绝缘介质是较厚瓷片，所以额定电压一般在 1～3kV 左右， 很难会被电损坏，一般只会出现机械破损。在计算机系统中应用极少，每个电路板中分别 只有 2～4 枚左右。
电解电容的结构与纸介电容相似，不同的是作为电极的两种金属箔不同(所以在电解 电容上有正负极之分，且一般只标明负极)，两电极金属箔与纸介质卷成圆柱形后，装在 盛有电解液的圆形铝桶中封闭起来。因此，如若电容器漏电，就容易引起电解液发热，从 而出现外壳鼓起或爆裂现象。电解电容都是圆柱形(图 1)，体积大而容量大，在电容器上 所标明的参数一般有电容量(单位:微法)、额定电压(单位:伏特)，以及最高工作温度(单 位:℃)。其中，耐压值一般在几伏特～几百伏特之间，容量一般在几微法～几千微法之 间，最高工作温度一般为 85℃～105℃。指明电解电容的最高工作温度，就是针对其电解 液受热后易膨胀这一特点的。所以，电解电容出现外壳鼓起或爆裂，并非只有漏电才出 现，工作环境温度过高同样也会出现。
C C1 C2 Cn
3. 电容器的分类 本部分内容是从实际应用角度分类，参考了网上的资源。
具体内容见下列表格：
极 名称 制作
优点
缺点
性
无 无 感 2 层聚丙乙烯塑料和 2 层金属 无感，高频特性好，体 不适合做大容量，
CBB 电 箔交替夹杂然后捆绑而成。 积较小
价格比较高，耐热
容
质时的电容 C0 之比。
由

' e

P
，退极化场
E
'


' e
0

P 0
，P

e0 E ,
E

E0

E
'
,其中
E0

e0 0
是自由电荷的电场，即外电场。所以有：
E

E0
E'

E0
P 0

E0

e 0 E 0
E0 eE
所以，
[主要内容]
1. 电容器的概念。 电容器实质上是一种特殊的导体系，是能够储存电能的电器元件。 电容是表征电容器特性的物理量。对于给定的电容器，其电容量 C 一定。 电容器所带的电量指每个导体(或极板)所带电量的绝对值。 电容器的电容只与它的结构(两个导体的大小、形状、相对位置)、介质性质有关，而
与它所带的电量 Q 和电势差 U 无关。
并联一个电容，由于适当容量的电容器对交流信号较小的阻抗,这样就减小了电阻产生的耦 合效应，故称此电容为去耦电容。 2）振荡/同步 包括 RC、LC 振荡器及晶体的负载电容都属于这一范畴。 3）时间常数 这就是常见的 R、C 串联构成的积分电路。当输入信号电压加在输入端时，电容（C）上的 电压逐渐上升。而其充电电流则随着电压的上升而减小。
常量是变化的，在一极板处为 1 ，在另一极板处为 2 ，其它处的介电常量与
到 1 处的距离成线性关系，略去边缘效应。求电容。
设离 1 处距Байду номын сангаас为 x 的一厚度为 dx 的薄层的电容为 C x ，根据上一个例
子的结果，则有：
C
x


