边际替代率

1、 边际替代率(MRS)是指消费者在保证效用相等的前提下，用一种商品替代另一种商品的比率。

2、
瓦尔拉斯需求函数：),(*w p x 效用最大消费束*x 与价格),,(1n p p p =和财富水平w 的关系，是消费者实现效用最大化的最优消费束。

3、 间接效用函数)],([),(*w p x u w p v =，),(w p v 为间接效用函数。

此时的效用是由价格和收入间接表示的商品量决定的，故称为间接效用函数。

4、 支出最小化问题（EMP ），可表示成：
x p ⋅min u x u t s ≥)(..
5支出最小化与效用最大化为对偶问题。

6支出函数为支出最小化问题x p u p e ⋅=min ),(，0)(..u x u t S ≥的解。

7最小支出问题的解*x 定义为希克斯需求函数，记为),(u p h ，其表示消费者在最小支出条件下选择的最优消费束.
反映希克斯需求函数与为达到效用u 的最小支出函数),(u p e 之间关系的公理，称为谢伯特定理。

i
i i p u p e u p h x ∂∂=
=)
,(),(* n i ,,2,1 =
对偶性是指一些成对问题或概念,是目标和约束条件的表达正好相反。

需求分析中还存在下列四个重要的恒等关系，被称之为对偶性。

1.)],(,[),(w p v p h w p x ≡
2.)],(,[),(u p e p x u p h ≡
3.w w p v p e ≡)],(,[
4.u u p e p v ≡)],(,[
、需求价格弹性的经济内涵：需求对价格变动的反应。

E>1或E<-1为奢侈品；E<1或E>-1为必需品
需求交叉价格弹性。

需求交叉价格弹性定义为商品2的需求量变动比率与商品1的价格变动比率之比，即：
古诺合并条件：需求弹性与需求交叉弹性的关系
意义是若已知自身的需求价格弹性，则可以由此条件来确定需求交叉价格弹性。

211211221221ln ln x p dp dx p dp x dx p d x d E ⋅
===x
p dp dx p dp x dx p d x d E ⋅===
ln ln 1212111a E a E a -=+支出的比重。

为第二种商品支出占总支出的比重，为第一种商品支出占总02220111)()(w x p a w x p a ==
希克斯需求函数的价格弹性和交叉价格弹性
0212111=+ξξa a
1
11111dp dx x p ⋅=
ξ，122121dp dx x p ⋅=ξ为补偿需求函数的需求价格弹性和需求交叉价格弹性
需求的收入弹性 在价格不变的条件下，财富变动对需求量的变动率的影响。

其表达式为：
w
w p p x x w w x ∂∂⋅=∂∂=
)
,,(ln ln 21111η 若01>η，则商品为正常品，若01<η，则商品为吉芬商品。

恩格尔合并条件 12211=+ηηa a 表明收入弹性以商品支出比率加权之和等于1。

替代效应是指剔除价格下降后所产生的实际购买力上升的效应之后，由于相对价格变化而引起的商
品i 对商品j 的替代；*11
)u p x ∂∂
收入效应是指由于商品i 的价格变得便宜,使消费者的实际购买力提高而导致的对商品j 的消费量
的变化 01)(p w x ∂∂-
斯拉茨基方程的基本形式01*1111)()(p w x u p x p x ∂∂∂∂∂∂-=表明，价格变动对消费量影响的总效应等于替代效应与收入
效应之和。

称w(p,x)≡e[p,u(x)]为货币度量的（直接）效用函数，又称之为最低收入函数、直接补偿函数等。

货币度量的间接效用函数)],(,[),;(w q v p e w q p ≡μ 其也具有支出函数和效用函数这双重属性。

可积性的问题：如何通过可观察的需求函数得到观察不到的效用函数
消费者购买该商品的剩余总和为:∑∑==-=-=n
i i n
i i
np p p p Cs 1
01
)(对于连续需求函数)(p x x =，消费者剩余
定义为:⎰=p
p dp p x Cs 0)( p 为需求为零的最低价格，0p 为实际市场价格。

等价变化Ev 面临如何选择判别标准价格q ，有两种选择:0p q =，或1p q =。

当选择0p q =时我们得到
0110000110),;(),;(),;(w w p p w p p w p p Ev -=-=μμμ
即以现行价格为基础价格，寻求在现行价格下收入变化多少在效用上等价于拟定的变化。

