[高考真题]2011年高考理科数学试卷

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)

数学（理工农医类）

本试卷共4页,三大题21小题.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：

1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.

2. 选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效.

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效.

4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的. 1.复数z=1+i,z 为z 的共轭复数,则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i

2. 函数)0y x =≥的反函数为

(A)()24x y x R =∈ (B) ()2

04

x y x =≥

(C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥

3.下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >

4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差22,24k k d S S +=-=,则k=

(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数()()cos 0f x x ωω=>,将()y f x =的图像向右平移3

π个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于 (A) 13

(B) 3 (C) 6 (D) 9

6.已知直二面角l αβ--,点,,A AC l C α∈⊥为垂足,,,B BD l D β∈⊥为垂足,若2,1AB AC BD ===,则D 到平面ABC 的距离等于

7.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4为朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有 (A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种

8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为

(A) 13 (B) 12 (C) 23

(D) 1

9.设()f x 是周期为2的奇函数,当01x ≤≤时,()()21f x x x =-,则

52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭

(A) 12- (B) 14- (C) 14 (D) 12

10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F,直线24y x =-与C 交于A 、B 两点,则cos AFB ∠=

(A) 45

(B) 35

(C) 35

- (D) 45

-

11.已知平面α截一球面得圆M,过圆心M 且与α成60o 二面角的平面β截该球面得圆N,若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为

(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π

12. 设向量,,a b c r r r 满足11,,,602

a b a b a c b c ===---=o

r r r r r r r r g ,则c r 的最大值

等于

(D) 1

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

13. (20

1的二项展开式中,x 的系数与9x 的系数之差

为 .

14. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

,sin 5α=

,则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22

:1927

x y C -=的左、右焦点,点A C ∈,点M

的坐标为()2,0,AM 为12F AF ∠的角平分线,则 2AF = . 16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上,且

12B E EB =, 12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等

于 .

三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c .

已知90,A C a c -=+=o ,求C

18.（本小题满分12分）根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； （Ⅱ）X 表示该地的100为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X 的期望.

19.（本小题满分12分）如图,四棱锥S-ABCD 中,//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角

形,AB=BC=2,CD=SD=1. （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;

（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小.

20.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足1111

0,111n n

a a a +=-=-- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1

1n n a b n

+-=,记1

n

n k k S b ==∑,证明：1n S <.

21.（本小题满分12分）已知O 为坐标原点,F

为椭圆2

2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点,过F

且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点,点P

满足0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q,证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上.

22.（本小题满分12分）（Ⅰ）设函数()()2ln 12

x

f x x x =+-+,证明：当0x >时,()0f x >

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽到的20个号码互不相同的概率为

p ,证明：19

29110p e ⎛⎫

<< ⎪⎝⎭