边际替代率

1、 边际替代率(MRS)是指消费者在保证效用相等的前提下，用一种商品替代另一种商品的比率。

2、

瓦尔拉斯需求函数：),(*w p x 效用最大消费束*x 与价格),,(1n p p p =和财富水平w 的关系，是消费者实现效用最大化的最优消费束。

3、 间接效用函数)],([),(*w p x u w p v =，),(w p v 为间接效用函数。此时的效用是由价格和收入间接表示的商品量决定的，故称为间接效用函数。

4、 支出最小化问题（EMP ），可表示成：

x p ⋅min u x u t s ≥)(..

5支出最小化与效用最大化为对偶问题。

6支出函数为支出最小化问题x p u p e ⋅=min ),(，0)(..u x u t S ≥的解。

7最小支出问题的解*x 定义为希克斯需求函数，记为),(u p h ，其表示消费者在最小支出条件下选择的最优消费束.

反映希克斯需求函数与为达到效用u 的最小支出函数),(u p e 之间关系的公理，称为谢伯特定理。

i

i i p u p e u p h x ∂∂=

=)

,(),(* n i ,,2,1 =

对偶性是指一些成对问题或概念,是目标和约束条件的表达正好相反。需求分析中还存在下列四个重要的恒等关系，被称之为对偶性。

1.)],(,[),(w p v p h w p x ≡

2.)],(,[),(u p e p x u p h ≡

3.w w p v p e ≡)],(,[

4.u u p e p v ≡)],(,[

、需求价格弹性的经济内涵：需求对价格变动的反应。E>1或E<-1为奢侈品；E<1或E>-1为必需品

需求交叉价格弹性。需求交叉价格弹性定义为商品2的需求量变动比率与商品1的价格变动比率之比，即：

古诺合并条件：需求弹性与需求交叉弹性的关系

意义是若已知自身的需求价格弹性，则可以由此条件来确定需求交叉价格弹性。

211211221221ln ln x p dp dx p dp x dx p d x d E ⋅

===x

p dp dx p dp x dx p d x d E ⋅===

ln ln 1212111a E a E a -=+支出的比重。

为第二种商品支出占总支出的比重，为第一种商品支出占总02220111)()(w x p a w x p a ==

希克斯需求函数的价格弹性和交叉价格弹性

0212111=+ξξa a

1

11111dp dx x p ⋅=

ξ，122121dp dx x p ⋅=ξ为补偿需求函数的需求价格弹性和需求交叉价格弹性

需求的收入弹性 在价格不变的条件下，财富变动对需求量的变动率的影响。其表达式为：

w

w p p x x w w x ∂∂⋅=∂∂=

)

,,(ln ln 21111η 若01>η，则商品为正常品，若01<η，则商品为吉芬商品。

恩格尔合并条件 12211=+ηηa a 表明收入弹性以商品支出比率加权之和等于1。

替代效应是指剔除价格下降后所产生的实际购买力上升的效应之后，由于相对价格变化而引起的商

品i 对商品j 的替代；*11

)u p x ∂∂

收入效应是指由于商品i 的价格变得便宜,使消费者的实际购买力提高而导致的对商品j 的消费量

的变化 01)(p w x ∂∂-

斯拉茨基方程的基本形式01*1111)()(p w x u p x p x ∂∂∂∂∂∂-=表明，价格变动对消费量影响的总效应等于替代效应与收入

效应之和。

称w(p,x)≡e[p,u(x)]为货币度量的（直接）效用函数，又称之为最低收入函数、直接补偿函数等。 货币度量的间接效用函数)],(,[),;(w q v p e w q p ≡μ 其也具有支出函数和效用函数这双重属性。

可积性的问题：如何通过可观察的需求函数得到观察不到的效用函数

消费者购买该商品的剩余总和为:∑∑==-=-=n

i i n

i i

np p p p Cs 1

01

)(对于连续需求函数)(p x x =，消费者剩余

定义为:⎰=p

p dp p x Cs 0)( p 为需求为零的最低价格，0p 为实际市场价格。

等价变化Ev 面临如何选择判别标准价格q ，有两种选择:0p q =，或1p q =。当选择0p q =时我们得到

0110000110),;(),;(),;(w w p p w p p w p p Ev -=-=μμμ

即以现行价格为基础价格，寻求在现行价格下收入变化多少在效用上等价于拟定的变化。

补偿变化Cv 当选择1p q =时，我们得到（3.10）式。定义（3.10）式表达的关系为补偿变化，

),;(),;(),;(0011001111w p p w w p p w p p Cv μμμ-=-=补偿变动Cv 则以变化后的新价格为基础，寻求收入变化多少才

能补偿消费者受价格变化的影响

拟线性效用函数：),(),(21010k k x x x u x x x x u += 消费者剩余与等价变动和补偿变动的关系

生产函数。定义生产函数：}),(max{)(Y y y f ∈-=x :x 在生产可能性集中与投入x 相关联的最大产出。它仍然属于生产集，具有生产集的所有性质。

技术替代率（TRS ）以某种生产函数在),(*2*1*x x f y =处进行生产，若想保持y 水平不变，减少2x 的用量必然需要增加投入1x 的用量。两要素间的替代比率关系为技术替代率，式为： 2

1

11212)(x f x f dx x dx TRS ∂∂∂∂-

==

两维条件下技术替代率是等产量线的斜率，

替代弹性度量等产量线的曲率，反映要素比率变动对技术替代率变动的反映强度。其定义式为：

TRS

dTRS x x x x d /)

()(1212=

σ 或)ln()ln(12TRS d x x d =σ

产出弹性。在技术与投入要素价格不变的条件下，若其他投入固定不变，仅一种要素变动时所引发产出的相对变动程度，称为要素产出弹性，简称产出弹性。生产函数),(K L f y =的劳动产出弹性L E 和资本产出弹性K E 分别为：

L

L

L AP MP y L dL dy L dL y dy E =

==

// K

K

K AP MP y K dK dy K dK y dy E =

==

//

生产力弹性。生产力弹性是在技术与投入价格不变的条件下，所有要素按同一比例变动时产出的相对变动程度。记作：

x

dx y

dy E e //=

规模弹性定义式变为：对规模报酬的局部进行刻画

1

1

)

(1

)()()(==⋅

=

⋅=

αααααα

ααy d dy y

d dy x e

e(x)大于、等于、小于1对应着生产技术局部规模报酬处于递增、不变、递减的状态。

欧拉定理：),(212211x x kf f x f x =+其经济意义是投入要素1x 和2x 与其边际产品的乘积之和等于k 倍的产出量。

克拉克定理。若生产函数为一次齐次的（即1=k ），则上式可写作：),(212211x x f f x f x =+其经济意义是总产出可按投入要素的边际产品完全分配，这就是克拉克分配定理。

产品转换率RPT 为在给定0x 情况下，由1Y 转为2Y 的比率，其显然是负的。2112h h dy dy RPT =-

=11y h h ∂∂=2

2y h

h ∂∂=

、成本函数：成本最小化问题：x w 0

x ≥min y f t s ≥)(..x 的最优解),(y C C w =称为成本函数。