补偿变化Cv 当选择1p q =时，我们得到（3.10）式。

定义（3.10）式表达的关系为补偿变化，
),;(),;(),;(0011001111w p p w w p p w p p Cv μμμ-=-=补偿变动Cv 则以变化后的新价格为基础，寻求收入变化多少才
能补偿消费者受价格变化的影响
拟线性效用函数：),(),(21010k k x x x u x x x x u += 消费者剩余与等价变动和补偿变动的关系
生产函数。

定义生产函数：}),(max{)(Y y y f ∈-=x :x 在生产可能性集中与投入x 相关联的最大产出。

它仍然属于生产集，具有生产集的所有性质。

技术替代率（TRS ）以某种生产函数在),(*2*1*x x f y =处进行生产，若想保持y 水平不变，减少2x 的用量必然需要增加投入1x 的用量。

两要素间的替代比率关系为技术替代率，式为： 2
1
11212)(x f x f dx x dx TRS ∂∂∂∂-
==
两维条件下技术替代率是等产量线的斜率，
替代弹性度量等产量线的曲率，反映要素比率变动对技术替代率变动的反映强度。

其定义式为：
TRS
dTRS x x x x d /)
()(1212=
σ 或)ln()ln(12TRS d x x d =σ
产出弹性。

在技术与投入要素价格不变的条件下，若其他投入固定不变，仅一种要素变动时所引发产出的相对变动程度，称为要素产出弹性，简称产出弹性。

生产函数),(K L f y =的劳动产出弹性L E 和资本产出弹性K E 分别为：
L
L
L AP MP y L dL dy L dL y dy E =
==
// K
K
K AP MP y K dK dy K dK y dy E =
==
//
生产力弹性。

生产力弹性是在技术与投入价格不变的条件下，所有要素按同一比例变动时产出的相对变动程度。

记作：
x
dx y
dy E e //=
规模弹性定义式变为：对规模报酬的局部进行刻画
1
1
)
(1
)()()(==⋅
=
⋅=
αααααα
ααy d dy y
d dy x e
e(x)大于、等于、小于1对应着生产技术局部规模报酬处于递增、不变、递减的状态。

欧拉定理：),(212211x x kf f x f x =+其经济意义是投入要素1x 和2x 与其边际产品的乘积之和等于k 倍的产出量。

克拉克定理。

若生产函数为一次齐次的（即1=k ），则上式可写作：),(212211x x f f x f x =+其经济意义是总产出可按投入要素的边际产品完全分配，这就是克拉克分配定理。

产品转换率RPT 为在给定0x 情况下，由1Y 转为2Y 的比率，其显然是负的。

2112h h dy dy RPT =-
=11y h h ∂∂=2
2y h
h ∂∂=
、成本函数：成本最小化问题：x w 0
x ≥min y f t s ≥)(..x 的最优解),(y C C w =称为成本函数。

谢伯特引理：设),(y x i w 是厂商对第i 种投入要素的条件需求。

若成本函数在),(y w 点是可微的，且
0>i w ，n i ,,1 =，则： i
i w y C y x ∂∂=
)
,(),(w w n i ,,1 = （5.17） 谢伯特引理说明，在由条件要素需求确定的成本函数具有凹性时，成本函数在滞后成本函数之下。

包络定理用文字表述为：值函数关于参数的全导数，等于在最优点求导的偏导数。

记作：
)
()),(()(a x x a
a a x f da a dM =∂∂=
利润最大化弱公理（WAPM ）设我们对厂商的生产经营活动观察后，得到按时间组合的价格向量和净产出向量数据，记为t p 和t y ，T t ,,2,1 =。

对于每个t 值，我们就有向量))(,(t t p y p 。

对于其他产量水平s y ，
T s ,1=，利润最大化必要条件为：
对于所有的t 有：s t t t y p y p ⋅≥⋅ 这个条件被称为利润最大化弱公理（WAPM ）
成本最小化弱公理（WACM ）：对于所有的t 和s ，满足s t y y =时都有：s t t t x w x w ≤
期望效用函数基于期望概念和不确定选择的效用函数,很自然地可得到一个彩票L 各种可能取值结果效用平均值。

