《创新设计 高考总复习》2014届高考数学一轮复习：易失分点清零(一)集合与常用逻辑用语

成的集合，由B⊆A可知，集合B中的元素都在集合A中，在 解题中容易忽视方程无解，即B＝∅的情况，导致漏解．
易失分点3
忽视集合中元素的互异性
【示例3】► 已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，
若1∈A，求实数a的取值集合．
解 (1)若a＋2＝1，即a＝－1，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1
－3＋3＝1，元素重复；
(2)若(a＋1)2＝1，即a＝－2或a＝0，
当a＝－2时，a＋2＝0，a2＋3a＋3＝4－6＋3＝1，元素重 复；
当a＝0时，a＋2＝2，a2＋3a＋3＝3，满足题意；
(3)若a2＋3a＋3＝1，解得a＝－1或a＝－2， 由(1)(2)，可知均不符合题意． 所以实数a的取值集合为{0}．
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0 解析 题目中命题的意思是“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0
都成立”，要否定它，只要能找到至少一个x，使得x3－x2
＋1>0即可，故命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否 定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C. 答案 C
警示
本题是对全称命题的否定，因此否定时既要对全称
易失分点2
遗忘空集
【示例2】► 设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋ 2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数 a的取值范围．
解 ∵A＝{0，－4}，∴B⊆A 分以下三种情况：
(1)当 B＝A 时，B＝{0，－4}，由此知 0 和－4 是方程 x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0 的两个根，由根与系数之间的 Δ＝4a＋12－4a2－1>0， 关系，得－2a＋1＝－4， a2－1＝0，
答案
A
警示解答本题易出现的错误是颠倒了充分条件和必要条件，
把充分条件当成必要条件而致误.
易失分点5
对含有量词的命题的否定不当
【示例5】► 命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是
(
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
)．
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
警示
由1∈A可知，集合A中的三个元素都可能等于1，得
到a的值后，若忽视对集合中元素的互异性检验会导致错解 .
易失分点4
充分必要条件颠倒致误
【示例4】► 若p：a∈R，|a|<1，q：关于x的二次方程x2＋
(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零， 则p是q的 A．充分不必要条件 C．充要条件 ( B．必要不充分条件 )．
易失分点清零（一） 集合与常用逻辑用语
易失分点1
集合中元素的特征认识不明
【 示 例 1 】 ► 已 知 集 合 M ＝ {x|y ＝ －x2＋3x} ， N ＝ {x||x|>2}，则 M∩N＝ ( )．
A．{x|1<x<3}
C．{x|2<x<3}
B．{x|0<x<3}
D．{x|2<x≤3}
解析
集合 M 是函数 y＝ －x2＋3x的定义域，即 x
D．既不充分也不必要条件
解析
p：a∈R，|a|<1⇔－1<a<1⇒a－2<0，可知满足q的
方程有两根，且两根异号，条件充分；条件不必要，如a ＝1时，方程的一个根大于零，另一个根小于零．也可以 把命题q中所有满足条件的a值求出来，再进行分析判断， 实际上一元二次方程两根异号的充要条件是两根之积小于
0，对于本题就是a－2<0，即a<2.故选A.
解得 a＝1；
(2)当∅≠BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋Βιβλιοθήκη Baidu)2－ 4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意； (3)当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得a<－1.
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．
警示
集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的实数根所构
量词“任意”否定，又要对“≤”进行否定，全称量词
“任意”的否定为存在量词“存在”，“≤”的否定为
“>”，可能出现的错误是“顾此失彼”，忽略了细节.
满足－x2＋3x≥0，解得 0≤x≤3，即 M＝[0,3]；集合 N 是不等式|x|>2 的解集，即 N＝(－∞，－2)∪(2，＋ ∞)，所以 M∩N＝(2,3]．故选 D.
答案 D
警示
可能把集合M看成函数的值域，出现求解错误.只
要不出现这个问题，根据集合的含义，把集合M，N具体
求出来，再根据集合的运算法则进行计算即可.