1

2
1 d
x 0 S

1 0
qi i
当有电介质存在

定义电极化强度矢量 P ， P

p fz V
，且有 P

n p fz

nql
极化电荷的面密度

' e

dq' dS

P cos

Pn

Pn


根据场强叠加原理，在有电介质存在时，空间任意一点的场强 E 是外电场 E0 和极
4. 电容器的作用 汹涌的河水流入到湖泊中,再让它流出来,那就显得平静而柔和了.电容就应该是充当了
湖泊的作用吧.让电流更纯净没有杂波. 1、应用于电源电路，实现旁路、去藕、滤波和储能的作用，下面分类详述之：
1）旁路 旁路电容是为本地器件提供能量的储能器件，它能使稳压器的输出均匀化，降低负载需求。 就像小型可充电电池一样，旁路电容能够被充电，并向器件进行放 电。为尽量减少阻抗， 旁路电容要尽量靠近负载器件的供电电源管脚和地管脚。这能够很好地防止输入值过大而导 致的地电位抬高和噪声。地弹是地连接处在通过大 电流毛刺时的电压降。 2）去藕 去藕，又称解藕。从电路来说，总是可以区分为驱动的源和被驱动的负载。如果负载电容比 较大，驱动电路要把电容充电、放电，才能完成信号的跳变，在上 升沿比较陡峭的时候， 电流比较大，这样驱动的电流就会吸收很大的电源电流，由于电路中的电感，电阻（特别是 芯片管脚上的电感，会产生反弹），这种电流相对 于正常情况来说实际上就是一种噪声，会 影响前级的正常工作。这就是耦合。 去藕电容就是起到一个电池的作用，满足驱动电路电流的变化，避免相互间的耦合干扰。 将旁路电容和去藕电容结合起来将更容易理解。旁路电容实际也是去藕合的，只是旁路电容 一般是指高频旁路，也就是给高频的开关噪声提高一条低阻抗泄防 途径。高频旁路电容一 般比较小，根据谐振频率一般是 0.1u，0.01u 等，而去耦合电容一般比较大，是 10uF 或者 更大，依据电路中分布参数，以及驱动 电流的变化大小来确定。 旁路是把输入信号中的干扰作为滤除对象，而去耦是把输出信号的干扰作为滤除对象，防止 干扰信号返回电源。这应该是他们的本质区别。 3）滤波 从理论上（即假设电容为纯电容）说，电容越大，阻抗越小，通过的频率也越高。但实际上 超过 1uF 的电容大多为电解电容，有很大的电感成份，所以频率 高后反而阻抗会增大。有 时会看到有一个电容量较大电解电容并联了一个小电容，这时大电容通低频，小电容通高频。 电容的作用就是通高阻低，通高频阻低频。电 容越大低频越容易通过，电容越大高频越容 易通过。具体用在滤波中,大电容(1000uF)滤低频，小电容(20pF)滤高频。 曾有网友将滤波电容 比作“水塘”。由于电容的两端电压不会突变，由此可知，信号频率越 高则衰减越大，可很形象的说电容像个水塘，不会因几滴水的加入或蒸发而引起水量的变化。 它把电压的变动转化为电流的变化，频率越高，峰值电流就越大，从而缓冲了电压。滤波就 是充电，放电的过程。 4）储能 储能型电容器通过整流器收集电荷，并将存储的能量通过变换器引线传送至电源的输出端。 电压额定值为 40～450VDC、电容值在 220～150 000uF 之间的铝电解电容器（如 EPCOS 公 司的 B43504 或 B43505）是较为常用的。根据不同的电源要求，器件有时会采用串联、并 联或其组合的形式， 对于功率级超过 10KW 的电源，通常采用体积较大的罐形螺旋端子电 容器。 2、应用于信号电路，主要完成耦合、振荡/同步及时间常数的作用： 1）耦合 举个例子来讲，晶体管放大器发射极有一个自给偏压电阻，它同时又使信号产生压降反馈到 输入端形成了输入输出信号耦合，这个电阻就是产生了耦合的元 件，如果在这个电阻两端
关键地方）
纸介电容是由两层正负锡箔电极和一层夹在锡箔中间的绝缘蜡纸组成，并拆叠成扁体 长方形。额定电压一般在 63V～250V 之间，容量较小，基本上是 pF(皮法)数量级。现代纸 介电容由于采用了硬塑外壳和树脂密封包装，不易老化，又因为它们基本工作在低压区， 且耐压值相对较高，所以损坏的可能性较小。万一遭到电损坏，一般症状为电容外表发 热。
2 0 r
L
荷的绝对值。则：
U AB
B
Ed
l

A
RB 1 dr ln RB
RA 20 r
20 RA
所以电容为：
C q 20L 。 U AB ln(RB / RA )
充满了极化率为 e 的均匀电介质的平行板电容器。
已知极板上的自由电荷面密度为 e0 ，求电容器的电容 C 与没有电介
E
E0 1 e

e0
1 e 0
由此可知，
C

q0 U

e0S Ed

1 e 0S
d
(1 e )C0
据此，我们可以得出，
当电容器中充满均匀电介质后，其电容 C 为真空电容 C0 的 倍，即：
C C0 ，其中 1 e ，叫电容率。
充满了极化率均匀变化的电介质的电容器 平行板电容器的极板面积为 S，间距为 d，其间充满电介质，介质的介电
平行板电容器
一般认为，平行板的板面线度远大于他们之间的距离，即两极板内表面均
匀带电，极板间的电场均匀。
设两极板
A，B
内表面的带电量为
q
，则电荷的面密度分别为
e

q S
。
由高斯定理知， E e 。电势差为 0
U AB
B
Edl

Ed
ed

qd
A
0 0S