即效用函数的期望：∑==++=n
i i i n n x u p x u p x u p x u E 111)()()())((
当彩票收益期望值的效用大于彩票的期望效用时，即：)())((W u W E u >称决策者为风险规避者； 当彩票收益期望值的效用小于彩票的期望效用时，即：)())((W u W E u <决策者为风险喜好者； 当彩票收益期望值的效用等于彩票的期望效用时，即： )())((W u W E u =决策者为风险中立者。

确定性等价
若彩票存在确定性收益x*,使得u(x*)=u(W)，即x*与彩票无差异，称x*为彩票的确定性等价，记为C(W)。

2、风险溢价
称确定性等价与彩票期望的差额为风险溢价，记为：R(W)=E(W)-C(W)。

绝对风险规避系数：策者在财富水平为x 时的阿罗—普拉特绝对风险规避系数为：)()()(x u x u x r '''-= 相对风险规避：
决策者在财富水平为x 时的阿罗—普拉特相对风险规避系数为：)
()()(x u x
x u x '⋅''-
=ρ 一阶随机占优：对于一个非递减函数R R u →:，若存在如下关系：
⎰⎰
≥)
()()()(x dG x u x dF x u 则称)
(⋅F 一阶随机优于)(⋅G
二阶随机占优：对任何两个具有相同期望值的分布)(⋅F 和)(⋅G ，若对于每一个非递减的凹函数
R R u →+:均有： 2
2
()()()()u x dF x u x dG x ≥⎰
⎰
则称)(⋅F 二阶随机优于)(⋅G ，或)(⋅F 比)(⋅G 风险更小
超额需求或过度需求为：)()()(p S p D p E -= 瓦尔拉斯提出价格调整机制，当)()(p S p D >时价格上升，
)()(p S p D <时价格下降，
均衡稳定性在一个经济系统内，如果初始价格不处于均衡价格状态，经济系统是否存在一个内生的力量使之随时间推移向均衡价格方向移动，如果有，就可以说经济系统是可以实现稳定均衡。

如果一个经济系统受到外界干扰，随着时间推移系统仍然能回到均衡状态，则也称系统存在稳定均衡。

用公式描述，0)(lim p t p t =∞
→，0p 为均衡价格。

市场均衡的条件：)()(x c x u '='
垄断厂商的决策目标仍然是)()()(max q TC q TR q -=π，一阶条件：
0)
()()(=∂∂-∂∂=∂∂q
q TC q q TR q q π 由此可得：)()(q MC q MR =。

由于)11(e p MR -=，所以)11(e p MC MR -==，)
1(1e MC
p -=
，垄断定价为)
1(1e MC
p -=
，其是对边际成本的一种加成调整。

将垄断定价公式e
MC p 11-=
，变形为
e
p MC p 1
=-即可得到勒纳指数。

该指数所刻画的是垄断利润的边际，故又称为价格标高程度。

其意义为垄断价格超出成本的部分与垄断价格之比。

通过勒纳指数的形式，可知勒纳指数的大小取决于商品需求弹性的大小。

弹性越大，市场的竞争性越高，就是说，价格标高程度越低，垄断利润的边际就越小，即垄断程度就越低。

当弹性越小，垄断价格标高程度就越高，垄断程度也越高。

由此可对垄断厂商的对市场的影响力进行定量反映。

、一级价格歧视的内涵
垄断厂商知道每一个消费者的需求函数，并且在消费者之间无法进行套利交易的条件下，厂商向每一个消费者索取其愿意支付的最高价格，称为一级价格歧视。

但如果厂商仅知道该产品存在不同的消费需求，却无法识别具体的消费者具有那种需求类型，此时厂商可以采用二级价格歧视政策。

二级价格歧视又称非线性定价，其核心是定价视消费者购买量而定。

三级价格歧视定价其指垄断厂商根据不同类型的消费者，制定不同价格的定价方法，该价格不与消费者购买的商品数量挂钩。

三级价格歧视定价的本质是垄断厂商将市场按消费者需求弹性大小进行了划分，形成若干独立的子市场，对不同的子市场采用不同的价格策略。

古诺模型（厂商相互独立，以产定价） （一）假设
1、两家以利润最大化为目标的厂商1和2，销售同质产品；
2、两家厂商都假定对手的产量是固定的，即每个厂商在预测对手产量决策的基础上制定自己的产量决策，这是古诺模型的核心。

