2015届高考数学总复习第七章 第八节双曲线(二)精讲课件 文

x2 y2 点评：(1)熟记双曲线的标准方程a2－b2＝1(a＞0，b＞0)与渐 x y 近线方程a± b＝0 的转化关系：将标准方程中的平方去掉，“－” 改为“± ”，“1”改为“0”，即得渐近线方程． (2)双曲线方程确定，则渐近线确定，反之，渐近线确定，则 x y x2 y2 方程不确定． 即双曲线的渐近线为a± 则标准方程设为a2－b2 b ＝0 ， ＝λ(λ≠0)，再根据已知条件确定 λ 的值，进而求得方程．
变式探究
1．(1)(2013· 东莞调研)已知中心在原点，焦点在 y 轴上的双 曲线的离心率为 5，则它的渐近线方程为( ) A．y＝± 2x 1 C．y＝± 2x 5 B．y＝± 2 x D．y＝± 6x
(2)(2013· 茂名一模)已知双曲线 x2－ky2＝1 的一个焦点是( 5， 0)，则其渐近线方程为__________．
y2 x2 解析：(1)设双曲线的方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)， c 因为 e＝a＝ 5，c＝ a2＋b2， 所以 a2＋b2 a2 ＝
b2 1＋a ＝
5，
b a 1 所以a＝2，所以双曲线的渐近线方程为 y＝± bx＝± 2x. 故选 C.
2 y (2)双曲线 x2－ky2＝1 化成标准方程得 x2－ 1 ＝1， k
且分别设为m－d，m，m＋d，
则由双曲线定义和勾股定理可知：
m－(m－d)＝2a，m＋d＝2c，(m－d)2＋m2＝(m＋d)2， 解得m＝4d＝8a，∴2c＝m＋d＝5d,2a＝d， ∴e＝ ＝5.故选D.
(2)双曲线的渐近线为 bx± ay＝0， 因为它与圆(x－2)2＋y2＝2 相交， 所以圆心(2,0)到该直线的距离小于圆的半径， |2b| 2 2 即 2 ＜ 2 ，整理得 b ＜ a ， 2 a ＋b
(1)解析：设双曲线的焦距为 2c， 则点
a2 B c ，0，不妨取 a2 ab C c ， c ，
→ ＝2OB → ，OA →· → ＝2， 由OA OC 2a2 a3 得 c ＝a， c ＝2，解得 a2＝4，b2＝12， x2 y2 所以所求双曲线的方程为 4 －12＝1.
1 得 a ＝1，b ＝k ，
2 2
所以 c＝ 所以
1 1＋k ，因为双曲线的一个焦点是( 5，0)，
1 1 1＋k＝ 5，解之得 k＝4，
2 y 双曲线方程为 x2－ 4 ＝1，得 a＝1，b＝2.
b 所以该双曲线的渐近线方程为 y＝± 2x. ax，即 y＝± 答案：(1)C (2)y＝± 2x
2 c 所以 c2－a2＜a2，得a2＜2，所以 1＜e＜ 2.故选 C.
答案：(1)D
(2)C
与双曲线有关的综合问题
x2 y2 【例 3】 已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为 A， a2 右焦点为 F，直线 x＝ 2 2与 x 轴交于点 B，且与一条渐近线 a ＋b → ＝2OB → ，OA →· → ＝2，过点 F 的 交于点 C，点 O 为坐标原点，OA OC 直线 l 与双曲线右支交于不同的两点 M，N，点 P 为点 M 关于 x 轴的对称点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：B，P，N 三点共线； (3)求△BMN 面积的最小值．
x2 y2 (2)(2012· 太原五中月考)若双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐 近线与圆(x－2)2＋y2＝2 相交， 则此双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A．(2，＋∞) C．(1， 2) B．(1,2) D．( 2，＋∞)
解析：(1)设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，
变式探究
x2 y2 2．(1)(2012· 山东实验中学诊断)点P在双曲线 2－ 2 ＝ a b 1(a ＞ 0 ， b ＞ 0) 上 ， F1 ， F2 是 这 条 双 曲 线 的 两 个 焦 点 ，
∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双
曲线的离心率是(
A．2
)
B．3 C．4 D．5
第七章
第八节 双 曲 线 （二）
求双曲线的渐近线方程
【例 1】 已知以原点 O 为中心，F( 5，为右焦点的双曲 5 线 C 的离心率 e＝ 2 .求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程．
自主解答：
x2 y2 解析：设 C 的标准方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)， c 5 则由题意 c＝ 5，e＝a＝ 2 ， 因此 a＝2，b＝ c2－a2＝1， x2 2 C 的标准方程为 4 －y ＝1. 1 C 的渐近线方程为 y＝± 2x， 即 x－2y＝0 和 x＋2y＝0.
求双曲线的离心率
x2 y2 【例 2】 (1)设双曲线a2－b2＝1(0＜a＜b)的半焦距为 c，直 3 线 l 过(a,0)，(0，b)两点．已知原点到直线 l 的距离为 4 c，则双 曲线的离心率为( ) A．2 B. 3 C. 2 2 3 D. 3
x2 y2 (2)已知双曲线a2－b2(a>0，b>0)＝1 的一条渐近线与抛物线 y ＝x2＋2 无公共点，则双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) A．(1,2 2) C．(2 2，＋∞) B．(1,3) D．(3，＋∞)
解析：(1)由于 l 过(a,0)，(0，b)两点， x y 所以 l 的方程为a＋b＝1， 即 bx＋ay－ab＝0. 3 原点到 l 的距离为 4 c， ab 3 3 2 所以 2 b＝ 4 c . 2＝ 4 c，即 a· a ＋b 即 3c4－16a2c2＋16a4＝0. 因为 a≠0，所以 3e4－16e2＋16＝0.
解之，得e2＝4或e2＝
.
由0<a＜b知a2＜b2，即e2＞2. 故e＝2.故选A.
c 所以双曲线的离心率 e＝a＝
a2＋b2 a2 <3.
又 e>1，故 e 的取值范围为(1,3)． 答案：(1)A (2)B
点评：(1)双曲线的离心率是双曲线的重要几何性质，求离心 c 率常用两种方法： ①根据题设条件直接求出 a， c， 代入 e＝a求值； c ②根据题设条件，求出关于 a，c 的关系式，再整理成关于a的方 程，解方程得离心率． c2－a2 b (2)渐近线的斜率与离心率的关系：k＝a＝ a ＝ ＝ e2－1. c2 a2－1