、伯特兰模型（厂商相互独立，以价定产）
.瓦尔拉斯定律。

超额需求的价值恒等于0，即0=j j E p 。

（1）对消费者而言其效用函数是受其预算约束。

0=-hj j j E p π，m j ,,2,1 =
（2）对厂商而言，其第j 种产品的第h 个厂商的利润：
)(1*
∑=+-=m
k hjk k hj j hj E p E p π
（3）所有消费者的超额需求和所有生产者的超额需求合并起来，即可产生结果为：
hj hj j j E p ππ-=-， 0=j j E p ，或01=∑=j j m
j E p
瓦尔拉斯定律对于生产和交换经济中的任何价格集合都成立。

一般市场均衡
1.每个产品市场都是出清的，且行业的利润均为0，表示为：
0),,,,(11=+m s m j N N p p E ，m j ,,2,1 =。

0),,(1=m j p p π，m s j ,,1 +=
2.无绝对价格水平解。

因为瓦尔拉斯定律决定各产品超额需求，j E 之间存在相互依赖的函数关系。

3.均衡的意义被规定成相对的价格形式，而不是绝对的价格形式。

帕累托最优配置的定义
一个可行的配置),(y q 是帕累托最优或帕累托有效的，如果没有其他配置A y q ∈''),(帕累托优于它，也就是说如果没有可行配置),(y q ''对于所有的i ，有i i q q '，且对于某个i ，有i i i q q '。

显然，若不存在i i q q '的限制，则配置),(y q 是帕累托次优的。

三、阿罗不可能性定理
阿罗找出了社会偏好的概念，以及社会偏好决定的五条公理。

1．完全序列化
必须满足完全性，自反性和递推性条件。

2．对个人偏好的敏感性 3．非强加性
社会偏好必须不是独立于个人偏好而强加的。

4．非独裁性
社会偏好必须不是总是反映任何一个人的偏好。

5．不相关选择的独立性
在一系列选择中，最优先选择的状态必须独立于其他选择的存在。

阿罗公理反映评价判断，而且逻辑严谨合理，遗憾地是不可能性定理表明， 战略
1、战略：是指在给定信息集的条件下参与人的行动规则，即如果出现什么情况，对手采取什么行动，那么我该采取什么行动。

2、战略集或战略空间：{}i i s S =代表参与人i 的所有可选择的战略的集合。

均衡是指所有参与人的最优战略组合。

{}*
*2*1*,,,n s s s s =，*i s 为第i 个参与人的最优战略，是使i u 或
i Eu 最大化的战略。

由均衡产生的结果称为均衡结果。

占优战略是指参与人的最优战略不依赖于其他参与人的战略选择，不论其他参与人选择什么战略，他的最优战略是唯一的，这个最优战略被称为占优战略。

如囚徒困境中，坦白对于A 和B 来说都是最优的
纳什均衡是一种博弈状态，在该状态下，每一个参与人选择的战略必须是针对其他参与人选择战略的最优反应，这种参与人的战略选择组合可以称为战略稳定或自动实施，因为没有参与人愿意独立放弃他所选择的战略。

用公理化的形式将纳什均衡描述为：
在n 个参与人标准式博弈},,,;,,,{2121n n u u u S S S G =中，如果战略组合),,(*
*1
n s s 满足对每一个参与人i ，*i s 是至少不劣于他针对其他1-n 个参与人的所选战略),,(*
*1*1*1n i i s s s s +-的最优反应战略，则该战略组合),,(*
*1
n s s 是该博弈的一个纳什均衡。

纳什定理：在n 个参与人的标准式博弈{}n n u u s s G ,;,,11=中，如果n 是有限的，且对每个i 来说，i
s 是有限的，则博弈存在至少一个纳什均衡，均衡可能包含混合战略。

子博弈精炼纳什均衡
定义：扩展式博弈的战略组合()*
**1
*,,,,n i s s s s =是一个子博弈精炼纳什均衡，如果①它是原博弈的纳什均衡；②它是在每一个子博弈上给出的纳什均衡。